Cours d'Analyse, 2* éd., t. I, p

2. Oawald Vbblïh, Thsory on plane cvrves m non-metrical Anal^sis situs, ap. Transaclions of the American Malk. Society, t. VI, p. 83 (190S).

3. Ueber einen grimdlegenden Saiz der Analym Situs, ap. GSilinger Nachrichten, 1902;' BeUrâge zur Théorie der Punktmengen, ap. Math. Annalen, t. LVIH (1904).

toute courbe simple fermée peut se transformer en une circonférence par une transformation biuniforme et continue; de sorte qu'elle est a semblable » ou « équivalente » à une circonférence au point de vne topologique '. C'est bien là la notion qu'on s'en fait ordinairement; mais on voit combien il est difflelle de délînir logiquement une notion qui parait si simple pour l'intuition.

Telle est la théorie où les notions de ligne en général et de surface en général sont fondamentales. Elle est fort difficile et fort peu avancée, et, comme on voit, elle n'a rien de commun avec la Géométrie élémentaire. Bien plus : elle procède moins de la Géométrie que de l'Analyse, car, si nous ne nous trompons, elle est née surtout de la considération des « chemins » que l'on fait décrire aux variables complexes, et des i< surfaces de Riemann » imaginées pour servir de carrière aux diverses « branches » des fonctions. Ainsi c'est la théorie purement analytique des fonctions qui a donné naissance & ces problèmes de situation et de configuration, qui semblent ne relever que de l'intuition.

§ B. — Géométbie projective.

Si on laisse de côté la Topologie, cette branche isolée et encore peu développée de la Géométrie, dont il convenait cependant de marquer la place et le rôle, toutes les théories géométriques se rattachent à trois corps de doctrines qui sont : la Géométrie projective, la Géométrie descriptive et la Géométrie métrique. Ces trois Géométries ne se distinguent pas par leur objet (qui est ou peut être le même), mais par leurs axiomes et surtout par leurs notions premières. Toutes les trois ont pour notion première commune le point. Mais la Géométrie projective lui adjoint, comme seconde notion première, la .droite projective (illimitée); la Géométrie descriptive, le segment rectiltgne; et la Géométrie métrique, la distance, la

i . Cf. G. CouBEHiAC, Géomélrie et Métrique, ap. Revue des Idées (15 mai 1905).

GÉOMÉTRIE PROJECriVB 143

congruence ou le mouvement. Nous allons exposer tour à tour les principes de ces trois doctrines.

La Géométrie projective étudie exclusivement les propriétés projectives ries figures, c'est-à-dire celles qui ne varient pas quand on transforme une figure par projection. L'instrument de toute projection est la ligne droite indéfinie; c'est ce qui explique le rôle fondamental qu'elle joue dans cette science, La Géométrie projective s'appelle encore la Géométrie de position, mais cette dénomination est trop large : elle s'appliquerait presque aussi bien à la Topologie et à la Géométrie descriptive. De toutes les positions relatives possibles, la Géométrie projective ne considère que les alignements, c'est-à-dire le fait que plusieurs points appartiennent à une même droite. Pour donner un aper^ju de la conslitution logique de cette science, nous allons énumérer les postulats qui suffisent à la fonder, et énoncer les principales propositions qui en découlent ',

Les premiers postulats de la Géométrie projective sont relatifs & la notion indéfinissable de point :

« I. Les points forment une classe. »

« II. Il y a (au moins) un point. »

H m. Si a est un point, il existe un point différent de a. »

1. L'exposé qui suit est le réauraé du mémoire de M. Pieri : IpiHncipU délia Geometria rfi poshione composti in sislema logico deduttivo, ap. Uemorie dHla R. Accademia délie Seienze di Torino, ser. II, t. XLVIll (1898). Cf. les mémoires suivants du même auteur: Suiprmcipiichereggono la Geometria di posizione et Sugli enli primilivi délia Geometria firojettiva astratta, ap. Âtli délia R. Accademia délie Scietize di Torino, t. XXX- XXXII (IB95-97); Un sistema di postulait per la GeometHa projeltiva astratta degV iperspazl, ap. Revue de Mathématiques, t. VI (1896); Nuovo modo di svolgere deduttivamente la Geometria projetliua, ap. Rendiconlt del R. tstitulo Lûmbardo, t. XXXI (1898), Dans ce dernier mémoire, M. PiBBi construit toute la Géométrie projective sur les deux notions preiniÈres de point et d'homographie, de même qu'il construit la Géométrie métrique sur les deux notions premières de point et de mouvement {y. g D). Enfin le même auteur a réduit en forme logique la Géométrie de la droite, ou de l'espace con(u comme ensemble de droites (d'après PLiicHEB) : Suiprincipii ehe reggono la GeometHa délie relie, ap. Atti delta R. Accademia di Torino, t.^XXXVI (1901); et la Géométrie projective complexe, c'est-à-dire comprenant les éléments dits imaginaires (points, droites et plans) : Nuo»î principH di Geometria projettiva comptesaa, ap. Memorie delta IL Accademia di Torino, l. LV (1905).

