EnRiQHBS, op. cit., g 9 ; Piebi, op. cit

taire d'une droite en elle-même, f|ui consiste à échang-er entre eux les points conjugués par rapport à deux points fixes; c'est ce qu'on appelle une transformation harmonique.

On peut alors démontrer le théorème de Staudt : Toute transformation harmonique qui contient trois points doubles est une identité; autrement dil, si dans une transformation harmonique 3 poinis coïncident avec leurs correspondants, tous les autres points coïncident avec leurs correspondants'.

De ce théorème il résulte qu'une transformation harmonique est déterminée par 3 points. C'est le théorème fondamental de ta Géométrie projective'. C'est lui qui permet d'appliquer les nombres réels aux figures projectives, et d'établir ainsi les coordonnées projectives, sans l'intervention d'aucune notion métrique'. Par suite, une fois cette application faite, toute question de Géométrie projeclive se réduit (comme dans la Géométrie analytique cartésienne) à une question d'Algèbre, résoluble par des moyens purement analytiques (c'est-à-dire logiques). Ainsi les 18 postulats précédents suffisent à fonder la Géométrie projective de l'espace général à n dimensions.

Si l'on veut se restreindre à l'espace ordinaire à 3 dimensions, on devra admettre un postulat de plus :

" XIX. a, b, c, d étant 4 poinis non dans un même pian,

i. Stauot, Géométrie der Lage,% 106 (1847); Pasgh, Vortesungen Ûber neiiere Géométrie, p. 126 (1882) ; Ewriouïs, op. cit., g 14; Piem, op. cit., § 10.

2. M. WiBKER a affirmé que le théorème fondamental de la Géométrie projective peut se démontrer sans aucun postulat de continuité, au moyen des ttiéorèmes de Desargues et de Pascal {Ueber die Grimdlagen und dett Âus/iaa der Géométrie, ap. Jahresbericht der deutscken Matkemaliker- Veremigung, t. I, p. 41; t, III, p. 10); et M. Sqhob a effectué celte démonstration {Veber den Fundamentalsatz der projectiven Géométrie, ap. Mathemattsohe Attnaten, t.Ll, p. 401-409 ; I89B); Ueber dU Grundlagen der Géométrie, g 2, ap. Math. Aiin., t. LV, 1902). Mais les ttiéorèmes invoqués reposent sur les axiomes de congruence, qui appartiennent ^ la Géométrie méCrî^w. M. Balser a au contraire démontré ie théorème fondameutal au moyen du postulat de continuité de Dedekînd (c'est-à-dire de la continuité oi-dî- Jiale), sans invoquer la continuité géométrique, c'est-i-dire métrique {Veber den Pundamenlaisatz derprojectiven Géométrie, ap. Malhematiselie Amtalen, t. LV, p. 293-300 ; 1902).

3. Cette question des coordonnées projectives, sur laquelle nous ne voulons pas insister, parce qu'elle a surtout un intérêt technique, a été traitée à fond par Pasch, op. cit., § 22.

et e un 5" point non situé dans aucun des plans abc, abd, acd, bcd, il existe un point commun à la droite ae et au plan écrf. »

Ce postulat signifie qu'un plan et une droite ont toujours un point commun; ce qui équivaut à dire que l'espace n'a que 3 dimensions. On en déduit que deux plans ont toujours un(! droite commune.

La limitation à 3 du nombre des dimensions a pour effet d'établir entre les points et les plans la dualité si remarquable qui caractérise la Géométrie pi'ojeclive ordinaire, et qui consiste en ce que toute proposition projective donne lieu à une autre proposition également vraie, si l'on y remplace les points par des plans, les plans par des points, et si l'on conserve les droites avec les relations qu'elles soutiennent, soit avec les points, soit avec les plans'. Cette réciprocité vient, comme l'explique M. Piëri, de ce fait que, les notions indéfinissables de lalhéoriêétantcelleBdepomi eldedroite (série de points), dont le sens, dès lors, est indifférent à la vérité de la théorie, celle-ci reste vraie si l'on donne h ces entités un autre sens qui vérifie les mêmes relations (énoncées dans les postulats). Or on peut leur donner respectivement le sens de plan et de faisceau de plans (passant par une droite), ce qui fail que tout théorème vrai pour les points et les droites qui les joignent est encore vrai pour les plans et les droites qui en sont l'intersection.

