IV. a .« f-i N - N, : a; e s . 3i . seq .:c Ê s : o . N o s

« Si dans une classe a il y a un nombre qui n'est le suivant d'aucun nombre, et si le suivant de chaque s est un s, tout nombre est un s. »

Telle est la nouvelle forme du principe d'induction. Ces

1. Traduction littérale : « Zéro est le nomb de nombre entier >j tel que le suivant de ; résulte principalemenLde l'ancien postulat 11

THEORIE ORDINALE 37

postulats une fois admis, on peut dénaonlrer qu'il n'y a qu'un seul nombre qui ne soit te suivant d'aucun, c'est-à-dire que si deux nombres possèdent cette propriété, ils sont égaux (identiquesl :

On peut alors appeler :.<:r<i ce nombre unique, c'esl-à-dire poser ta définition (avec :) :

= -.(N-N,) qui est l'égalité énoncée plus haut, sous une forme différente due à l'introduction du symbole ^^. On peut démontrer dès lors loutes les propriétés de zéro, à commencer par celles-ci :

OeN, rt£?i.o.seqc(-^0

qui faisaient partie des anciens postulats, et déduire ceux-ci des nouveaux postulats, ce qui établit l'équivalence des deux systèmes de postulats.

On peut enfin prouver que le nouveau système de postulats est irréductible, comme l'ancien, et que le nouveau système de notions premières (N, seq) est irréductible par rapport au nouveau syslème de postulats; ce qui constitue la perfection logique d'un système de principes.

Ce perfectionnement des principes de l'Arithmétique n'a pas, toutefois, une importance aussi capitale qu'on pourrait le croire ; il l'aurait, assurément, si l'on n'avait pas d'autre moyen de fonder l'Arithmétique que de l'asseoir sur quelques notions premières et quelques postulats; il ne l'a plus, si l'on peut déduire l'un ou l'autre système de postulats d'une définition explicitedu nombre entier, comme l'a montré M. RusselJ; car alors, ni les notions premières ne sontvraimentindéfinissables, ni les propositions premières ne sont indémontrables, et par suite il n'importe plus autant que leur nombre soit réduit au minimum.

Or cette définition par postulats, suffisante au point de vue mathématique, n'est pas irréprochable au point de vue logique, En effet, comme la définition par abstraction, elle n'assure

58 L'IDUE DE NOMBRE

ni Vexlslei>ce ni Vtinicilé de l'objeb délînî (à savoir la suite naturelle des nombres). C'est surtout l'unicité qui ne paraît pas évidente. M. Piîano lui-même remarque qu'il n'y aurait rien à changer si l'on remplaçait par \ : N désignerait alors la suite naturelle des nombres à partir de 1, et non plus à partir de 0. On pourrait de même remplacer par un nombre quelconque; tous les axiomes continueraient à être vérifiés, et par suite toutes les propositions de l'Arithmétique. On aurait donc une infinité de « suites naturelles >< indiscernables, et jouissant des mêmes propriétés formelles.

A. cela M. Russell répond fort justement : si toutes ces suites naturelles jouissent des mêmes propriétés formelles, elles sont indiscernables et n'en font réellement qu'une; car qu'importe que le premier nombre s'appelle ou 1, du moment que les symboles et 1 sont indéfinissables? La remarque de M. Peano pèche en ce qu'elle suppose le sens réel de et de 1, alors que ce sens est postérieur à la définition discutée. Néanmoins, elle subsiste tant qu'on prétend définir les trois notions premières (0, N et seq) au moyen des cinq axiomes. Car il peut y avoir une infinité d'entités différentes qui vérifient ces cinq axiomes, et par suite une infinité de sens possibles pour les trois symboles 0, N et seq. Pour mettre fin à cette ambiguïté, il suffit de définir d'une manière univoque ces trois symboles, et alors tous les nombres de la suite naturelle seront, eux aussi, définis d'une manière univoque. C'est ce que l'on obtient en posant les définitions suivantes :

1" « est le nombre cardinal de la classe nulle (défiuie en Logique) »:

2" « l est le nombre cardinal des classes singulières (définies eu Logique) » ;

3° « Le suivant d'un nombre ii est le nombre i» + l, somme arithmétique de n et de i » (l'addition arithmétique a été définie en fonction de l'addition logique) ;

A" « ÏS" désigne la classe des nombres entiers finis, c'est-à-dire des nombres qui appartiennent à toute classe n- qui contient 0, et qui contient (n-4-1) dés qu'elle contient n. »

THEOR[E ORDINALE S9

Ces définitions fixent, comme on voit, le sens à attribuer aux trois symboles indéfinissables, et cela en termes purement logiques. Dès lors, la définition du nombre entier cesse d'être suspendue à trois notions « premières » indépendantes des constiintes logiques; elle se réduit à une définition nominale qui ne contient pas d'autres notions indéfinissables que les constantes logiques. Par là est achevé le rattachement de l'Arithmétique à la Logique, sans adjonction d'aucune notion première nouvelle.

