PARIS

FÉLIX ALCAN, ÉDITEL'R

ANCIENNE LIBRAIRIE GERMER BAILLIÈRE ET C" 103, BOUr.EVARI) SAIN'T-GERMAIN, i08

AVANT-PHOPOS

Le présent livre n'a aucune prétenlion à l'originalilc, et c'i'st précisément ce qui doit le rccommandei' au lecteur. Il doit l'existence à l'apparition du magistral ouvrage de M. Bertrand RussiîLL qui porte le même titre'. En principe, il n'était qu'un compte rendu de cet ouvrage^; mais, pour commenter et illustrer les théories phiSosnphiques de notre auteur, noua avons été peu à peu amené à faire rentrer dans notre exposé l'analyse de la plupart des travaux des mathématiciens contemporains sur les mômes questions, De cette sorte d'enquête sur l'étal présent de la philosophie des mathémalic|ues est résultée pour nous la conviction (que nous espérons faire partager au lecteur) que la doctrine de M. Russell n'est nullement, comme certains systèmes philosophiques à la mode, un brillant paradoxe, une fantaisie individuelle et éphémère, sans racines dans le passé et sans fruits dans l'avenir, mais l'aboutissement nécessaire et le couronnement de toutes les recherches critiques auxquelles les mathématiciens se sont livrés depuis un demi-siècle. C'est un fait notoire que les mathématiciues modernes ont constamment tendu à la rigueur déduclive des raisonnements et à Ja pureté logique des concepts, A ces besoins nouveaux de l'esprit scientilique devait nécessairement répondre une

1. The PHitciples of Malhemalics, t. 1 (Cambridge, L'niversity Pi-css, 1903).

2. Voir Kl Revue de Métaphysique ei de Morale, janvier-mare-juilietnovembre 1904, mars 1905.

^' AVAXT-PROPOS

Logique de plus on plus exacte et raffinée ; l'inslrumenl indispensable de celle nouvelle Logique est la " logique symbolique .1 inventée par M. Peano, pratiquée par toute une école de mathématiciens et perfectionnée par M. Russell. C'est grâce à celle Logistique (comme nous l'appellerons désormais) qu'on a pu soumettre toutes les théories mathématiques à une analyse précise et subtile, et les reconstruire logiquement avec un petit nombre de données fondamentales (principes et notions premières). C'est grâce à elle que M. Hussell a pu, en complétant sur certains points ce travail de réduction logique, systématiser tous les résultats acquis en une vaste et profonde synthèse, qui est la quintessence des travaux antérieurs, et qui manifeste l'esprit même de la mathématique moderne.

Cet esprit se trouve Être diamétralement opposé (d'autres philosophes l'ont remarqué comme nous) k la philosophie des mathématiques de Kanl, qui a encore beaucoup de crédit dans les écoles. C'est pourquoi nous avons saisi l'occasion qui se présentait à nous de confronter cette philosophie avec celle qui se dégage implicitement de la mathématique contemporaine '. Gomme le contraste même est propre à mieus faire comprendre celle-ci, et à faire apprécier l'originalité de la doctrine dont nous nous faisons l'interprète, nous avons cru devoir joindre cette étude historique en Appendice à cet ouvrage. On a reproché à cette étude de n'être pas asseï historique, de ne pas se replacer suffisamment au point de vue et au temps de Kant. Assurément, nous n'avons pas cru devoir en éliminer toute préoccupation critique ou dogmatique. Mais, alors que tant d'historiens ont profité du centenaire de la mort de Kant pour comparer sa doctrine aux idées du temps présent, et ont cru pouvoir la louer de s'accorder avec elles, en vanter la vitalité et la modernité, nous avions bien le droit d'instituer, en un autre domaine, une comparaison semblable et d'en tirer, dans ce domaine, des conclusions moins favorables au kan-

1. Dans le numérn que la Renne de Métaphysique et de Morûie a consacré au centenaire de la mort de Kanl (mai 1904). Cf. Bidielin de la Société françni.'e de l'hilosophie, miméro de mai 190-i.

AVANT-PROPOS Vil

tismc. Exiger qu'on juge toujours un philosophe « de l'intérieur ", à son point de vue et à celui de son temps, c'est admettre qu'il n'y a pas de vérité en philosophie, qu'un système philosophique est une œuvre d'art qui ne vaut que par son unité intrinsèque et son harmonie '. En philosophie comme ailleurs, le respect superstitieux du fait historique aboutit au dilettantisme et au scepticisme.

Comme de juste, nous manifestons la même indépendance à l'égard de nos opinions anciennes. Nous devons prévenir ceux de nos lecteurs qui connaîtraient notre ouvrage De l'Infini mathématique que noua renions désormais quelques-unes des tlièses que nous y avons soutenues. Pour préciser, nous en maintenons toute la partie didactique et critique; c'e&t la partie positive, notamment la théorie du nombre et celle de la grandeur, que nous remplacerions par les chapitres II et III du présent livre. Les critiques sont avertis par là de ne pas nous opposer des contradictions manifestes entre nos thèses d'iiiijourd'hui et celles d'aulrefois. S'il nous fallait une excuse pour avoir varié, c'est-à-dire, croyons-nous, pour avoir progressé, elle se trouverait dans ce fait, que presque tous les travaux dont nous nous inspirons ici ont paru dans les dix années qui se sont écoulées depuis la composition de notre premier ouvrage.

(Jette considération ne nous laisse non plus aucune illusion sur le caractère définitif de notre travail. Lors même qu'il serait au courant aujourd'hui, il ne le serait plus demain. Tous I ïs ans, on pourrait presque dire : tous les mois, il parait de nouveaux mémoires sur les principes de telle ou telle branche des mathématiques, qui parachèvent sur quelque point la reconstruction logique des sciences exactes. Le nombre et la variété des travaux de ce genre qui paraissent en Italie et en

1. D'aillfiurs, même à ce point de vue, le système de Kant reste encoi-e sujet il critique. Son savant commeatateut- n'a-t-il pas déclare que ■ la Criliquede la raison pare est l'œuvre la plus géniale el la plus pleine de contradictions de toute l'histoire de la pliiloaopliîe '■?(VAiiiiNGEn, Commenlar :!i Kants Ki-ilik der reintn Veriiiinfl, t. II, Préface; 1892). Nous avons eu ■'audace) de remarquer quolques-uoes de ces conLradictions.

Angleterre, en Allemagne el en Amérique prouvent au speclateur le plus superficiel les progrès incessants que font la Logistique et la Logique des mathématiques. Nous avons le regret de constater que la France n'y a pris jusqu'ici aucune part; nous nous croirions amplement payé de nos peines, si notre ouvrage pouvait contribuer h faire connaitre dans notre pays cet imposant ensemble de travaux, à répandre les doctrines auxquelles ils ont donné naissance, enfin et surtout, à susciter parmi nos compatriotes des chercheurs capables de rivaliser avec les logisticlens étrangers, do collaborer à leur œuvre et de la continuer.