d44 LA GEOMETRIE

La ligna droite est, avons-nous dit, la seconde notion indéfinissable. Soient deux points a et &, il y a une entité qu'on nommera la droite ab, et que caractérisent les postulats suivants :

<i IV. Si a et ô sont deux points différents, la droite ab est une classe. »

« V. Chaque individu de cette classe est un point. »

« VI. Si a et 6 sont deux points différents, la droite af> est contenue dans la droite ba »; d'où ii résulte immédiatement qu'elle coïncide avec elle (c'est-à-dire lui est identique) ; ainsi la droite projective n'a pas de sens déterminé.

11 VII. Si a et 6 sont des points distincts, a appartient à la droite ab » ; et par suite b lui appartient aussi.

« Vlll. Si et è sont des poinfs distincts, la droite ah contient au moins un point distinct de a et de b. »

On remarquera l'utilité de ces postulats existentiels (II, III, VIIÏ) : dans une théorie rigoureusement logique, on ne considère pas «n seul point sans en avoir démontré ou postulé l'existence. Or, pour démontrer l'existence d'un point, il faut avoir quelques postulats existentiels qui affirment que tel point existe si tels autres pointa existent. Il ne s'agit d'ailleurs que d'une existence logique et idéale; cela revient, au fond, à dire que tel point est déterminé par tels autres points.

« IX. a et b étant des points distincts, et c un point de la droite ab distinct de a, b est un point de la droite ac. »

« X. Dans la même hypothèse, la droite ac est contenue dans la droite ab. » D'où il suit immédiatement que ces deux droites coïncident (sont identiques). On peut démontrer alors que, si c et rf sont deux points distincts de la droite ab, celle-ci coïncide avec îa droite cd; autrement dit, qu'une droite est déterminée par deux quelconques de ses points'.

On définit alors la relation d'alignement : Trois points sont collinêaires, s'ils appartiennent à une même droite. Trois points sont nécessairement coUinéaires, si deux d'entre eux coïucident (sont identiques).

GÉOMÉTRIE PROJECTWB 145

Pour sortir de la droite, et pouvoir considérer plusieurs droites, il faut admettre le postulat existentiel suivant :

11 XI. a, b étant des points distincts, il existe au moins un point n'appartenant pas à la droite ab. » D'où Ton peut conclure qu'il existe plusieurs droites (six au moins, en vertu du postulat VIII).

Pour arriver à la notion de plan, il faut encore un postulat :

<i XII. «, b, c étant 3 points non collinéaires, a' un point de bc autre que b et c, b' un point de ac autre que a et c, les droites aa' et bb' se rencontrent, •> C'est encore un postulat d'existence : * il existe un point commun aux droites aa' et bb' ». Ce postulat aura pour conséquence que deux droites quelconques d'un même plan se rencontrent toujours (ce qui exclut ia géométrie d'Euclide et celle de Lobatchevskij}. Si l'on désigne par abc l'ensemble des points situés sur quelque droite passant par a et par un point de bc, on peut démontrer, au moyen du postulat précédent, les identités suivantes :

abc:^acb:=bac^ bca^=cab-=^ cba.

La figure (ensemble de points) ainsi déterminée sera par définition le plan abc (l'ordre de ces trois lettres étant indifférent).

Si d, e, f sont 3 points non collinéaires d'un plan abc, celui-ci coïncide avec le plan def. Autrement dît, un plan est déterminé par 3 de ses points non collinéaires. Il en résulte immédiatement qu'un plan contient toute droite dont il contient deux points. Ainsi se trouve démontrée la propriété dont on se sert ordinairement pour déûnir le plan.