On peut simplifier encore ces définitions'. D'abord, si l'on admet la conception de Frëge et de Russell, suivant laquelle un nombre cardinal est une classe de classes, la 1" définition pourra s'écrire simplement :

= vA

Il Zéro est la classe qui comprend la seule classe nulle *. »

La 2' définition peut être supprimée, car elle peut se déduire de la 3', qui est générale. Celle-ci s'écrira, suivant la même conception :

iieN.o .)i + -l = Gis -^ i!?(w - = ,\: xzu.o,.u- ■. jC5m!.

« )( étant un nombre entier fini, ii H- 1 est la classe des classes ti telles que, si x est un élément d'une classe )( (non nulle), la classe des w non égaux à a: a le nombre n i>. C'est une définition par récurrence de tous les nombres entiers finis : elle revient à dire qu'une classe a le nombre n -+- 1, quand celte classe, diminuée de l'élément x qu'elle contient, a le nombre n. Elle équivaut à !a définition progressive de (/( -+- 1) comme somme arithmétique de n et de \.

Si l'on applique cette définition au nombre 1, eu faisant H r= 0, on obtient la formule ;

1 =L1S -^M3,M-=A t=« Ot «-<' Ol

i. Whitebcad meituueul Section III (due & M Bus ell)

2, Nous aTons parle précMeminent des classes luH/'s au pluriel et dit

qu'elles sont égales Or des classes égales sont identiqies Rigoureuse

ment, nous au ions dl due qu tl n \ a qu unt. claisse m Ile mai'i qu elle

peut Être 1 eilenaion de plusieurs concepts difféients en Lorapiehensma

60 L'IDKE de NOMISRË

Or:

uo '.X .-^-.y Î.U .0,1 .y^x

La dfiflnilion de \ devient donc finalement :

\ — Z\^r:u^{u- = s:xiu.yi.u. o^^„,.y=x).

i( l est la classe (le nombre cardinal) des classes u (non nulles) telles que, si ai et i/ sont des éléments de ii, ils sont nécessairement identiques. »

On retrouve ainsi la définition logique du nombre l que nous avons donnée dans le Chapitre I (p. 26), déduite de la définition générale de (n-h 1) en fonction de n. Il en résulte que 1 est le suivant de dans la suite naturelle. On définirait de même 2 comme (1 4- 1) ou suivant de 1 ; 3 comme (2-1-1) ou suivant de 2 ; et ainsi de suite.

On remarquera, en passant, l'avantage de la conception Frege-Russell au point de vue du calcul logique. Au lieu d'avoir à introduire une fonction nouvelle " Num » {nombre cardinal des) comme fait M. Peano', on exprime simplement la relation d'une classe à son nombre cardinal au moyen du signe général de l'appartenance d'un individu aune classe (s).

Une fois ces définitions posées, on peut démontrer logiquement (sans aucun recours à Tintuilion) toutes les propriétés des nombres entiers finis, et notamment les cinq postulats de Peano, ou les quatre de Padoa, d'où ces propriétés se déduisent. En particulier, la loi d'induction est contenue dans la définition même du nombre entier fini (4' définition), et en résulte immédiatement'. On démontre par exemple que zéro

1. Peano, Sul conceilo d! numei'o, ap. Revue de Malhémaliqiief, t. 1, p. 2d8 ()891); Formulaire de Malhémati'jiies, iflOS, g§ 20 et »6.

2. M. Dedekind (Waa Hnilundvias solkn die Zahlen, 18S*)a cru démontrer la loi d'induction, mais en admettant que leij nombres Torment une chaîne, c'est-à-dire une suite douée des propriéLéa de la. auite naturelle [p'esl, ce que nous appellerons plus loin, avec M. Russell, une progression). M. J. Kevseli a montré que cette assompiion est luie pétition de principe {Conceming the axiom of infinity and malhemaliail induction, ap. Bii;lelin ofike American Matbematical Society, l. IX, p. 424, 1903). 11 semble

LES NOMBRES INFIKIS 61

110 peut être le suivaot d'aucun nombre entier (d'où l'on conclut que la suite naturelle n'est pas périodique ou fermée); que le suivant d'un nombre est toujours dilïérent de ce nombre (d'où l'on conclut que la suite naturelle est illimitée ou sans fin); que le nombre des nombres entiers de à n est le suivant de n , c'est-à-dire (n -+- i), d'où il résulte que n est le nombre cardinal des nombres entiers de 1 an'.

