ROLE DE L'INTUITION EN GÉOMÉTRIE

OU plans qui se coupent, e'est-à-dire qu'on néglige et que l'on considère comme indifférents ces faits d'intuition auxquels la méthode synthétique d'Euclîde s'attache presque exclusivement. Enfin, dans les divers Calculs géométriques, on définit même les ligures fondamentales comme des combinaisons algébriques de points {e'est-à-dire d'éléments indéfinissables), et l'on raisonne sur elles au moyen d'algorithmes formels analogues à celui de l'Algèbre. Dans toutes ces doctrines, on n'invoque jamais, dans les démonstrations, les propriétés intuitives des figures, et l'on n'emploie jamais ces constructions auxiliaires qui sont, en Géométrie synthétique, comme les béquilles du raisonnement; on a pu écrire des traités entiers suivant ces méthodes sans une seule figure, ce qui montre bien que l'on n'a pas besoin do l'intuition, et qu'on ne raisonne plus sur des cas singuliers'.

Dans les Prolégomènes {| 12), Kant invoque ce fait, que l'égalité géométrique consiste en dernière analyse dans la superposition, qui est un phénomène d'intuition. Il oublie que,

1. Il est ÎQtéressant de rappeler ici l'opinion de Schopenhauer sur le mÊme sujet, car elle eat manifeatement dérivée de la doctrine de Kant. SchopenhBuer estime que la Géométrie devrait renoncer à la prétention de démontrer ses théorèmes, et imiter lArithmé tique, qui repose tout entière sur l'intuition du temps, sur l'acte du dénombrement. (Cr. Quadruple racine dti prineiiie de raison suf^ante, § 39 : « Toute proposition Héométrique devrait être ramenée à la perception intuitive, et la déraons- Iration consisterait à faire bien clairement ressortir l'on ciiafnem en l qu'il s'agit de saisir. ") 11 trouve que la méthode logique des géomètres confine à la • niaiserie . : quelle manie étrange tlo chercher une certitude médiate pour ce qui offre une certitude immédiate 1 Pour lui, la Géométrie non euclidienne osL un fruit et une preuve de cet abus rie la Logique, de cette rage de tout démontrer, de déduire chaque chose d'autre chose. Si l'on cherche en vain une démonstration du postulalura d'Euclide, c'est qu'on ne peut rien trouver de plus évident. La Géométrie non euclidienne est la parodie et la caricature de la méthode d'iîuclide {le monde comme volontéet comme représentation, t. Il.ch. siii;ef. t. I, 3 15). Ces attaques contre la méthode des Géomètres et contre la géométrie non euclidienne jugent Schoponhauer comme mathémalicien. Mais son exemple nous autorise à dire que sa conception de la Géométrie, comme fondée sur l'évidence intuitive directe, est ■ la parodie et la caricature • de celle de Kant. On en peut dire autant de sa conception de l'Arithmétique ; . Tout nombre présuppose les nombres qui le précèdent, comme ses raisons d'être; je ne puis arriver au nombre dix que par tous les nombres qui le p^-écëdeot... - (Quadruple racine, § 33), que Skvdel a fort bien réfutée {0^. cit.).

yGoosle

]à OÙ l'on emploie i^elte mélhodc (dont les géomètres modernes les plus rigoureux s'absliennent lotalémeul}, on ne se borne pas à constaler de visu la superposition; on démontre qu'elle doit avoir lieu, cest-à-dire que les deux figures à superposer sont déterminées d'une manière univoque par les éléments donnés : de sorte que de l'identité de ces éléments on peut conclure l'identité des figures totales. Or celte détermination univof]ue repose sur la définition même des figures ; par exemple, du fait que deux droites ont deux points communs, on conclura qu'elles coïncident : ce n'est pas là une constatation intuilive, mais une conséqueiiee logique de la déflnilion de la droite; et ainsi de suite '.

Le paiiaiioxe dlr objlts syméthioues.

Mais ici on peut nous objecter le fameux paradoxe des objets symétriques^. Il y a des figures (à 3 dimensions) qui sont « semblables et égales « dans tous leurs éléments, et pourtant " incongruentes .>, c'est-à-dire qui ne peuvent coïncider : tels sont les triangles spliériques opposés, les hélices dexlrorsum et sinislrorsum, les deux côtés du corps humain, les deux oreilles, les deux mains, etc. Cette différence, selon Kant, ne peut être définie ni expliquée par aucun concept, mais seulement par l'intuition, et elle prouve la nature intuitive des figures géométriques et de l'espace lui-même.

, 11 n'est peut-être pas inutile de remarquer, d'abord, que ce paradoxe avait été invoqué auparavant par Kant pour prouver une thèse toute dilFérenle, et presque contraire, celle de l'espace absolu '. La diversité des objets symétriques ne pourrait s'expliquer par leurs relations internes (qui sont identiques), et ne serait concevable que par leur rapport h l'espace absolu '.

1. Cf. les racherclies de Leibniz de delerminantibiis el détermina Us cl de Vnieo (V. La Logique de Leibniz, eti. ïir, g 10).

3. Disserlalioti, 111, 18, C (mo); Prolésomênes, § 13; Mela/ih. Afangsgi-ùnde der Nalurivisaenschaft, ch. (, Déf. II, scolie III.

S. Von dem erslen Uninde dm Ùnleisckiedes tlei- Gegfnden im Raume (1768).

4, Comme le remanjuc M. V.uiuxGEn (11, S22, Sî6), celte idée reparoll