Celte dualité générale a pour conséquence deux dualités spéciales, l'une dans les figures planes, l'autre dans les figures centrales (c'est-à-dire dont tous les éléments passent par un même point appelé centre)^. En effet, il y à réciprocité entre les figures planes et les ligures centrales, celles-là étant caractérisées par te fail qu'elles sont situées dans un seul et même plan, et celles-ci par le lait qu'elles passent par un seul et même point. Par suite, la figure réciproque d'une figure plane

. Deux plans, comme deux, points, délerminent une droit i n'ont pas ime droite commune déterminent un point, iiits non en ligne itroite déterminent im plan, etc. i. Lea ligurea centrales sont : ie faisceau de droites, li uis, la gerbe de droites et ia gerbe de plans.

est non figure centrale, et vice vena'. Mais, d'autre part, une figure plane est la section d'une figure centrale (par un plan donné), et une figure centrale est la projection d'une figure plane (depuis un point donné) ^, Cela étant, toute relation entre points et droites, dans un plan, se traduit par une relation de inênie forme entre droites et plans dans une figure centrale (les droites étant les projections des points, et les plans étant les projections des droites). Mais, par dualité, cette dernière relation correspond à une autre relation entre droites et points dans un même plan (pian correspondant au centre de la figure centrale). Ainsi la même relation qui existe entre les points et les droites d'un plan existe entre les droites et les points d'un autre (ou du même) plan, les droites correspondant aux points et les points aux droites. C'est en cela que consiste la dualité dans les figures planes.

De même, toute relation entre les éléments d'une figure centrale (composée de droites et de plans) se traduit par une relation de même forme entre les points et les droites qui en sont les sections planes. Mais, par dualité, cette dernière relation correspond à une autre relation entre plans et droites d'une même figure centrale (dont le centre correspond au plan précédent). Ainsi la même relation qui existe entre les droites et les plans d'une figure centrale existe entre les plans et les droites d'une autre (ou de la même) figure centrale, les plans correspondant aux droites et les droites aux plans. Telle est la dualité dans les figures centrales, réciproque de la dualité dans les figures planes^.

La dualité delà Géométrie projective offre un grand intérêt

1. Le faisceau de plans est la figure réciproque de la dpoile (comme ensemble de points); la gerbe de droites est la réciproque du plan (comme ensemble de droites) et la gerbe de plans la réciproque du plan (comme ensemble de poinls); enfin le faisceau de droites est la réciproque du faisceau de droites.

3. Le faisceau de droites est la projection de la droite (comme ensemble de poinls) ; le faisceau de plans est la projection du faisceau de droites; enfin la ee''be de droites et la gerbe de plans sont les projections du plan considéré respectivement comme ensemble de points et comme ensemble de droites.

3. Pabgh, op. cit., § 12; Esbiques, op. cit., § 15; Pieht, op. cit., g H.

philosophique, car c'est elle qui parait avoir suggéré aux mathématiciens cette pensée capitale, que la vérité des propositions de la Géométrie (et en général des Malhématiques) ne dépend pas du sens des notions premières, mais seulement de leurs relations fondamentales (énoncées dans les déiinitions et les postulats); que, par suite, ces propositions sont des conséquences formelles de ces postulais, et que toute la Géométrie peut se déduire logiquement de ceux-ci '. A présent, du reste, il ne s'agit plus d'une simple possibilité théorique : cetle déduction logique a été elîecluée par les géomètres que nous avons cités, el surtout par M. PiisRi, au moyen de la Logique symbolique de M. Peano, qui en garantit la valeur formelle et apodictique.

Si l'on ne veut pas se limiter à 3 dimensions, on pourra (en se passant du postulat XIX) définir Vhyperplan projectif du 3° ordre comme la projection d'un plan bcd à partir d'un point a extérieur à ce plan. On démontrera que cette figure est la même que celle qu'on obtiendrait en projetant le plan acd depuis le point 6, ou le plan a6rf depuis le pointe, ou ie plan abe depuis le pointi^; et on la désignera par aècd {a, b, c, d n'étant pas dans un même plan). On établira qu'un le! hyperplan est déterminé par 4 quelconques de ses points non situés dans un même plan. On pourra démontrer, sans le postulat XIX, que, dam un même hyperplan, un plan et une droite ont un point commun, el deux plans une droite commune ; de sorte que le postulat XIX (des 3 dimensions) revient à dire qu'il n'y a qu'un seul hyperplan de 3^ ordre, lequel constitue tout l'espace. Pour s'élever à la 4« dimension, il suffira d'admettre le postulat contraire ;

« XIX'. a, b, c, d étant i points non situés dans un même plan, il existe un point hors de l'hyperplan abcd. »

i, . Es niiiss in der That, wenn anders die Geonielrie wirklich deductiv sein soll, der Process lies Folgerns uberali unabhangLg sein vom Sitm der geomelrischen Begriffe, wie er unabhSngig sein vnuss ïon den Figure»; nur die in den benutzleu Sfltzen, bezieliungsweiaa DeGnUionen niedergelegten Beiiehuagen zwLschen den geoinetrischen BegrilTeQ dûrfen in BetraclU kommen," (Pasch, cp cil, p <t3 ) Celle phrase souvent citée earaetérise parlai leme m la leriddiii.c 1 igique de toule la Mathômaliquc moderne.

