ItussEi.i,, Sur la Lùgique des relofions

MKTHODOLOGIE 3S

découvre des propositions notivelles'. C'est donc méconnaître ou déplacer la question que d'opposer à !a Logistique une prétendue Logique de l'invention qui n'aurait aucune règle précise, si ce n'est de prendre le contre-pied de la vraie Logique démonstrative.

La méthode logique consiste dans un double procei^sus de réduclion : réduction des notions les unes aux autres, par la dé/tnition; réduction des propositions les unes aux autres, par la démonstration. Démontrer une proposition, c'est la déduire de certaines autres, admises ou données comme vraies, au moyen des scH^s principes de la Logique, ou, au point de vue formel, par des transformations permises par les règles du Calcul logique. Presque tous les principes formels de la Logique peuvent servir de règle ou de type ii un mode de raisonnement. Tels sont, non seulement le principe du syllogisme, mais le principe de simplification, le principe de composition, le principe de contraposition, le principe d'importation et d'exportation et les formules du raisonnement hypothétique {modiis ponens, modus tollens) qui, on l'a vu, en dérivent. Il n'y a pas d'autre mode de démonstration valable en Mathématique que ceux qui sont valables en Logique ^. Tout autre procédé de raisonnement est aujourd'hui considéré comme illégitime, au moins comme moyen de démonstration, et ne peut servir tout au plus que de moyen d'invention '.

1. Debcaliies et Leiami! ont prêtendii donner des métliodes diinei t on c'fiat-Éi-dire des procédés réguliers et sûrs pour trouver des veilles non velles. Mais ces mélliodes, qui risaient toujours à résoudre des pnblemes dèiinis et déterminés, se réduisaient, au Tond, à l'Algèbre et à la Logis tique, c'est-à-dire £i la Logique dénionstrative que nous exposons ici

2. On verra pins loin ce qu'il faut penser du principe tX'induclion com plèle, considéré comme le type du raisonnement mathématique

3. Si c'est ainsi qu'on entend distinguer la Logicjue de l'invention de la Logique démonstrative, nous n'avons rien ù y redire. De tout temps l'intuition et même l'expéripuce ont servi à découvrir des vérités matlie maiiques (H\emple la q ad alure de la pa aboie de ou erte par iiclii méde au no en le la balance) naa jama ces procédés empiriques n'ont pa^se pour les den onslrat ons malhenatq es n n en ont lenu lieu. Cf M Bûc B TIe f Jxne ta/ co e/itois and ellods of mallip malics { A Ht El ents non léd et Is en natté at q p ] ap BuliUi aftke 4 c VatI n le I Soc elj t \I p 115 3 (déc I8U)

i DE LA LOGIQUE

En rovaiiche, il y a certains modes de raisonnemeiil que des mathématiciens ingénieux et subtils ont employés, et qu'ignorait la Logique classique. Tel est, par exemple, le mode de raisonnement em[)!oyé par Euclide (livre IX, prop, 12) et par d'autres mathématicien?, qu'on peut traduira par la formule suivante :

-pap.o.p

« Si la négative d'une proposition implique cetle proposition même, ceile-ci est vraie ' ». C'est là un mode do raiisonnement tout à fait paradoxal, que seule la Logis-tique explique et justilîe *.

Définir nne notion, c'est la réduire à une combinaison logique d'autres notions, supposées connues. Au point de vue formel, une définition consiste dans une égalité logique établie entre un termesimple(le</e/î»f)et un terme complexe (le rfé^iiissant). Celte égalité n'est pas affirmée comme proposition, elle n'est ni vraie ni fausse; elle est posée comme convention d'écriture et de langage. Et comme le défini n'a, par hypothèse, pas d'autre sens que le définissant, Il peut être considéré comme un simple nom donné au définissant pour en ahréger l'énoncé. C'est en ce sens qu'on peut dire que toute définition mathématique est nominale; cela signifie, non pas que les concepts mathématiques se réduisent à des noms (ce qui est la thèse nominaliste), mais qu'ils peuvent ions se définir d'une manière logique et explicite « en fonction » de quelques notions premières, et par suite être considérés comme des noms imposés à telles et telles combinaisons de ces notions. L'égalité logique du déGiii et du délinissanl permet de les substituer partout l'un à l'autre, soit que, pour « expliquer » le défini, c'est-à-dire en développer et en expliciter le contenu

i. G. Vailati, Dî un'opera dimenticata dei P. Gii-olanio Saccheri {Logica demonstrafiva, 1691), ap. Riviata filoso/icii, sept,-oct. 19(13; Sur une classe de raisonnements par l'absurde, ap. Revue de Métaphysique, nov. 1904.

