C. — GlSOMÉTRilî DliSCRlFTIVE

La Géométrie descriptive a pour notions premières le point et le segment rectiligne '. Elle diffère donc de la Géométrie projective en ce qu'elle prend pour base, non plus la droite infinie, mais la portion flnie de droite comprise entre deux points. Sans doute, ou a pu définir en Géométrie projective le segment, mais au moyen de trois points, parce que la droite projective est une ligne fermée. Au contraire, en Géométrie descriptive, le segment sera déterminé par deux points seulement (ses extrémités). Par suite, il y aura une relation d'entre entre trois points quelconques de îa droite; tandis qu'en Géométrie projective on ne peut pas dire qu'un point soit entre deux autres, et l'on ue peut définir l'ordre des points d'une droite qu'au moyen d'une relation entre quatre points (relation harmonique, ou relation de séparation) ^.

La notion de segment équivaut à la relation entre; au lieu de dire : « c est un point du segment ab », ou peut dire : >< c est entre a et 6 (sur la droite ali) •>. D'une manière comme de l'autre,, le segment défini par deux points (compris entre deux points) a et 6 sera un ensemble de points; on le représentera par ab, et l'on écrira : « c s ab » pour traduire l'une ou l'autre des assertions susdites.

1. Il n'est pas besoin de faire remarquer que la tliéorie en question n'a rien de commun avec ce qu'on appelle dans les classes Géoméh'ie descriptive, c'est-à-dire avee la méthode graptiique qui consiste à représenter les flgures de l'espace par leiira projections sur deux plans.

2. La Géométrie descriplive a été inaugurée par Pasch, Vorlemngen liber neuere Géométrie, S% M2 (1882); puis formulée en symboles par PuAno : f prineipii di Geowieliia logicamenle esposti (Turin, 1889), et Sai fonda- •menti delta Geo-metria, ap. Hiotsta di ISatemalica, l. IV, p. Sl-90 (1394). Ce sont ces deux mémoires que nous allons résumer. Des systèmes d'axiomes analogues se trouvent dans Ikobami, Elemeati di Geomeiria (1890), et F. Scimii, Ueber die Grundlagen der Géométrie, ap. Matkemaliiche Annalen, t. LV, p. 263-202 (1902).

Voici maintenant les postulats qui suffisent à. fonder logiquement la Géométrie descriptive :

(1 1. Il y a (au moins) un point. »

« II. Étant donné un point a, il y a un point x différent de a. »

* III. Entre deux points coïncidants (identiques) il n'y a aucun point «; autrement dit, le segment aa est nul (est une classe vide).

« iV. Entre deux points distincts il y a un point '. » Ce postulat est la réciproque du précédent ; un segment n'est nul que si ses deux extrémités coïncident,

« V. Le segment ab est contenu dans le segment ba », c'està-dire que tout point qui appartient à ab appartient à ba. Il s'ensuit immédiatement que les segments ab et ba coïncident (sont identiques). Le segment est donc symétrique; il n'est pas dirigé (comme le vecteur).

<i VI. Le point a n'est pas entre a et6 »; il en est de même du point b, en vertu de la commutativité des extrémités, qui résulte du postulat V. En d'autres termes, les extrémités d'un segment n'en font pas partie. C'est là une sorte de convention, conforme aux postulats III et IV et au sens ordinaire de la relation enlre^.

Pour pouvoir sortir du segment fini, et s'élever à la notion de la droite entière, il convient de définir le prolongement d'un segment au delà d'une de ses extrémités. Soit ab un segment, on désignera par a'b son prolongement au delà de 6, et par ab' son prolongement au delà de a, l'un et l'autre étant indéfinis. Il est très remarquable qu'on puisse les définir au moyen de la notion de segment fini, ou de la relation entre, comme suit : <( a'b est l'ensemble des points x tels que b est entre a et x.n De même, ab' sera l'ensemble des points x tels que a est entre b et a;.

1. Encore ici, nous ferons remarquer la portée de ces postulats eïistenliels I, II, IV, qui permettront ensuite d'affirmer l'existence d'un point déterminé par telles ou telles conditions.

