ROLE DE L'INTUITION EN GÉOMÉTRIE

sur des images, mais sur des schèmes? Cela résoudrait la difficullé, car, tandis que les images sont particulières, les schémes sont généraux comme le concept lui-même; Kant dit que nos « concepts sensibles purs » (c'esl-à-dirc les concepts géométriques) reposent, non sur des images, mais sur des schèmes, parce qu'aucune image ne peut être adéquate au concept de triangle ni atteindre à sa généralité (B. 180). Mais, d'abord, cette théorie parait difficile k concilier avec l'assertion répétée que la mathématique construit ses concepts in concrelo (B. 743), qu'elle considère le général dans !e singulier {B. 742). Cependant on lit au même endroit : i< La figure singulière qu'on a dessinée est empirique, et cependant elle sert à exprimer le concept malgré sa généralité, parce que dans cette intuition empirique on ne regarde jamais que l'acte de la construction du concept, auquel sont tout à fait indifférentes bien des déterminations, comme la grandeur des eAtés et des angles, et par suite on fait abstraction de ces diversités, qui ne changent pas le concept du triangle » (B. 74'2). Ce passage prouve que Kanl a vu la difficulté, mais non qu'il l'ait résolue'. Car de deux choses l'une : ou bien l'on raisonne sur la figure singulière (dans l'intuition a pi'ion ou empirique, peu importe), et alors le raisonnement manque complètement de généralité; ou bien on raisonne sur le schème général dont cette figure n'est qu'une

1. De même on peut trouver des passages oti il semble reconnaître que renlendement est la source des léritës géométriques, ou du moins que l'unité synthétique de l'espace est d'ordre intellecliiel (B. IBO, noie; cf. Prolégomènes, § 38). Mais oe ne voit pas comment cette concession 6 l'Intel lectualiame est compatible avec sa thèse constante, que les jugements synthétiques n priori ne sont possibles qu'en tant que fondés sur une intiiîtîoji. Cette concession même vient de ce que, selon Kant, la géo- II Élrie considère l'espace géométrique, non comme une simple forme de l'iiituiiion, mais comme un objet (B. 460, note); mais elle parait contredite par un autre pafsage : ■ L'espace est simplement la forme de l'intuition externe (inluiiion formelle), mais non un objet réel, qui peut, être perçu extérieurement " (B. 4S7, note). Toutes ces inconséquences proviennent de In confusion perpétuelle (fort bien mise en lumière par M. Vaihisgeb) entre la forme de l'intuition et l'intuition pure (B. 160). Il n'y a en elTet aueune raison pour que la jforme de l'intuition soit elle-même une intuition. On pourrait peulrêtre résoudre par là les diflicultès de la doctrine kantienne : l'espace et le temps seraient des formes d'intuition, mais des formes intellectuelles, et non sensibles.

CoUTUBAT, — Los principes dos mathémaliques. J'J

image, et alors on ne peut plus dire que la mathématique ne considère le général que dans le pnrticulicr et le concret. On ne peut même plus dire qu'elle le considère clans l'intuition, car un schème est un procédé général, une règle de construction, et non une construction toute faite, qui serait, de l'aveu de Kant, n un objet singulier » (B. 741); et alors nous ne voyons pas en quoi il se distingue du concept, dont il partage la généralité et l'indifférence à l'égard des déterminations partifiuiières sans lesquelles il n'y a pas d'intuition '. C'est le concept lui-même qui constitue cette règle générale de construction, étant donné surtout que les concepts géométriques ne sont jamais définis ^ec genus et differenliam, mais le plus souvent per generationem. Tout produit de l'imagination est particulier, et l'on ne peut imaginer un triangle sans lui assigner une forme déterminée. Si le schème est général, il ne peut être un produit de l'imagination. Le schème est donc un intermédiaire au moins inutile entre le concept et l'image.

Dans tous les cas, si l'intuition intervient, h titre de simple auxiliaire, dans la Géométrie synthétique, elle n'intervient presque plus dans la Géométrie analytique, encore moins dans la Géométrie projective et les divers Calculs géométriques. I3n Géométrie analytique, on raisonne au moyen d'équations générales qui représentent indifféremment toutes les figures d'une même espèce, et si l'on a recours à l'intuition pour étahlir ces équations, on s'en passe complètement pour toutes les déductions qu'on en tire. En Géométrie projective, on raisonne directement sur les figures, mais en les concevant dans toute leur généralité, et en faisant abstraction de toutes leurs particularités intuitives; par exemple, on raisonnera sur la conique en général, Fans avoir ii spécifier l'ellipse, !a parabole et i'hy|)erbole, et même sans pouvoir les distinguer. De même, on ne distinguera pas des droites ou des plans parallèles de droites

1. Rappelons la définition kanlienne (le l'intuition : c'eel le mode de connaissance qui se rapporte inimMialement aux objeis, et par lequel ila nous sont donnés individuellement. Cf. Logik, % i : ' Die Ansclianung ist eine eiiiîeine Voi'stellung (l'eprms'.'iilatii) singularîs), dcr EegriîT cina allgemeine... oàor re/!eclirle Voratellung... -