2. En effet, l'implication -pop équivaut à l'atternalive p ^ p, c'esl-àdire simplement à p. D'ailleurs, puisque le faux implique le vrai, eL non inversement, -;; ne peut être que fausse, et p vraie.

METHODOLOGIE 3T

et pour en démoiilrer les propriétés, on Jui siibslKue le définissant; soit, an contraire, f[ue pour s'élever à des notions ou propositions plus complexes on éprouve le besoin de condenser l'expression du définissant, auquel cas on iuî substitue le défini. Tel est le fondement de celte grande règle de la méthode mathématique, qu'on peut et qu'on doit substituer le définissant an défini, et réciproquement.

Par la définition et la démonslration, on réduit toutes les notions d'une théorie mathématique à quelques notions indéfinissables, et toutes ses propositions à quelques propositions indémontrables. Il ne faut attacher aucun sens absolu à ces épithétes d'indéfinissable et d'indémontrable : une notion n'est indéfinissable, une proposition n'est indémontrable que par rapport à un certain système de définitions et à un certain ordre de démonstrations; dans un autre système ou dans un autre ordre, les mêmes notions pourront être définies, et les mêmes propositions pourront être démontrées. 11 ne faut donc pas non plus attribuer un sens absolu (êpistémologique) aux expressions équivalentes de " notion première >> et de « proposition première ».

Au point de vue formel, comme les notions premières ne sont pas définies, leur sens n'est pas déterminé, et n'intervient nullement dans l'enchaînement déductif des propositions, car celui-ci dépend uniquement des propositions premières et des définitions explicitement formulées. On peut donc considérer les notions premières comme de purs symboles, dont le sens est indéterminé et indifi'érent, et qui sont seulement assujettis à vérifier les propositions premières. On conçoit donc qu'une même théorie déduclive formelle puisse recevoir plusieurs applications matériellement différentes, si l'on peut trouver pour l'ensemble des symboles non définis plusieurs interprétations qui vérifient également l'ensemble des propositions non démontrées. Ci.'tte possibililé de trouver diverses inlerprèlalions pour une seule et même théorie déductive n'est pas seulement « économique « dans les applications scientifiques (puisqu'elle dispense de refaire tes mêmes déductions pour

38 PIUNCU'KS 1)1': L.\ LOCIQUE

plusioiirs ordres d'objets '), mais elle est précieuse au point de vue logique, car, comme on va le voir, elle permet de découvrir et de démontrer certaines propriétés foniidUs de la théorie considérée.

11 y a évidemment avantage a ce que, dans une théorie déductive, l'ensemble des propositions premières soit iirédxictible, c'est-à-dire à ce qu'aucune d'elles ne puisse se déduire des autres; autrement il y aurait une sorte de pléonasme ou de superfluité dans le système des propositions premières, puisqu'on pourrait en supprimer une et la reléguer au rang de théorème. Or, si une propositio)! première est d''p''nd(i)Ue des autres, sa négative sera logiquement incompatible avec celles-ci (c'est même un moyen fréquemment employé pour démontrer cette dépendance), Donc, si l'on peut montrer que la négative d'une proposition première est compatible avec toutes les autres, on aura établi que cette proposition est indépendante des autres. Ainsi se juslilîe la règle suivante pour vérifier l'irréductibilité d'un système de propositions :

Pour qu'un système de propositions soit irréductible, il Taut et il suffit que, pour chacune d'eiles, on puisse Irouver une interprétation des symboles non définis qui vérifie toutes les autres, mais non celle-là.

C'est par cette méthode que les mathématiciens vérifient l'irréductibilité d'un système d'axiomes ou de postulais; nous en verrons* de nombreux exemples dans la suite de cet ouvrage.