2. Si l'on voulait que le segment contint ses extrémités, il faudrait modifier comme suit les postulats III et IV; ■ Un segment dont les extrémités Go'incident se réduit il un seul point. • — ■< Un segment dont les extrémités sont distinctes contient un point dllTérentde ses deux extré-

En somme, il y a équivalence entre les 3 propositions : « c appartient k ab; à appartient à a'c; a appartient à b'c », de sorte qu'on peut « résoudre w la relation d'entre par rapport à chacun des 3 points qui en sont les termes,

Il ne suffit pas de définir les prolongements d'un segment, il faut affirmer qu'ils existent; d'où le postulat suivant ;

B Vil. a et i* étant 2 pointa distincts, il y a des points qui appartiennent à a'b » (la claase a'b n'est pas nulle). I! en est de même de ab', en vertu de la commutativité des extrémités. De mémo, d'ailleurs, que ab=ba, on a aussi les équivalences de notation :

a'b^ba', ab'=:b'a.

Les prolongements d'un segment ne sont pas des segments : on les appellera des rayons (demi-droites indéfinies). Ces rayons ont pour origine le point marqué par la lettre non accentuée.

Pour démontrer les propriétés des segments relatives à leur composition et à leur décomposition, il faut admettre les deux postulats suivants :

i( VllI. Si c est un point du segment ai, et si d est un point du segment ac, d est aussi un point du segment ab » ; d'où il résulte aussitôt que le segment ab contient le segment ac, le segment bc et le segment r.d; et que, semhlablement, le rayon a'c est contenu dans le rayon a'b. On en déduit encore qu'il est impossible que b soit entre a et c et c entre a et b; d'où il résulte que ab, a'b et ab' n'ont aucun point commun.

K IX. Si c et cf appartiennent au segment ab, ou bien ils coïncident, ou bien d est entre a et c, ou bien d est entre c et b. »

De ce postulat on déduit que le segment ab est la somme logique des segments ac, ch et du point c; que, si c est entre a et 6 et /^ entre c et b, c est entre a et d; que, si c est entre a et b, d entre a et c, et e entre c et 6, c est entre d et e; que, dans le même cas, les segments ac et cb n'ont aucun point commun; enfin, que si c et (^appartiennent à ab, le segment cd est contenu dans le segment ab'.

1. li ne faut pas confondre cette proposition avec celle-ci, que nous

Pour établir les propriétés des prolongements des segments, c'est-à-dire des rayons, il faut encore admettre deux autres postulats : ,

a X. Si c et (/ appartiennent au rayon a'b, ou bien ils coïncident, ou bien d est entre b et c, ou bien c est entre h et d. » Ce postulat est, pour le prolongement ba\ l'analogue du postulat IX pour le segment ab. On en déduit que le rayon ba' est la somme logique du segment bc, du point c et du rayon ca'; et que, dans la même hypothèse, le segment cd est contenu dans le rayon bn' .

« XI. Si h est entre a et c, et c entre è et i/, c est entre a et d. »

Ce postulat permet de démontrer que, si b appartient au segment ac ou h son prolongement ac\ les rayons ca' et eb' coïncident (sont identiques)'.

On peut alors définir la rfrote (entière) ub comme la somme logique des points a et b, du segment ab et de ses prolongements ab' et ba'. On démontre que la droite ba est identique à la droite ab\ que, sic est un point de la droite ab différent de a, la droite ab est identique à la droite ac; enfin, que si c et rf sont deux points distincts de la droite ab, celle-ci est identique à la droite ed. Ainsi une droite est déterminée par deux quelconques de ses points.

Les postulats précédents suffisent à fonder la Géométrie descriptive de la droite. Avant d'aller plus loin, il convient de définir, toujours au moyen de l'idée de segment, des notions dont nous aurons besoin dans la suite.

Soit k une figure quelconque, c'est-à-dire un ensemble de points, et n un point. Par ak on désignera l'ensemble des points situés sur l'un quelconque des segments ax qui joignent le point a â tous les points a; de k. Cette figure s'appellera la jonction de a et de k. Par a'k ou ka' on désignera l'ensemble

avons ciléa comme conséquence du postulat VIII; > Si c est entre a et b, et d entre a et c, le segment cd est contenu dans le segment ab. .