GEOMETRIE PROJECriVE IBT

Si l'on veut limiter à 4 le nombre des dimensions de l'espace, on devra admettre un postulat analogue à XIX, à savoir :

(1 XX'. a, 6, c, d, e étant S points non situés dans un même hyperpîan de 3= ordre, et fvin point non situe dans aucun des hyperplans abcd, abce, abde, acde, bcde, la droite af rencontre l'hyperplan Ècrfe. «

Il en résulte que la figure abcde (hyperpîan de 4° ordre) constitue tout l'espace. On voit que l'on peut ainsi définir progressivement an espace à. n dimensions [n étant un nombre entier fini), ou même (par induction complète) un espace à a„ dimensions', au moyen du postulat suivant (généralisation des postulats XI et XIII) :

" xr. n étant un nombre entier positif, si P est un hyperpîan de ïf ordre, il existe un point hors de P. »

S'il existe des points en dehors d'un hyperpîan de n" ordre, et cela quel que soit n., le nombre des dimensions de l'espace est infini. C'est ce que M. Pieri appelle l'espace projectif absolu. Et comme le postulat XI' remplace les postulats XI et XIII, cela fait en tout 17 postulats pour définir l'espace projectif absolu, et 19 pour déliuir l'espace projectif à 3 dimensions : de sorte qu'on peut dire qu'au point de vue logique celui-ci est moins simple que celui-là. Cela montre combien il est facile, logiquement, de concevoir un espace d'un nombre quelconque de dimensions, même infini ^.

Pour achever l'analyse logique de la Géométrie projective, il reste à donner une définition logique de la droite projective, qui est, comme on l'expliquera tout à l'heure. Tunique notion indéfinissable de cette théorie. La droite projective est un ensemble de points (en nombre illimité) déterminé par deux points; ou pourrait donc la définir comme une relation uniforme entre un couple de points et un ensemble de points (relation uniforme, mais non biuniforme : car la même droite

. 1. op est la nombre cardinal «les nombres enliers ûnïâ (v. p. 651. 2. M. Vehosese a été le premier à concevoir un espace d'un nombre infini de dimensions [Fundamenli lii Geomelria a più diiiteiisiimi, Padova,

peut être déterminée par plusieurs couples de points). Mais celle relation très complexe (ayant 2 antécédents et un nombre infini de conséquents) peut se réduire à une relation symétrique et transitive entre deux points; seulement cette relation n'a lieu qu'entre deux pointa différents (elle est, comme on dit, aliorelative '), et celte propriété limite sa trausitivilé. En d'autres termes, soit R cette relation; aRh signifie que les points « et ô appartiennent à une droite R (la relation R est la même pour tous les couples de points d'une droite, mais elle diffère d'une droite à l'autre). On aura toujours ; aRb = bRa, et aRb. blic. o. aRc (siaetcsonldifi'êrents). Une droite entière, c'esl-à-dire le domaine de la relation fl, se compose d'un de ses points et de tous les pointa qui ont avec lui la relation R (puisque cette relation est symétrique).

Une fois les droites projectîves définies comme les domaines des relations du type susdit, on peut définir l'espace projectif comme un ensemble de relations de ce type, possédant en outre toutes les propriétés énoncées dans les postulats énumérés ci-devant. On aura ainsi une définition purement logique de l'espace projectif^. Elle n'implique aucune notion indéfinissable, puisque les droiles sont définies comme des relations d'un certain type, et que les points sont conçus uniquement comme les termes (problématiques) de ces relations, de sorte que leur notion n'intervient pas réellement dans la théorie. Elle n'implique non plus aucune proposition première indémontrable, puisque tous les postulats de la Géométrie projective font maintenant partie delà définition de l'espace projectif, et constituent les propriétés hypothétiques de cet espace. On n'en affirme aucune catégoriquement; on se borne à. affirmer que, *( un espace jouit de telles propriétés énoncées dans sa définition, il possédera en outre telles autres propriétés énoncées dans les théorèmes. Ainsi la Géométrie projective est