Les définitions précédentes relient la théorie ordinale du nombre à la théorie cardinale. Ainsi ces deux théories ne se contredisent nullement, et ne font pas non plus double emploi; elles ont des significations bien différentes, et aussi des extensions très inégales, La seconde présuppose la première : celle-ci définit le nombre cardinal en général, tous les nombres cardinaux possibles; tandis que !a seconde définit, dans cet ensemble, une certaine classe, à savoir les nombres finis, et donne le moyen de les définir et de les construire progressivement (par l'addition répétée de 1) ; par là même, elle leur assigne un ordre. Mais, il importe de le remarquer, cette subordination réfute ipso facto les théories suivant lesquelles le nombre ordinal serait antérieur au nombre cardinal ; les nombres seraient définis tout d'abord par leur rang, comme de simples numéros d'ordre, et n'acquerraient leur signification cardinale que parleur application au dénombrement des classes concrètes-.

§ C. — Les nombres infi.sis.

La conséquence la plus importante de la distinction de ces deux définitions est la possibilité des nombres cardinau\ infinis

qu'on en puiase dire autant de la démonstraLEon que M Fiiege a pto posée de la m li me loi '.Begi-i/fmchr/ft, prop. 81, lb!t, et Giunllaqen dei Arîlhmetik, % 8(1, iH84), car elle repose sur une délinition spéciale de . la succession dans une suite •■

1. Cf. Fheob, Grundlagen die Ârithmetik, gg 82 83 (1884) Il oonMent de rappeler que o'esi. sur cette propriélé que repose 1 opération du dèDOUi brement. On voit qu'elle est loin d'être primitive

3. Telles sonlles théories de Helmhoi.tz, de KiioMïCtBii et de M DEiiKfci-<D, que nous avons exposées et critiquées dans De I Infini mathématique, 2' partie, ILv. i, eli. i et u.

En efl'el, |jar cela tnêine que la définiLion ordinale est subordonnée à la définition cardinale, elle ne délinit qu'une parité des nombres cardinaux, à savoir ceux qu'on peut obtenir en partant de par Taddition répétée de 1 . Rien ne permet d'affirmer qu'on obtient ainsi tous les nombres cardinaux; on se borne à en ranger guelques-uns en une suite linéaire, et à distinguer les éléments de cette suite dans l'ensemble des nombres cardinaux. Tous les arguments dirigés contre les nombres inflnis consistent à supposer qu'ils font partie de cette <.< suite naturelle des nombres ", et qu'ils peuvent être obtenus par l'addition répétée de i ; c'est-à-dire h imposer à tous les nombres cardinaux les conditions qui définissent seulement les nombres finis, et à confondre les deux définitions du nombre que nous venons d'exposer.

Il faut bien remarquer, à ce propos, que le principe d'uf duclio» est un élément essentiel de la seconde définition, et que par suite il caractérise les nombres finis, de sorte que tous les raisonnements fondés sur ce principe ne valent que pour les nombres finis. Celte conséquence est contraire à l'opinion de M. PoiscABÉ, qui, considérant le raisonnement par induction complète (ou par récurrence) comme n le raisonnement matbématique par excellence », a cru y voir l'intervention de l'idée d'infini, parce qu'un tel raisonnement enveloppe « une infinité de syllogismes », et par suite un principe synthétique f> irréductible au principe de contradiction ' » . Le raisonnement par induction n'est pas le procédé général de la déduction mathématique, puisqu'il ne s'applique que dans l'Arithmétique des nombres finis ; il n'enveloppe pas une infinité de syllogismes, car au contraire il permet de démontrer une proposition pour tous les nombres entiers finis sans qu'on ait à la

1. H. PoiscABK, Sur la natjire du raisomiement mathématique, ap. BeBue de Métapliysii/iie, t. II, p. 311; La science et l'hypothèse, p. 19 sqq. Cette remarque a été déjà faite par M. Burali-Fohti (te elassi finite, p. 3, note 5, ap. Alli délia B, Accademia délie Scieme dî Torino, t. XXXll, 15 iiov. 189S; et mémoire cité du Conffj^Js de Phitosop/iie). Auparavant, M. Fhkgb avait déjà déduit la loi d'induction de principes purement lo^-iqiiea {Hef/ri/fs' sclirifl, 1819) et établi que les lois de l'Arithmétique sont analytiques (Die Gmndtageit der Arithmeiik, 1SS4).

démontrer séparément pour chacun d'eux; enfin le principe d'induction n'est pas un jugement synthétique, puisqu'il fait partie de la définition des nombres finis, et en exprime une propriété essentielle et caractéristique.

