C'est l'opinion de M. Vaiiihoeh (t. 11, p

3. Par exemple, on conçoit fort bien que la relation de principe â conséquence est inverse de celle de conséquence a principe, sans avoir besoin de la - construire • dans le temps ou dans l'espace.

294 LA PIIILOSOPIICE DES MATHEMATIQUES DE KAKT

toutes leurs relations inlernes; leurs parties sont bien égales (et par suite semblables), mais non pas « semblablement disposées »; en d'autres termes, toutes les relations de grandeur sont les mftmes, mais les relations d'ordre sont inverses.

Pour préciser, voici comment, en fait, on parvient h définir progressivement les figures solides symétriques. On distingue deux sens opposes pour les segments dirigés ou vecteurs d'une même droite, et on leur fait correspondre respectivement les nombres positifs et négatifs. On distingue de même deux sens opposés pour les angles d'un même plan. Deux segments ou deux angles égaux (donc de même sens) peuvent coïncider par un simple glissement; deux segments ou deux angles symétriques (de sens contraire) ne le peuvent pas. 11 en est de même pour les triangles dirigés (c'est-à-dire doués de sens) situés dans un même plan. La symétrie des Irièdres est tout k fait analogue à celle des triangles; seulement la figure a une dimension de plus, de sorte que les trièdres symétriques ne peuvent coïncider par un déplacement dans l'espace à trois dimensions. Plus généralement, on distingue des segmenls (parallèles), des angles [d'un même plan) et des trièdres homotaxiques et anlitaxiques, suivant qu'ils sont disposés dans le même sens ou en sens contraire (sur la droite, sur le plan, dans l'espace '). Or pour ti'ansfoi-mer un Irièdrc donné en un trièdre antitaxique, comme pour transformer un angle plan en un angle anlitaxiqiie, il suffît de changer le sens d'un de ses côté?, c'est-à-dire de remplacer une demt-droile par son opposée (de

I. Voir dans Méray, Nouveaiu Éléments de Géométrie, la déflnilion de rjiomolai^ie el de l'antitaxie des segments {\^i), des angles iill), des angles dièdres (192), des ti-ianglea (217), des triËdres (3iS), des lëtraëdres (370). D'autre part, on appelle isomères les ligures dont les Éléments sont égaux chacun à cliacun; et l'on démontre que, pour que deux figuras soient égales (superposahlea), il faut et il surfit qu'elles soient à la fois isoTxâres el komoiaxiques (373). Si elles sont IsOmÈres et anlifaxiques, elles sont symélriqueB (418). Cela est Également vrai : 1° des segmenls assujettis à rester sur une même droite; 2° des angles, triangles, polygones... assujettis à rester sur un même plan ; 3° dos trièdres, lÉtraÈdres, polyèdres... situés dans le mâniB espace Ji 3 dimensions. Tous les cas d'antilaxie procèdent de ce fait pi'imordial, qu'il y adeux sens contraires sur une droite, et deux sens coniraires de rotation dans un plan.

LE PARADOXE DES ODJETS SYMETlîIiJUES 203

changer lo signe + en signe— sur un des axes). Ainsi l'anUtaxie peut se définir par la simple distinction des deux sens d'un segment, et peut se réduire à l'opposition primordiale des segments positifs et négatifs sur une droite. Que cette opposition n'ait rien d'intuitif ni de propre à l'espace, c'est ce que n'aurait pu nier l'auteur de l'Essai d'introduction du concept des grandeurs négatives dans la jjhilosophie (1763), puisqu'il prétendait ramener toutes les oppositions réelles, même psychologiques (plaisir et douleur) et morales (mérite et démérite) à l'opposilion des grandeurs positives et négatives. Si donc le paradoxe de Kant prouve quelque chose, c'est que l'espace est le substralum de relations d'ordre, et que par suite il n'est pas une grandeur pure, mais aussi et surtout un ordre, ce qui est au fond la thèse même de Leibniz que Kant croyait réfuter'.

