LES PRIKCICES DE LA GÉOMÉTRIE

les différentes Géomélries, c'est-à-dire à affirmer que tel système est vérifié par l'espace actuel ou par le monde réel : une telle affirmation est évidemment syntiiétique, au sens que nous avons défini, en ce qu'elle dépasse les bornes de la Log'ique formelle. A. qui apparlient-il de faire ce choix, ou qu'est-ce qui le détermine? C'est la seule question qui puisse encore donner lieu à controverse. La plupart des malhémaliciens pensent que c'est l'expérience qui nous apprend quels sont les postulats qui sont effectivement vérifiés dans noire monde; les postulats seraient des lois inductives, des résumés d'innombrables expériences, et par suite !a Géométrie serait une science inductive et expérimentale, la première, c'est-à-dire la plus abstraite et la plus simple des sciences physif[ues. Dans cette théorie, les jugements géométriques seraient simplement synthétiques a posteriori. Mais, pour d'autres, l'expérience serait impuissante, ou plutôt incompétente, à d6eider entre les diverses Géométries, attendu qu'une même expérience, un môme ensemble do faits, pourrait se couler et s'interpréter dans les divers systèmes que nous offre la Géométrie pure. Notre cboix ne serait donc pas imposé par l'expérience, mais guidé par des raisons de « commodité ». Or, comme il s'agiL évidemment ici, non pas d'une commodité empirique ou pratique, mais d'une commodité intellectuelle, on peut présumer que ces raisons de « commodité », si on les précisait et an.'ilysait davantage, se réduiraient à des raisons... rationnelles, c'est-à-dire des jugements synthétiques a priori. El ce qui semble confirmer cette présomption, c'est le caractère éminemment rationne! des deux propriétés essentielles de l'espace euclidien : i° la possibilité de déplacer une figure invariable sans la déformer, qui constitue en somme le principe d'identité de la Géométrie (la même figure peut exister en des lieux difFérents); 2" la possibilité des figures semblables, qui constitue ce que Delbœuf appelait l'indépendance de la forme et de la grandeur (la mémo forme peut exister à des échelles différentes). Seulement ces jugements synthétiques a priori ne seraient pas fondés, comme le pensait liant, sur une intuition sensible (fût-elle pure),

mais sur des nécessiléa ou tout au moins des convenances rationnelles, de sorte que cette thèse donnerait raison bien plutàt à l'intellectualisme leibnizien qu'à 1' « intnitionisme » kantien.

Néanmoins, à côté de ces postulats d'un caractère intellectuel, il y en a au moins un, celui relatif au nombre des dimensions de notre espace, qui ne parait pas pouvoir s'expliquer de la même manière, ni avoir aucune raison d'être intelligible. Il semble bien que ce soit là un fait d'intuition inexplicable et irréductible, qui s'impose pratiquement à tous les hommes d'une manière irrésistible, soit qu'il provienne de la constitution subjective de notre sensibilité, soit qu'il traduise plus ou moins symboliquement une propriété objective du monde extérieur. Si donc il y a un postulat qui paraisse justifier la doctrine kantienne, c'est bien celoi-lii. Entre les deux théories que nous venons de citer, nous n'avons pas la prétention de décider. Mais peut-être la solution la plus probuble du problème est-elle intermédiaire et mixte : certains postulats seraient d'origine intellectuelle, et certains autres d'origine intuitive. L'espace serait alors, non plus une simple forme de la sensibilité, mais une forme assez complexe organisée par des principes intellectuels avec des éléments d'ordre intuitif.

Quoi qu'il en soit, tandis que l'Arithmétique dément la théorie kantienne, c'est dans la Géométrie que cette théorie a le plus de chances de subsister. Ce résultat est contraire à l'opinion d'un grand nombre de mathématiciens, qui prétendent que l'invention des géométries non euclidiennes a réfuté la doctrine kantienne; ces auteurs, apparemment peu familiers avec la pensée de Kant, croient que sa doctrine implique qu'il n'y ait qu'une Géométrie logiquement possible, ce qui est faux ; l'existence de plusieurs Géométries possibles est bien plutôt un argument en faveur de la thèse kantienne, que les jugements géométriques sont synthétiques et fondés sur l'intuition ',

1 Vei-kiUlnis îk Kant, ap. /.n Kml's