INTRODUCTION

Jusqu'au milieu du xix' siècle, la Logique eL les Mathématiques avaient vécu absolument distinctes et même séparées. La Logique était resiée confinée dans le domaine étroit que lui avait assigné Arîslote, à savoir dans l'étude des relations d'inclusion ou de prédication entre les concepts généraux et abstraits; et, malgré les tentatives de Jungius, de Leibniz et de leurs disciples, qui avaient avorté ou restaient ignorées, rien ne pouvait faire prévoir une renaissance ou un nouveau développement de la Logique, De leur côté, tes Malhémaiiques (ce pluriel est significatif) formaient une collection de sciences spéciales d'un caractère technique : science du nombre, science de la grandeur, science de l'espace, science du mouvement, dontl'unité, assez vague, consistait uniquement dans la communauté de méthode. Mais, chose curieuse, cette méthode déductive était absolument inconnue de la Logique formelle, qui pourtant prétendait étudier toutes les formes de la déduction, de sorte qu'il s'était constitué implicitement une Logique mathématique tout à fait différente de la Logique classique (syllogistique) ; et les philosophes, pour expliquer cette dualité, se contentaient d'opposer entre elles la Logique de la qualité et la Logique de la quantité, sans chercher \v. lien qui devait

les unir, en tant que branches d'une seule el même Logique.

Cet état de choses a complètement changé pendant la seconde moitié du xix' siècle. D'une part, les mathématiciens furent pris de scrupules logiques inconnus de leurs prédécesseurs ; ils se mirent à analyser leurs méthodes de démonstration, à yériiier l'enchaînement de leurs théorèmes, à rechercher les hypothèses ou postulats qui se glissaient subrepticement dans leurs raisonnements, enfin à dégager les principes ou axiomes d'où partaient leurs déductions et d'où dépendaient toutes leurs théories. Le Calcul infinitésimal, dont les principes avaient gardé quelque chose de paradoxal et de mystérieux, fut enfin fondé sur la théorie rigoureuse des limites; la théorie des fonctions, où avaient longtemps régné des préjugés d'origine intuitive, fut épurée el approfondie. La Géométrie et la Mécanique, dégagées autant que possible de l'intuition, devinrent des « systèmes hypothétieo-déduclifs » fondés sur un certain nombre d'axiomes ou de postulats d'où tout le reste se déduit logiquement. Enlin, en creusant pour ainsi dire les fondations de leur science, et en reprenant tout l'édifice en sous-œuvre, les mathématiciens furent amenés à constituer deux théories nouvelles qui devaient désormais servir de base à toutes les autres : la théorie des ensembles et la théorie des groupes; autrement dit, la science des multiplicités et la science de l'ordre. Ainsi il apparaissait que les sciences du nombre et de la grandeur n'étaient pas primordiales, mais reposaient sur des doctrines d'un caractère plutôt logique que mathématique, et sur des notions qui n'avaient plus rien de quanlilatif.

D'autre part, la Logique, grâce k des mathématiciens, sortait vers le même temps de sa torpeur séculaire : tout d'abord, elle s'apercevait qu'elle n'avait même pas exploré et défriché tout le champ où Aristote l'avait enfermée; et dans le domaine circonscrit des relations d'inclusion entre concepts, elle découvrait bien d'autres formes de déduction que les trop fameux modes du syllogisme (dont quatre se trouvaient d'ailleurs faux)., Empruntant à l'Algèbre, non pas ses principes, mais sa méthode et son symbolisme, la Logique formelle se consliluait pour la