Introduisons ici une notation dont nous allons avoir besoin. De même que la droite déterminée par deux points s'indique comme le produit de ces points, le point déterminé par deux droites {c'est à-dire leur intersection) s'indique comme le produit de ces droites. Ainsi {ab. cd) représente le point d'intersection des droites ab et cd '.

On peut maintenant définir le quatrième harmonique de trois

1. Celle notation provient du Calcul de l'extension de GiiAsSMAriN.

CouTUBAT. — Les priiieipea des raalliiimaiiques, 10

points collinéaires a, h, c, ou le conjugué harmonique de c par rapport à « et 6, C'est un point x de la droite ab, tel qu'il existe deux points distincts u ,« n'appartenant pas à ab et alignés avec c, et que les points d'intersection {au. bv), {av. bu) sont alignés avec a; (fig. 5), Gomme on voit, cette définition n'implique aucune notion ou relation autre que celles que nous avons admises ou définies; elle est purement projective et ne contient aucun élément métrique. Le point x s'obtient, en partant des points 0, b, c, au moyen d'une construction que la définition indique et qu'on a|ipelle le quadrilatère de Slaudt'. Il faut

Fig. 5.

remarquer que la <3éfinrtion susdite n'implique nullement que le coujugué harmonique existe, ni qu'il soit unique. On montre d'abord qu'il existe; mais, pour pouvoir démontrer qu'il est unique, il faut sortir du plan et admettre le postulat suivant :

" XUI. a, b, c étant des pointa non collinéaires, il existe au moins un point qui n'appartient pas au plan abc. »

Ce postulat, joint aux précédents, permet en effet de démontrer le théorème des triangles homologiques (dit de DiiSABGUBs}, dont dépend le théorème de l'unicité du coujugiié harmonique. C'est un fait très remarquable que le théorème des triangles homologiques dans le plan, et par suite l'unicité du quatrième harmonique, qui s'obtient par une construction plane, ne puissent se démontrer qu'au moyen du théorème des triangles

1. Quand on considère ie quadrilatère (ou mieux ifuadrangle) complet a'ub'v, ses côtés opposés se coupent en a et *, et ses diagonales coupent la droite aùaiix points cet x, conjugués harmoniques par rapport à a et 6.

GEOMETRIE PiiOJECTIVE 147

homolûgi(|ues dans l'espace, c'est-à-dire d'un appeî à la 3° dimension.

La théorie des groupes harmoniques demande qu'on postule encore une proposition qui ne résulte pas logiquement des pré ce dentée, à savoir :

« XIV. a, b, c étant des points coUitiéaires distincts, leur quatrième harmonique ne coïncide pas avec c', »

Ce postulat équivaut à la proposition suivante^ : » a, b, c, d étant les points d'un plan non colHnéairea 3 à 3, les points {ab. cd), {ac. àd) et (ad. bc) ne sont pas coîlinéaires. » (Fig. 6.)

l-'ig- fi-

Jusqu'ici on a considéré la droite projeclive dans sa totalité, sans y discerner aucun ordre ni aucune partie. M, PiEiti a réussi h y définir le segment par des notions purement projectives, c'est-à-dire au moyen de îa relation harmonique. Voici comment : « a, b, c étant 3 points colîinéaires, le segment abc est l'ensemble des points dont chacun est le conjugué harmonique de b par rapport à deux points distincts qui sont euxmêmes conjugués harmoniques par rapport à a et c. » Autrement dit, soient y et z deux points conjugués harmoniques par rapport à ff et c; le conjugué harmonique de 6 par rapport à f/ et z appartiendra, par définition, au segment abc.

1. C'est M. Fabo qui a prouvé II nécessilé de ce postulat, c'est-à-dire son indépendance logique par rapport aux précédents : Stii poslutali fondamentali délia Geomelria projellwa, ap. ûioi'nale di Matemaliche, t. XXX (1891).

2, Il équivaut encore à cette proposition plus simple : « Il y a une droite qui conûent plus de 3 points. . (Busseu., op. ml., p. 3S5, note 1.)

us LA GÉOMÉTRIE

Pour expliquer celte définition en termes ordinaires, il faut concevoir la droite projective comme une ligne fermée; par suite, deux points distincts a, c y déterminent deux segments (comme sur une circonférence) ; pour distinguer ceux-ci, il faut donner un 3° point b distinct des deux premiers; le segment aie sera celui des deux segments déterminés par a et c qui contient le point b. Les points a et c en seront les estrémités'; il est à remarquer qu'ils n'appartiennent pas au segment abc, tandis que le point b lui appartient. Le segment est symétrique par rapport à ses extrémités, c'est-à-dire que le segment abc est identique au segmentera.

