LES PRINCIPES DE LA GÉOMÉTRIE

el pourlant deux droites de sens inverses, deux cercles décrils en sens inverses, peuvent être amenés à coïncider. Ainsi la nécessité pratique oii nous sommes de faire appel à des données intuitives pour désigner les figures symétriques n'est nullement liée à leur incongruenee, et ne prouve pas que, même dans le cas de l'incongruence, nous ne puissions pas discerner les figures symétriques sans recours à l'intuition.

LblS PRINCIPES DE LA GÉOMÉTRIE.

Au surplus, la reconstruction logique de la Géométrie n'est pas simplement une possibilité idéale, mais un fait réalisé par les travaux des géomètres contemporains'. Il est donc désormais établi que les démonstrations géométriques sont (c'est-àdire peuvent et doivent être) analytiques, et que la Géométrie peut et doit se déduire tout entière logiquement d'une vingtaine de postulais. Reste à savoir quelles sont l'origine et la valeur des postulats. C'est là une question encore controversée, et que la Logique formelle n'est pas compétente pour résoudre. Ce qui est sûr, c'est que les postulats de la Géométrie ne peuvent pas se déduire, comme les axiomes de l'Arithmétique, des principes de la Logique : et la preuve en est qu'il n'y a qu'une Arithmétique, tandis qu'il y a plusieurs Géométries {logiquement possibles). Sans doute, chacune de ces Géométries se construit ttwa/(/(iyMemeni sur un ensemble de postulais qui la caractérisent et la déterminent entièrement; chacune d'elles se présente comme un système hypothético-déductif, selon l'expression de M. Mario Piiîiii, c'est-à-dire comme un ensemble de propositions logiquement enchaînées qui dépendent do

I. Vo r oïlammenlMaro 1 eu I P ncip delta Geo fi -in di posizione, co posI n stslema log o led ttvo Délia Ueotiei a elemenlare corne siste na polel co de t tl o ap Ven o e délia R Aeca lemia délie Sdenze h lorno sér e 1! t XI VIII et XLIX (1898 1899) t\. Sur la Géométrie em eaqée comme u i ajsieme pure e i log q e a.p B bliolhèque du Congrès le Ph losopt e t DI Selon cet auteur la Géomelr e est ■ l'flude d'un ce la n oriir de relat oi s log quea complètement affrauchie de rinluiloi» être cLant la forne iun e e d aie r re ent dcduc-

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29S LA. l'HILOSOPIlîE DES MATHÉMATIQUES DE KAKT

quelques hypothèses, et qui seront vraies dans le cas et dans la mesure oii ces hypothèses seront elles-mêmes vérifiées. Une fois ces hypothèses admises, la Logique pure règne dans chacune de ces-Géométries; au point de vue logique, elles sont équivalentes et indifférentes. Il ne faut pas croire qu'elles soient incompatibles : elles ne le seraient que si elles portaient sur le même objet ou ensemble d'objets (uu espace); mais, eu elles-mêmes, elles ne portent sur aucun objet et n'en impliquent aucun, puisqu'elles sont purement hypothétiques'. Ce sont des systèmes d'implications formelles qui n'affirment pas plus leurs hypothèses que leurs conclusions. Or ces hypothèses, ce sont les postulats; ceux-ci ne font donc pas partie, à proprement parler, des propositions, des assertions qui constituent chaque Géométrie : ils sont considérés h litre problématique comme des hypothèses gratuites (nous ne disons pas arbitraires, car il n'y a rien d'arbitraire dans les Mathématiques, en dehors des définitions... et encore!). En ce sens, les diverses Géométrics font partie des Mathématiques pures, ce sont des sciences déductives et purement analytiques, en tant qu'elles portent sur des espaces idéaux et simplement possibles. Chose curieuse, la Géométrie moderne a exactement réalisé l'idéal que Kant avait prévu et défini à vingt-trois ans, dans son premier ouvrage, alors qu'il était encore tout imprégné de pensées leibniziennes ; a Une science de toutes les espèces possibles d'espaces serait sans doute la Géométrie la plus haute qu'un entendement fini pût entreprendre ^. »

Mais, en un autre sens, la Géométrie cesse d'être une science analytique et une mathématique pure : c'est lorsqu'elle s'applique à un objet particulier, l'espace actuel, et en implique l'existence. A ce point de vue, il n'y a plus qu'une Géométrie admissible, et il faut nécessairement faire un chois entre toutes les Géométries logiquement possibles. D'ailfeurs, d'après ce que nous avons dit, faire ce choix se réduit à choisir entre les divers systèmes do postulats qui commandent respectivement