Mfime remarque que pour l'asiome IX

telles qu'aucun point X n'est entre deux Y ni aucun point Y entre deux X, il existe un point 0, et un seul, qui est entre chaque X et chaque Y.

On reconnaît dans cette proposition l'axiome de la continuité de M. Dkdekird, sous la forme que lui a donnée M, Piehi, De l'axiome de continuité joint aux 8 premiers on déduit que, par un point pris hors d'une droite, il passe au moins une droite qui ne la rencontre pas [cela résuite notamment de ce fait, conséquence de l'axiome III, que l'ordre des points d'une droite n'est pas circulaire), et que, s'il y a plusieurs droites telles, il y a deux demi-droites qui séparent celles qui rencontrent la première droite de celles qui ne la rencontrent pas (ce sont les parallèles au sens de Lobatchevsky). On voit que la géométrie de Hiemann est exclue d'avance par l'axiome III, Pour exclure la géométrie de Lobatchevsky, i! suffit d'admettre Vaxiome des parallèles :

XII. a Soit a une droite d'un plan a, il y a dans ce plan un point tel qu'il ne passe par C qu'une seule droite du plan a qui ne rencontre pas la droite a. »

Il suffît de postuler ce fait pour une seule droite et un seul point : car on peut alors démontrer qu'il a lieu pour n'importe quelle droite et n'importe quel point'. Cette dernière proposition est le poslulatum d'Euclide.

L'auteur indique ensuite comment on peut édifier la Géométrie pro'iective sur les fondements précédents, en déflnissant et introduisant les éléments impropres ou idéaux (points, droites, plans projectifs) suivant la méthode que nous exposerons plus loin (p. 177). Enfin il montre comment on peut établir, avec le même système de principes, la Géométrie métrique euclidienne, sans nouveaux «axiomes, et simplement en donnant une définition projective de la congruence. On définit d'abord la congruence des angles (et par suite la similitude) en remarquant que, en vertu de l'axiome des parallèles, les points impropres de l'espace forment un plan (le plan de l'inflni), et

arque que pour les a

en définissant la perpcndicularité d'une droito et. d'un plan au moyen du cercle imaginaire de l'infini. On définit ensuite la congruence des segments [et par suite la congruence de toutes les figures) au moyen des réflexions^ c'est-à-dire de certaines transformations projectives qui laissent invariant le cercle de l'infini. Cela fait, on peut définir la longueur des segaients et introduire dans l'espace un système de coordonnées.

En réauiné, ce sont les trois formes de Géométrie que M. 0. ViîBLEN fonde sur douze axiomes seulement. Sans doute, la réduction du nombre des axiomes n'est pas à elle seule une simplification, car on peut, comme l'a reiuarqué M. Pikbi ', fondre à volonté plusieurs axiomes en un seul. Néanmoins ce système nous parait oiTrir plus de simplicité et de clarté que les autres (sauf en ce qui concerne l'axiome de continuité), et il a l'avantage d'être complet et irréductible.

La théorie précédente repose sur la relation â'enlre existant entre trois points. Or nous avons tu ^ que cette relation ternaire peut se ramener à une relation binaire asymétrique et transitive. Par suite, cette théorie est susceptible d'une simplification qu'a suggérée M, Vailati'. Soit une relation S (qu'on lira; suit); on suppose qu'elle est asymétrigue, c'est-à-dire que aSb et bSa s'excluent; qu'elle est transitive, c'est-à-dire que aSè et bSc entraînent aSc; et qu'entre deux termes distincts o, 6 on a toujours, soit aSb, soit bSa. Ce sont là les trois postulats de la nouvelle théorie. On définira la relation d'enire comme suit :

b^ac = {aSb. bSc) ^ {cSb. bSa) Df

« b est entre a et c signifie, ou bien que a suit 6 et è suit c, ou bien que c suit b et b suit a. »

Par cette définition, la relation ternaire indéfinissable entre

i. I PrincipU delta Geometria di Poiizione, p. 3, note 1 (i898); Bibliothèque du i" Congrès international de PtiUosopItie, 1. 111, p. 393 (1901).

a. ChBp. lo, S A, p. 13.

3. Sui prineipt fondamentaii délia Geometria délia relia, ap. Rivisla di Matematica, t. II, p. 71-75 (1892).

est ramenée à la relation binaire indéfinissable S. Cela posé, on peut, au moyen des Iroia postulats qui caractérisent la relation S, démontrer les postulats III, V, VI, Vlil, IX, X et XI de la théorie de M. Pëano, c'est-à-dire tous les postulats de la Géométrie de la droite, sauf les postulats existentiels I, II, IV et VII, Par exemple, le postulat III : « Le segment aa est nul » résulte immédiatement du fait que la relation S est asymétrique; car dire d'un point x qu'il appartient au segment aa, c'est affirmer à la fois ; aSx. xSa, ce qui est impossible. De même, du fait que la relation S ne peut pas être réÛexive se déduit le postulat VI : (lie point a n'appartient pas au segment ah », car on a :

a^ab.^iaSa. aSb) ^ {f>Sa. aSa)

et le second membre est absurde, car i! contient le facteur absurde aSa. De ce que la définition de b^ac est symétrique par rapport à M et c, il résulte que bsac ^bzca^ ce qui est le postulat V. Les autres postulats se démontrent de même par des déductions purement logiques.

On peut, avec H. Ross^ill, faire un pas de plus dans la voie de la réduction logique et de la simplification. On peut concevoir la droite elle-même comme une relation asymétrique transitive qui existe entre deux quelconques de ses points, et par suite l'ensemble des droites de l'espace comme nne classe de relations dont !o champ est l'ensemble des points de l'espace. On posera les axiomes suivants ' ;

I. Il y a une classe de relations K, dont le champ est la classe point;