Celte question doit être soigneusement distinguée de celie-cî, qui parait lui avoir donné naissance' : « Pourquoi le monde réel a-t-il telle orienlalion plutôt que l'orientation opposée? Pourquoi, par exemple, les planètes tournent-elles de droite k gauche autour du soleil? » A une telle question il n'y a pas de réponse, parce qu'elle n'a pas de sens; et elle n'a pas de sens précisément parce que l'espace n'est pas absolu, et ne comporte pas de différences qualitatives et intuitives. Si l'espace était absolu, il devrait y avoir une raison pour que les planète^ tournent de droite k gauche plutôt que de gauche à. droite; mais s'il n'y a pas de raison à ee fait (et il n'y en a évidemment pas), c'est que l'espace n'est pas absolu'. Du reste, les deux sens sont indifférents et indiscernables, car si les planètes tournent de droite à gauche pour un observateur placé dans le

i. On voit ce qu'il faut penser de celte assertion de Kant, que les axiomes de la Géométrie ■ ne portent proprement que sur des grandeurs comme telles ■ (B, 204). Celte tlièse est d'ailleurs démentie par toute ia fJéométria moderne, dont la plupart des axiomes portent au contraira sur l'ordre et la situation. Voir par ex. D. Hilbekt, (irundtagen der Géométrie

2. Correspondance entre Leibniz et Clarke, qui, selon M. VAmcsOEn, aurait exercé une grande influence sur le développement de ia pensée de Kant (II, 133, 4U, 436, 505, 530).

3. C'est ce ffue Leibniz soutenait contre Clarlie et Newton (III, S).

Il DES MATHEMATIQUES DE KANT

soleil la têle aa N. el les pieds au S., elles tournent de gauelie à droite pour un observateur placé dans la position inverse. Ainsi la distinction des deux sens est relative à la distinction du N. et du S. qui est elle-même relative; car il n'y a ni haut ni bas dans l'univers.

On dira peut-être que, malgré tout, la difTcrenee des objets symétriques est quelque chose d'indéfinissable, et que ce qui le prouve, c'est l'impossibilité où nous sommes de la définir autrement que par référence à des cas particuliers, c'est-à-diro à l'intuilion : nous sommes obligés en effet de nous servir iles termes de droite et de gauche, qui sont relatifs à notre propre corps, que nul ne peut définir, et qui ne peuvent être distingués que par un sentiment immédiat et inanalysable. A cela nous répondrons que cet argument porte, non plus sur la possibilité de distinguer intellectuellement les figures symétriques, mais seulement sur les moyens que nous employons pour les distinguer dans ie langage, c'est-à-dire pour les désigner aux autres. Dans l'opuscule : Was heisst sich im Denken orientiren? (1786), Kant soutient qu'on ne peut s'orienter, c'est-à-dire distinguer les quatre points cardinaux, qu'au moyen du sentiment subjectif de ia droite et de la gauche ; et il ajoute : « Je l'appelle un sentiment, parce que ces deux cOtés ne présentent extérieurement dans l'iniuition aucune différence sensible » (EJ. Hart., IV, 341). 11 oublie qu'il y a une différence parfaitement sensible et absolument objective entre les deux demidroites opposées qu'un point détermine et sépare sur une droite indéfinie, attendu qu'elles n'ont pas d'autre point commun. Il y a là une distinction intelligible et bien claire, et non une simple distinction de sentiment. Les dénominations de droite et de gauche ne servent nullement à les distinguer, mois simplement à les désigner verbalement. De même, nous nous servons des indications géographiques ou anthropomorphiques de noj'd et de sud, de haut et de bas, pour désigner les deux sens inverses d'une droite (d'un axe de coordonnées), ou de l'expression : « sens des aiguilles d'une montre » pour désigner les deux sens possibles d'une rotation sur un cercle ;