Il est néanmoins facile d'expliquer qu'on ait pu y voir en quelque sorte la définition de l'infini : c'est que, d'une part, i;e principe, servant a caractériser les nombres finis, sert ainsi à définir indirectement les nombres infinis; et que, d'autre part, en définissant la suite naturelle des nombres, il définit par là même une collection infinie d'objets'. Ainsi s'expliquent tous les paradoxes du nombre infini : le nombre des nombres finis est un nombre infini'. Par là même, ii échappe aux prises du principe d'induction, qui ne vaut que pour ies nombres finis. Encore une fois, c'est lui qui permet de démontrer les propriétés générales des nombres finis, malgré leur infinité ; les négateurs de l'infini supposent au contraire qu'on ne peut traiter les nombres finis que un à un et successivement, comme si leur ensemble ne pouvait être connu et appréhendé que par une éoumération complète. C'est lii d'ailleurs une propriété de tous les concepts généraux, qu'ils permettent de traiter à la fois tous les objets qui font partie de leur extension, ces objets fussent-iis en nombre intini. Un concept peut en efTet avoir une compréhension finie et une extension infinie, et c'est ainsi que nous pouvons penser des ensembles infinis ', Certains arguments contre l'infini semblent méconnaître cette vérité, et impliquer qu'un concept qui représente une infinité d'objets doit envelopper une infinité de caractères, ce qui le rendrait évidemment impeu-

a quelle conl.radiction se condamnent ceux qui n inioquant le principe d'indue Lion, qui implique e la. suite naturelle.

h i-.ort du rapprocheraenl des deux propositions op Lit prop. 2.42, 2.43) :

nombie fini ; Oo ", ■ «o e nombre infini",

qui n'ont bien entendu, rien de contradictoire,

3. C'est dans ce sens BCitlement que le principe d'indui'iinn . pi lopperinlini - il ny a donc là rien qui puisse infirmer ! logique et analytique.

sable (iauB su tolaliLé. H. Russëll distingue neltement deux sortes de régression à l'infini, l'une légitime, celle qui implique une infinité d'objets ou de conditions extrinsèques; l'autre, illégitime, celle qui ferait dépendre le sens d'une proposition d'une infinité d'éléments, et qui exigerait, par suite, que l'on pensât simultanément une infinité d'idées '. On peut dire, en gros, que ces deux infinis sont relatifs, le premier à l'extension, le second à la compréhension. L'infini de compréliension seul est impensable, mais non l'infini d'extension, du moment qu'il correspond à un concept de compréhension finie. Contester la possibilité de ce fait, serait simplement nier l'existence et la valeur des concepts généraux , qui tous peuvent s'appliquer à une infinité d'objets. Ce serait méconnaître ce fait, qu'une classe peut être déterminée par un concept, et n'est pas nécessairement donnée par l'énumération de ses éléments'. Au surplus, une classe ne peut pas être définie (ni conçue primitivement) comme la somme logique de ses éléments, pas plus qu'un nombre ne doit être conçu comme la somme de ses unités; car, de même que l'addition arithmétique présuppose l'idée de nombre et porte sur des nombres, l'addition logique présuppose l'idée de classe et porte sur des classes déjà formées'.

Nous venons d'obtenir une définition en quelque sorte négative de l'infini, au moyen du principe d'induction complète qui caractérise les nombres finis. On sait qu'il y a une autre définition de l'infini, plus positive, qui consiste à dire : Une classe (ou ensemble) est infinie quand elle est équivalente à une partie intégrante d'elle-même '. Cette définition {qui est celle de Georg Gantoh) peut être considérée comme cardinale, par opposition à la précédente, qui est ordinale. Or on ne peut pas admettre deux définitions différentes de l'infini; il faut en adopter une,

i. RussBLL, op. cit., ^l 33 et 09.