Cf. le système de M. Pasch

GÉOMÉTHIE MÉTRIQUE iOI

rèmes relatifs aux perpendiculaires, et notamment le théorème fondamental de cette théorie : <i Tous les angles droits sont égaux », que l'on « démontre » d'ordinaire par la méthode de superposition '.

Il ne reste plus qu'une méthode pour établir les fondements de la Géométrie : c'est celle qui fuit appel à l'idée de mouvement. Cette méthode est fort ancienne, car dans la Géométrie classique on a souvent recours, dans les démonstrations, au déplacement d'une figure ou d'une partie de figure. Eîle est aujourd'hui décriée, et avec raison, en un certain sens. On allègue d'abord qu'il est contraire aux règles de simplicité et d'économie de faire intervenir en Géométrie une notion qui appartient à la Mécanique, tout au moins à la Cinématique. En outre, depuis que l'on a conçu l'axiome de libre mobilité comme caractérisant les espaces « à courbure constante » à l'exclusion des autres, on s'est aperçu que c'était postuler cet axiome que de déplacer la moindre figure en supposant, naturellement, qu'elle restait égale à elfe-méme. A un point de vue plus philosophique, on remarque que le déplacement d'une ligure quelconque présuppose l'existence d'une suite continue de figures congruenles à celle-là, qui en soient les positions successives; et on en conclut que, si l'existence de celles-ci est établie, le déplacement de celle-là devient absolument inutile. La considération du mouvement implique donc une pétition de principe ou un SnTepov îtpoTepov : on se sert du mouvement pour 11 montrer « l'existence de figures congruentes, alors qu'en réalité le mouvement présuppose cette existence. En un mot, il suppose l'existence de figures dilTérentes possédant les mêmes propriétés métriques, et par suite il ne peut servir à définir ces propriétés.

Toutes ces objections sont justes, mais elles ne portent que contre le mouvement réel et physique, le mouvement des corps dans l'espace, qui est en effet étranger à la Géométrie,