1. Les deuK postulats X et XI pourraient Stre remplacés par la proposition suîTanle; • Si les 2 segments ah, cdaal 2 points distincts communs, les 4 points a, b. c, d appartiennent k un même segment. - (Peano, Priacipii di Geomelrîa, p, 38.)

des points silués sur un rayon a'x quelconque, où x est un point de k, c'est-à-dire l'ensemble des points qui déterminent avec a des segments passant par un point quelconque de k. Cette figuré s'appellera la projection de ft à partir du point a, ou, suivant l'expression imagée de M. Peaso, l'ombre de k éclairée par a. Enfin, par ak' ou /c'a on désignera l'ensemble des points situés sur le prolongement au delà de a des segments qui joignent n à un point quelconque de k.

De même, A et A étant deux figures quelconques, hk désignera l'ensemble des points situés sur les segments qui joignent chaque point de A à chaque point de A; k'k désignera l'ensemble des points situés sur les prolongements de ces segments au delà du point de /f, et kk' désignera l'ensemble des points situés sur les prolongements de ces segments au delà du point de A.

Les notations ab, a'b rentrent comme cas particuliers dans celles-ci : le segment ab est la jonction des points a et 6; le rayon a'b est l'ombre de b éclairé par a. La figure a'{ah) est la projection de ab à partir de a, c'est-à-dire le rayon qui a pour origine a et qui contient b; c'est donc la demi-droite complémentaire de la demi-droite ab'. La droite ah se compose de ab', du point «et de a'{ab)', et la demi-droite a'{ab) se compose de ab, du jîoint b et de ba' .

Si k et k sont deux classes de points, on a, indépendamment de tout postulat géométrique, et en vertu des seules lois logiques :

a {h ^ k]:^=ah ■^ ak a' [k V k) = a'k V a'k

Et si ft o k, on a, dans tes mêmes conditions : ah o ak, ail o a'k,

c'est-à-dire que, ai l'ensemble A fait partie de l'ensemble k, sa jonction ou sa projection est contenue dans la Jonction ou la projection de k (par rapport au même poinl).

1. Le rayon a'(ab) peut aussi s'exprimer par a(rt'A) ou a{ba').

ifli LA GEOMETRIE

Cela posé, on sort de la droite par le postulat :

le XII. )' étant une droite quelconque, il existe an moins un point hors de r. »

Pour pouvoir définir lo plan, on a besoin en outre du postulat suivant :

« XIII, a, b, c étant des points non collinéaires, si d est entre b et c, et e entre a et d, le prolongement de be rencontre ac » (fig. 10), c'est-à-dire qu'il existe un point /' tel que f est entre a et c, et e entre b et f.

De ce postulat on déduit que : a{bc)o b{ac), d'où, réciproquement : fi(ac) a a{bc), et par conséquent : a{bc) — h{ac). Ainsi la

jonction de a et bc coïncide avec la jonction de b et ac (et par suite avec la jonction de cet ab). Celle figure unique s'appellera le triangle abc. En outre, si d est un point quelconque du segment bc, et f un point quelconque du segment ac, le segment df est contenu dans le triangle abc. Dans la même hypothèse (a, b, c non coHinéaires), si p est un point du triangle abc, celui-ci se compose du point p, des 3 segments pa, pb, pc, et des 3 triangles pab. pbc, pca. Si p et 5 sont 2 points distincts du triangle abc, le rayon p'q rencontre le contour du triangle; le rayon pq' également, de sorte que la droite pq rencontre le contour du triangle en 2 points situés respectivement sur les 2 prolongements du segment pq.

Cela posé, on peut définir le plan abc comme l'ensemble des 3 points a, b, c, des 3 segments ab, bc, ca, de leurs 6 prolongements ab' et ba', bc' et cb', ca' et ac', du triangle abc, des

3 figures a'bc, h'ca, cJo,h', et des 3 angles a'b'c, b'c'a, c'a'b^. On voit que la définilion descriptive du plan est bien moins simple et moins unitaire que la définition projective.