D'autre part, il y ii un intérêt manifeste à ce que l'ensemble des symboles non définis soit, lui aussi, irréductible, c'est-àdire qu'aucun d'eux ne puisse su définir au moyen des autres. Or, si l'un d'eux pouvait se définir au moyen des autres, son sens serait déterminé dés qu'on aurait fixé le sens de tous les autres, et par suite on ne pourrait le changer qu'en changeant l'interprétation de ceux-ci ^. Donc, réciproquement, si l'on peut

1. On sait que c'est le cas pour beaucoup de Ihéories mathéinaliques de la Physique.

2. Bien enteadu, cela implique que l'ensemble des svmholui est soumis

J(ËTIIODOLOGIE 39

changer le sens d'un seul symbole suns changer L'inlerprétation des autres, ce symbole sera indépendant des autres. Ainsi ss justifie la règle suivante pour vérifier l'irréductibilité d'nn ensemble de symboles non définis :

Pour qu'un système de symboles non définis soit irréductible (par rapport à un système de propositions premières), il faut et il suffit que, pour chaque symbole non défini, on puisse trouver une înterprétalion du système qui vérifie le système des propositions premières, et qui continue à le vérifler qnand on y change le sens du seul symbole considéré '. .

Toute définition s'efi'ectue au moyen de termes généraux, au moins virtuellement et en principe, de sorte que le défini est toujours un terme général, une classe. Or, pour pouvoir ensuite raisonner sur cette classe et en invoquer les propriétés, il faut pouvoir affirmer qu'il existe des individus de cette classe, c'est-â-dire que cette classe n'est pas nulle (que les conditions qui la définissent ne sont pas absurdes, c'est-à-dire logiquement incompatibles). C'est pourquoi toute définition doit être accompagnée d'un théorème d'exisl^iice (ou d'uu postulat d'existence) qui affirme l'existence de l'objet défini. D'autre part, il arrive souvent que ce qu'on veut définir n'est pas une classe, mais un individu. Pour pouvoir parler plus tard de cet individu (en mettant l'article défini devant le concept en question), il faut préalablement avoir démontré que la classe définie, non seulement existe, mais est singulière (ne conlient qu'un individu); c'est ce qu'on fail, généralement, en prouvant que, si deux individus vérifient la définition, ils sont identiques'. On dit alors qu'on a établi Vexisience et Vunicilé de l'objet défini.

Une définition n'esi pas, k proprement parler, une proposî-

h un ensemble de propositions premières qu'ils véfilieat, et < établissent des relalioiis entre leurs sens, i;'est-a-dire entre qu'ils représenlenl.

1. A. PADo.i, Hmai d'une théorie algébrique dfs nombres eut iTiine iniroduclion lof/igue à une théorie déJuoiive qitelconqiie thèqiie du i" Coni/rif de Philosophie, t. III (Paris, A. Colin, 1

2, Cf. la défini Lion de la classe singuliÈre (p. SB).

40 l'RIKClPES lïi: LA LOGIQUE

tion; car elle a'ost ni vraie ni fausse. C'est une convention de langage (ou d'écriture), une Imposition de nom qu'on ne peut discuter (ju'au point de vue de l'usage ou de la commodité. Une définition ne doit donc pas être considérée comme un frincipe, ni comme une source de vérité. — A cela on a objecté qu'une définition peut être une source de vérité, en tant qu'elle exprime la construction d'un concept; elle résulte d'une combinaison intellectuelle, d'une sijnihése originale; elle enveloppe donc un jugement synthétique, qui affirme la légitimité du concept construit'. — Il y a là une confusion que les explications précédentes permettent de dissiper. La construction d"uû concept n'est pas, par elle-même, un jugement, et ne peut donc pas être, directement, une source de vérité; et en effet, comme le remarquait Leibniz, si le concept est contradictoire, on pourra démontrer à son sujet des propositions contradictoires. Il faut d'abord pouvoir affirmer l'existence logique du concept défini; c'est cette affirmation, et non la définition, qui sera source de vérité. Ce n'est donc jamais la définition qui est responsable de ses conséquences (si même l'on peut dire qu'elle ait des conséquences), mais bien le jugement d'existence qui l'accompagne et qui la justifie ^.

Les définitions dont nous avons parlé jusqu'ici sont les définitions nominales ou mieux p-xpi-kites. On emploie souvent en Mathématique des modes de définition qu'on pourrait B.'p^û&v implkiles, parce que la notion à définir, au lieu d'être dégagée et isolée dans un membre d'une égalité logique, se trouve impHquée dans des combinaisons d'idées. L'un de ces modes est ce qu'on a appelé la défiiûth» par postulats. Il consiste à définir un ensemble de notions (qu'on ne peut pas définir séparément) en énonçant un ensemble de postulats qu'elles vérifient. Mais c'est précisément le cas de toutes les

i. G. Lechalas, ap. Annales de phUonO}

Me chn

Hienfte, 3* série, L VI,

p. 9 (avril 1903).