Le segment ainsi défini jouit de la propriété projective, ou, comme on dit, se conserve par projection. Gela veut dire exactement ceci : Soient a, b, c, d A points d'une droite, a', b\ c', d' les projections des précédents sur une autre droite (c'est-àdire que les droites aa', bb', ce', dd' concourent en un mémo point). Si le point d appartient au segment abc, le point d' appartiendra au segment a'b'c', et réciproquement.

On peut maintenant définir la relation de séparation entre 4 points d'une droite projective*. Si le point d n'appartient pas au segment abc et ne coïncide ni avec a ni avec c, on dira que les points « et c séparent les points b ei d. On peut démontrer que cette relation est symétrique, tant par rapport aux deux points de chaque couple que par rapport aux deux couples. Cette relation est projective, comme le segment même.

D'ailleurs, la notion de segment projectif n'est qu'une autre forme de la notion de séparation : car la définition même du segment repose sur cette propriété connue de la relation de séparation : « Si deux couples de points tous distinctssurune droite se séparent mutuellement, il n'existe pas de couple de points conjugués harmoniques par rapport à chacun des deux premiers; et réciproquement. »

\. Il est à peine besoin de faire remai'quer que cette explication s pose connu l'ardre dea points de la droite, ordre que la définition question a au nontraii'o pour but do déterminer.

2, Cf. Cliap. m, g A (p. 72).

GÉOMÉTEtlE PROJECTIVE i 49

« XV. ,ffl, 6, c étant 3 points distincts d'une droite, st un point rf de celle droile, distinct de a et de c, n'appartient pas au segment abc, il appartient au segment àca. »

De ce postulat on déduit que, dans la même Iiypotlièse, d appartiendra au segment cab, c au segment abd, h au segment acrf, et a au segment chd (v. fîg. 1).

« XVI. a, b, c étant 3 points distincts d'une droite, si un point d appartient à la l'ois aux segments bca et cab, il ne pourra appartenir au segment née '. » Ce postulat revient à dire que, si les couples (a, c) et (6, d) se séparent mutuellement, les couples {a, b] et (c, d) ne peuvent pas se séparer, non plus

que les couples (o, d) et [b, c). En d'autres termes, quatre points d'une droite ne peuvent se répartir que d'une seule manière en couples séparés. On peut alors démontrer que le conjugué harmonique de c par rapport à a et ô est séparé de c par a, b.

« XVll. a, b, c étant des points eollinéaires distincts, d un point du segment abc, et e un point du segment adc : le point e appartient au segment abc. »

Ce postulat revient à dire : si les points a et c ne sont pas séparés par b et rf, ni par d et e, ils ne sont pas séparés non plus par b et c. 11 permet d'établir que !a droite est une ligne fermée, qu'elle contient une infinité de points, et qu'elle est divisée par deux de ses points en deux segments. On peut

te, deu

ISO LA. GEOMETRIE

alors définir l'ordre naturel des points d'une droite, et y distinguer deux sens inverses'. Ces notions ordinales ne jouent d'ailleurs aucun rôle dans la démonstration des propositions suivantes (elies reparaissent seulement dans le postulat de continuité XVIII); mais il est intéressant de savoir qu'on peut les définir au moyen des seules notions projcctives que nous avons citées '.

De la notion du segment projectiF dérivent les notions du triangle et du tétraèdre projeclifs. Soient 3 points non colli-

Fig. 8.

néaires a, /i, t, et d un point du plan abc non situé sur ab, bc ou ca; soil. a' le point [be. ad), b' le point (ea. bd); le triangle projectif abcd est le lieu des pointa x tels que les droites ax, hx rencontrent les droites bc, ca respectivement à l'intérieur des segments ba'c, cb'a (flg. 8). Le triangle ainsi défini est contenu dans le plan abc; il contient en particulier le point rf qui sert aie définir, mais non ses 3 côtés ab, bc, ca, ni par suite ses 3 sommets a, b, c. On démontre que cette définition est symétrique

1. Plu3 précisément, on délinit !a relation binaire: " Le point x suit le point y dans t'ordre des points a, b, c. • Ainsi il faut donner 3 points d'oHe droite pour y déterminer un ordre (Cf. Chap. m, g A, p. 69).

a. Ces propriétés ordinales de la droite (plus généralement, des (ormes de i" espèce) constituent le postol&t V de M. Eniuques {Sui fondamenti delta Geomelria projeClma, 1R94) qui définit - la disposition circulaire des éléments » de la droite, h deux sens inverses l'un de l'autre.