En revanche, on a une définition très simple du demi-plan, qui n'est, pas plus que la demi-droite, une notion projective. Soit r une droite, et a un point extérieur à r ; la ligure a'r sera, dans le plan déterminé par a et r, le demi-plan qui ne contient pas a. L'autre demi-plan, qui contient a, sera r'ra (projection de ra depuis r). Ces expressions sont analogues aux expressions des demi-droites ab' et a'ab (séparées par le point a).

Enfin on démontre que, si d est un point quelconque du plan abc, ou bien il est sur l'une des droites ab, bc, ca, ou bien il est dans le triangle abc, ou « est dans le triangle bcd, ou 6 est dans le triangle acd, ou c est dans le triangle abd; ou bien enfln ad et bc se coupent, ou ac et bd, ou ab et cd. La réciproque est vraie, c'est-à-dire que si l'une de ces alternatives a liou, le point d est dans le plan abc.

Pour établir l'unicité du plan déterminé par 3 points, on a besoin d'un nouveau postulat :

<i XIV. a, b, c étant 3 points non collinéaires, si d est entre b et c, et f entre a et c, les segments ad et bf se coupent (ont un point commun e) >i (fig. 10).

On remarquera combien ce postulat diffère peu du précédent, et pourtant il a une portée déductive toute différente. On en déduit d'abord que, si l'on prend 2 points, l'un sur a'b, l'autre sur a'c, le segment qui les joint est contenu dans a'bc; que, si l'on prend 2 points, l'un sur b'a, l'autre sur c'a, le segment qui les joint est contenu dans l'angle b'c'a. On démontre ensuite que le plan abc coïncide avec le plan abd, si d est un point du segment 6c, ou de la droite Se (autre que b), ou même du triangle abc; enfin, que, si d, e, /sont 3 points non collinéaires du plan abc, celui-ci coïncide avec le plan def.

1. La figure a'hc est la projection de hc depuis a, c'est-à-dire la partie du plan comprise entre ie segment hc et les rayons ba' et ca'.

2. La figure a'b'c est en elTet la projection de b'c depuis a (ou de a'cdepuisô), c'est-à-dire l'angle compris entre les deux rayons ca', cli'.

166 LA CEOMJiTRlE

On démontre aussi que deux plans qui onl 3 points C' coïncident {sont identiques), et que la droite déterminée par deux points d'un plan est contenue dans ce plan. Ainsi se trouvent établies les propriétés essentielles du plan, qui lui serveat couramment de définition.

Les postulats précédents {joints au postulat de continuité) sufQsent à la Géométrie plane. Pour passer à la Géométrie <i solide », il faut sortir du plan et admettre le postulat suivant :

« XV. Élanl donné un plan quelconque, il existe au moins un point hors de ce plan. »

On appellera complanaires les points situés dans un même plan. Si a, b, c, d sont 4 points non complanaires, les figures a{bcd) et h[acd) coïncident; elles coïncident aussi avec c{abd) et d{abc). Cette figure unique s'appelle le tétraèdre abcd '. Soit e un point de ce tétraèdre, celui-ci se compose du point e, des 4 segments ea, eb, et, ed, des 6 triangles eaè, eac, ebc,... et des -4 tétraèdres eabc, eabd, eacd, ebcd. On démonire que chacun des prolongements d'un segment contenu dans le tétraèdre rencontre sa surface (c'est-à-dire une de ses 4 faces abc, abd...) et que, si e est un point de la face bcd et f un point de l'arête ad, le segment ae rencontre le triangle bcf. On établit encore le théorème suivant : « Étant données deux droites dans un plan et un point hors de ce plan, les deux plans qui joignent ce point respectivement à ces deux droites ont une droite commune ». Ce théorème a pour conséquence le théorème des triangles homologiques dans l'espace, et par suite dans le plan. On voit que ce théorème dépend du postulat XV, qui implique la troisième dimension de l'espace*.

