I. « Il existe au moins deux points distincts

II. « Si les points A, B, C sont dans l'ordre ABC, ils sont aussi dans l'ordre CBA. »

Ainsi la relation d'ordre est symétrique ou réversible.

III. « Si les pi)ints A, B, C sont dans l'ordre ABC, ils ne sont pas dans l'ordre EGA. :

i. L'auteur emprunte 1 p '9/ t d } I f k

M. J. Deweï; elles nous psxi t p 1 t p 1 k

du sens tout diiTèrent qu'ell t L g q I q M H

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cept; c'est même un concept i \I F t f l

propoaitionnelle a. une vari bl

Ainsi la relation d'ordre n'est pas circulaire, maïs linéaire (ouverte). Par cet axiome, la Géométrie descriptive se sépare de la Géométrie projective, où la droite est une ligne fermée; et l'on peut prévoir que le point à l'infini en sera exclu.

IV. " Si ies points A, B, C sont dans l'ordre ABC, les points A et C soHt distincts. »

V. « Si A et B sont deux points distincts, il existe un point G tel que l'on a l'ordre ABC. »

Cet axiome implique que la droite est prolongeable, ou plutôt prolongée, au delà de chacun de ses points. On peut alors définir la droite comme suit : étant donnés deux points distincts A, B, la droite AB est l'ensemble des points A, B et des points X qui vérifient un des trois ordres ABX, AXB, XAB, Le segm&iït AB est l'ensemble des points X qui vérident l'ordre AXB. On démontre que deux points distincts déterminent une droite unique et un segment unique.

VI. <.' Si deux points distincts C et D appartiennent à îa droite AB, le point A appartient à la droite CD. »

De cet axiome on déduit que deux points distincts déterminent une droite.

Vil. 11 S'il existe trois points distincts, il existe trois points A, B, C qui ne sont pas en ligne droite » (c'est-à-dire qui ne vérifient aucun des ordres ABG, BCA, GAB).

Cet axiome existentiel permet de sortir de la droite et d'obtenir la notion de triangle.

Vlll. Axiome de la transversale : « Si trois pointa A, B, C ne sont pas en ligne droite, et si D et E sont deux points qui vérifient les ordres BCD et CEA, il existe un point F, dans l'ordre AFB, qui est en ligne droite avec D et E » (Dg. 11). On prouve que les points D, E, F sont distincts, et sont dans l'ordre DEP; on prouve aussi qu'aucune droite ne peut rencontrer les iroia segments qui forment les côtés d'un triangle. Grâce à l'axiome précédent, on peut démontrer qu'entre deux points distincts il y en a un troisième (en ligne droite avec eux), et par suite qu'il y a une infinité de points dans un segment et sur une droite. C'est la premiÈre fois qu'on peut affirmer qu'il existe

r.EOMETRIE DESCRirriVE 171

une infinitc de points, et cette propoailion est une conséquence des huit axiomes précédents. Au contraire, sept quelconques de ces axiomes peuvent être vCrifîés par un ensemble fini sans que le huitième le soit, et c'est ainsi que M, Veblbk prouve Tindépendance absolue de ces huit premiers axiomes. On peut également définir l'ordre général des points sur une droite, et assigner à un ensemble fini de points d'une droite

des numéros tels que l'ordre des points soit le même f|ue celui de leurs numéros.

Enfin, de l'axiome VIII on déduit ce théorème, dont l'énoncé implique ce même axiome : Si une droite rencontre un côté d'un triangle et le prolongement d'un autre côté, elle rencontre le troisième côlé.

On peut définir le plan comme suit : Si A, B, C sont trois points non en ligne droite, le plan ABC est l'ensemble des points qui sont en ligne droite avec deux points des côtés du triangle ABC. On démontre que trois points non en ligne droite déterminent un plan ; et qu'une droite qui a deux points communs avec un plan y est contenue tout entière.

Pour sortir du plan et construire l'espace, on a besoin de l'axiome suivant :

IX. Axiome de l'espace : «. S'il existe trois points non en ligne droite, il existe un plan tel qu'il y a un point non situé dans ce plan ». D'où l'on déduit aussitôt que, étant donné un plan quelconque, il existe un point en dehors de ce plan'.

On peut alors Lléftnir le tétraèdre déterminé par à points non situés dans un même plan, puis l'espace (à 3 dimensions), comme l'ensemble des points qui sont en ligne droite avec deux points des faces du tétraèdre. On démontre que i points déterminent un seul espace, et que, si une droite a 2 points, ou un plan 3 points communs avec un espace, ils y sont contenus tout entiers.

On pourrait de même sortir de l'espace à trois dimensions; pour s'y enfermer, on a besoin de l'axiome suivant :

X. Axiome des dimensions : a S'il existe 4 points non situés dans un même plan, il existe un espace tel qu'il n'y a aucun point qui ne soit en ligne droite avec deux points de cet espace, » D'où il résulte qu'il n'y a qu'un espace (à 3 dimensions), et que deux plans quelconques ont une droite commune,

L'auteur généraUse ensuite la notion d'ordre, définit les régions de ia droite, du plan et de l'espace (demi-droites, demi plans; intérieur d'un angle, d'un triangle, d'un polygone, d'un dièdre, d'an trièdre, etc.) et démontre leurs propriétés essentielles, par exemple i qu'un polygone plan partage son plan en deux régions séparées '.

11 formule Yaxiome de continuité sous une forme asscï compliquée et fort peu évidente ^ :

XL i< S'il exisie une infinité de points, il existe un certain couple de points A, C jouissant de la propiittc suivante : si [tr] est une classe infinie de segments d' li dioite AG telle que tout point du segment AC (y compiis A et C) est un point d'un segment a, il existe une sous Liasse finie u,, Cj, ... (!„ qui a la même propriété. « On demontie d abord que cette propriété appartient à un segment quelconque ^ , puis, que, si un segment AB se compose de deu\ classes de points [X] et [Y]

la distinction de un (a] cl de un qictlt-oni/ue iany) On voit l'importance logique de ces distinctions grammalii-ales que M Russell a soumises à une pénétrante analyse {The Prinmpies of Mnthematios, ch v).