Id., op. cit., cliap. xv

4-. On appelle partie intégrante une partie non égnie au toul. En particulier, on oblienl une pai'Ue intégrante ifLine classe en [etnmcliant à celle-ci un de ses éléments.

LES NOMBRES INl'INIS 6i>

et démontrer i'aulre, ou la postuler comme un axiome ', M. Georg Caktor a essayé de démontrer qu'un ensemble fini n'est équivalent à aucune de ses parties, et qu'un ensemble infini est équivalent à une partie intégrante de lui-même '; mais cette double démonstration repose d'une part sur une définition insuffisante des nombres cardinaux finis', et d'autre part sur cette proposition, que tout ensemble infini contient un ensemble équivalent à la suite naturelle des nombres (de nombre cardinal a,) '; or cette proposition, qui paraît évidente, n'a pas encore été rigoureusement démontrée.

M. WuiTiîHEAD a également essayé de démontrer que les deux définitions en question sont équivalentes"; voici comment ; Les nombres cardinaux finis étant définis comme ceux qu'on obtient par l'induction complète (en partant de 0), les classes finies sont par définition les classes qui possèdent un nombre cardinal fini; les nombres infinis et les classes infinies sont alors définis d'une manière purement négative. Cela posé, on définit le nombre a„ comme le nombre cardinal des nombres finis; on démontre alors que a,, est un nombre infini, et que toute classe infinie contient «ne partie qui a pour nombre a, {d'où il résulte que a^ est le premier ou le plus petit des nombres infinis). De là on déduit" qu'aucune classe finie n'est équivalente à une partie intégrante d'elle-même, et que toute classe infinie est équivalente à une partie intégrante d'ellemême, d'oii il résulte que cette propriété est caractéristique des classes infinies. L'équivalence des deux définitions se trouve ainsi établie*.

1. C'est ce que taisait encore M. Hussell dans son des relations [Heuue de Malhéiiiatiqiies, t. Vli, p. I

3. Sur les fonâeinents de la théorie des ensembles iramfinis, g 8, théorëmes C et D.