Pour prouver que, si deux plans ont un point commun,

1. Un tétraèdre peut encore être considéré comme la ligure (a(i){cdi, ou (ac)(brf), ou [ad){bc}.

2, Pour prouver que ce théorfeme dépend du postulat XV, M. Peano montre que, ai l'on substitue au plan une surface quelconque, et aux droites les géodésiqiies de cette surface, les li premiers postulats pourront être vérifiés par les points de celte surface sans que le théorème de Desargues soit vérifié. Il est toutefois vérifié sur les surfaces à courbure constante {Revue de Mathématiques, t. IV, p. 13).

ils ont une droite commune, il faut limiter à 3 le nombre des dimensions. C'est ce qui résulte du postulat suivant ;

« XVI. Étant donnés un plan p et un point o hors de ce plan, on prend un point b sur le prolongement d'un des segments qui joignent a au plan p ; alors, si x est un point quelconque, ou bien il appartient au plan p, ou bien le segment ax rencontre le plan p, ou bien le segment bx rencontre le plan p. »

Ce postulat signifie, en somme, que le plan partage l'espace en deux régions qu'il sépare, de sorte qu'on peut parler des deux côtés du plan. Deux points a, b sont de côtés opposés du plan, si le segment ab le rencontre (le perce, comme on dit); ila sont du même côté, si le segment ab ne le rencontre pas. Étant donnés 3 points a, b, c hors du plan, si deux d'entre eux sont de côtés opposés, le troisième sera du même côté que l'un des deux premiers. Cela revient à dire que le plan p coupe deux des côtés du triangle abc, mais non le troisième. Il en résulte qu'une droite quelconque du plan abc coupe deux des côtés du triangle aôc, et deux seulement, ou n'en coupe aucun '.

Les considérations précédentes amènent à concevoir le liemiespace, c'est-à-dire l'ensemble des points situés du même côté d'un plan. Soit j> un plan et a un point hors de ce plan; la figure a'p sera la projection du plan p depuis le point a, c'està-dire le demi-espace qui ne contient pas a. Le demi-espace qui contient a (complémentaire du précédent) sera représenté par p'pa, projection de la figure pa à partir du plan p.

Pour compléter les principes de la Géométrie descriptive, on n'a plus qu'à énoncer le postulat de continuité :

" XVII. Soit k une classe de points contenus dans le segment ab; il existe un point x du segment ab (ou coïncidant avec b) te! qu'aucun point de k n'est entre x et b, et que, pour tout point y pris entre a et x, il existe des points de k situés entre y et b. » En d'autres termes, si l'on emploie les expressions d'avant et d'api-és (qui supposent un ordre entre les points de ab,

t. Proposition admise comme postulat par Pasch {op. cit., g â, Principe IV), et par HiLBERT ((îj-Hîid/o^eii der Géométrie, Axiome li, 5).

168 LA GHlOMÉTRie

de « à b), le point x est tel que tous les points de k sont avant lui, mais qu'il y a des points de k après tout point y situé avant x. Le point x est pour ainsi dire la limite postérieure de l'ensemble A. Il va sans dire que, en vertu du même postulat, il existe aussi une limite antérieure du même ensemble. Suivant une remarque de M. Peano lui-même ', on aurait pu prendre pour notion première, au lieu du segment (fini), le rayon (inflni), et définir ie segment au moyen du rayon : en effet, le segment ab est la partie commune aux deux rayons que nous avons appelés a'ab et b'ba. Cette remarque enlève toute portée aux considérations empiristes par lesquelles M. Pasch croit devoir justifier le choix de ses notions premières, le segment fini et la portion de plan finie ^ sous prétexte que nous ne percevons jamais que des portions finies des droites et des plans que nous offre l'expérience ',

Depuis que ce chapitre est composé, M. Oswald Veblen a publié un nouveau système d'axiomes pour la Géométrie, qui constitue, semble-t-ii, une simplification et un perfectionnement de la Géométrie descriptive*. Pour le dire en passant, ce simple fait prouve combien ces recherches de Logique mathématique, ignorées ou dédaignées des mathématiciens français, sont en faveur dans les autres pays ^, Nous croyons donc devoir donner k nos lecteurs un bref aperçu de ce travail.