Ce qui se traduit par l'égiililé logique : ab
THIîORIË CARDINALE 33
serait infini. Puisque l'addition logique n'implique aucun ordre entre les <i sommaiides », il en sera de même de l'addition arithméLique : la loi commulative est établie par cetLe simple remarque, et n'a donc pas besoin de démonstration. La différence même de rsddition logique (pour laquelle a -I- a ^^ a) et de l'addition arithmétique (pour laquelle a-Ha=:2 a) montre que celle-ci repose sur celle-là. En effet, si l'on peut ajouter un nombre à lui-même, c'est en l'incarnant dans deux, collections différentes (et disjointes) qui ont ce même nombre. Autrement, on aurait beau répéter le nombre a, on n'obtiendrait jamais, en l'ajoutant logiquement à lui-même, que le nombre a '. Pour la multiplication, que l'on définit d'habitude par rapport à l'addition (comme l'addition de n nombres égaux à m), M- WaiTEHEAD en a trouvé une définition purement logique qui est indépendante k la fois de l'idée d'addition et de l'idée d'ordre'. Soit k une classe de classes disjointes et non nulles; on appelle classe muUiplicative des k ta classe des classes formées en empruntant un élément, et un seul, à chacune des classes k^. Le nombre cardinal de la classe multiplicative est, par définition, le produit des nombres cardinaux des classes k. Pour éclaireir et justifier cette définition, supposons que la classe k comprenne deux classes seulement, l'une de m, l'autre de H éléments. La classe multiplicative comprend, comme éléments, toutes les combinaisons possibles d'un élément de la I™ et d'wii élément de la 2=; or on sait que ces combinaisons sont au nombre de mn (car chaque élément de la 2" donne lieu à 711 combinaisons avec les m éléments de la i'^, donc les n éléments de la 2° donnent lieu à vm combinaisons en tout). Celte défi-
1. Cette remai-que a éié faîte par Lejosk {Gerh. Pkil., Vil, ^30, 237, 2i6]. Cf. La logique de Leibniz, p. 36b.
2. On cwdinai numbers, ap. American Journal of ilailiematics, t. XXIV (1902).
3. Cela suppose que, étant donnée une classe de classes non nulles, on peut extraire de chacune d'elles un élément pour en composer une classe nouvelle. Or M. Rl'ssell nous apprend que cette proposition n'a pas encore reçu de démonstration en Logistique. SI. Zbrjlelo a dû ta postuler pour démontrer que tout ensemble peut Èlre bien ordonné (il/a(/(. Annalen, t. S9).
",-'t LIDEE DE NOMISRE
nition a ceci Ho remarquable, qu'elle n'implique aucun ordre entre les facteurs (aucune distinction de multiplicande et de multiplicateur), de sorte que la loi commutative est évidente, et n'a pas besoin de démonstration '. En outre, elle s'applique à un nombre quelconque de facteurs, lors même que ce nombre serait infini. Enfin elle s'applique également au cas où un ou plusieurs facteurs, ou même tous, sont des nombres infinis. Elle est donc absolument générale pour tous tes nombres cardAnau^: (nombres essentiellement entiers). D'ailleurs, toutes les définitions précédentes sont également valablos pour les nombres finis et infinis, par cela même qu'elles sont indépendantes de l'idée d'ordre; et jusqu'ici, nous n'avons pas eu l'occasion ni même le moyen de distinguer les nombres finis et les nombre? infinis.
§ B. — THÉOÎlIli ORDINALE.
11 en Vil tout autrement dans la théorie ordinale, où l'on considère les nombres entiers comme consécutifs, et où on les définit par leur succession même ; cette définition ne vaut que pour les nombres finis, et sert à les distinguer des nombres infinis. Voici comment M, Peaho l'expose dans son Formulaire^ : c'est ce qu'on appelle une définition par postulats.
On prend trois notions indélinissables, représentées par les symboles [zâfo), N [nombre entier) et « seq » {le suivant de). Ces trois notions sont hétérogènes: est un individu, N est une classe, et n seq » est une fonction. On pose en outre cinq axiomes ou poalulals, qui sont les suivants ^ :
1. D'ailleurs, on déduit de cette définition le théorème suivant ; • Soit K une classe de a claeses disjointes, dont cliacune compread b éléments; la somme logique des classes K a pour nomtire cardinal le produit rtX* (tel qu'il a été défini précédemment] ■ (Whitehe.ïu, op. cit., prop. 1. S). On retrouve ainsi la définition vulgaire (non symétrique) du produit de deux nombres entiers.
2. Cf. G. Pea3i>, Aritttmetices prinoipia nova mel/iodo ex'posila (Turin, Bocca, 18S9); Sut concetto di numéro, &p.Ilmsladi Matematica, l. 1(1S9I); Arilmetica i/eneyale e Algebra elementare (Turin, Paravia, 1902).
3. Dans tout cet ouvrage, les axiomes ou posUilats de i:liaque tliéorii: seront numérotés en chiffres romains.
H Zévo est un nombre entii;r. »
ll.«i N . o . seq ff - =
a Zéro n'est le suivant d'aucun nombre entier, »
m. a E N . o . seq (i E N
« Le suivant d'un entier est un entier. «