GEOMKTHIE PROJECTiVE 151

par rapport aux 3 sommets et aux 3 côtés; d'où l'on conclut que, ai c' est le point {ab. cd), le triangle aôcd est lo lieu des points qui sont projetés des 3 sommets respectivement sur les côtés opposés, c'est-à-dire sur les segments ba'c, cb'a, ac'b. Trois points d'un plan déterminent quatre triangles projectîfs, qui se distinguent par la situation du i" point d. C'est pourquoi il est nécessaire (et suffisant), pour déterminei' chacun d'eux, de donner, outre les 3 sommets, un point quelconque de son intérieur '. Dans la figure 9, ces quatre triangles (entre les-

quels tout le plan est réparti) sont représentés par la région blanche et les régions diversement hachurées^.

On démontre qu'une droite qui rencontre un des côtés d'un triangle (c'est-à-dire qui a un point commun avec lui) en rencontre également un second; qu'une droite qui rencontre deux côtés d'un triangle ne rencontre pas le 3' (mais bien son prolongement) ; qu'une droite quelconque du plan d'un triangle rencontre deux de ses côtés ou n'en rencontre aucun; enfin,

1. De même que pour déterminer un segment il tant donner, outre ses eKlrémités, un point de son intérieur.

2. Ciiaque côté détermine deuK triangles avec l'angle correspondant (formé de deux angles simples opposés par le sommet); cela fait fi triangles, mais trois d'entre eux coladûenl (abc ^= cab =: èca), ce qui réduit leur nombre à quatre. On peut encore concevoir (moins symétriquement) ces triangles comme les parties communes h deux angles ayant pour

ts respectifs a et b. Comme il y a deux angles pour chacun de ces Is, cela fait quatre combinaisons, qui sont les quatre triangles.

que sur les 4 triangles déterminés par 3 points ou par 3 iJroites d'un plan, une droite de te plan pénètre dans 3 d'entre eux, mais non dans le 4',

On peut alors définir et étudier les transformations segmentaires, c'est-à-dire celles qui transforment un segment en un segment : a, b, c, d étant 4 points d'une droite et a\ b', c', d' les 4 points correspondants (d'une autre droite), si d appartient au segment abc, d" appartiendra au segment a'b'c'.

Il importe ici de posiuler la continuité des segments, au moyen d'un axiome analogue à celui de M. Dëdekikc, et que M. PiEiH formule comme suit ' :

« XVIII. Si le segment abc est divisé en deux parties X, Y dont chacune contient au moins un point, et telles que tout point X de X précède tout point y de Y dans l'ordre abc^, il existe (au moins) un point s du segment abc tel que tout point de abc qui le précède appartient à X, et que tout point de abc qui le suit apparlient à Y^ »

On démontre ensuite que le point s ainsi défini est unique : c'est la limite commune des deux ensembles X, Y.

On établit alors le théorème du point double : « Soit un segment abc qu'une transformation segmentaire biuniforme transforme en un segment a'ô'c' contenu dans aéc; il existe dans a'b'c' un point double (c'est-à-dire qui coïncide avec le point correspondant de abc) tel qu'il n'est précédé d'aucun point double dans abc'. »

La relation harmonique fournit une transformation segmen-

1. M. PiBRi a monlré tout récemment {Cii-co ii ieorema fondamenlale di Slatidl e i principii délia GeomeMaproJetliva, ap. Alti deii'Academia délie Scienzc di Torino, 1904) quB, pour éfablir le théorème de Slaudt, il suffît d'admettre un postulat moins ■■ fort ■ que le postulat XVIII, qui n'implique pas la continuité, et qui, fournissant seulement un ensemble dénombrable de points, permet de fonder la Géométrie projective du 1*' et du 2' degrés (comprenant seulement les opérations rationnelles et l'extraction de la racine carrée).

a.-Happelons qu'on a défini l'ordre des points d'un segment par rapport à 3 points fixes a, b. c (v. p. 13(1, noie i).

3. Ce postulat de la eonlinuilé a été formulé de la même manière par F. Embiques, Sm fondamenti délia Geomelria proj'ettira (ISS-l).