FRÉDÉRIC ROGER

à PARIS.

Introduction.

Dans le remarquable Mémoire sur les nombres dérivés des fonctions continues, première partie de son grand travail Sur la dérivation et son calcul inverse!, M. Arnaud Denjoy à obtenu des résultats d’une simplicité inattendue. En voici l'essentiel d'après l'Auteur lui-même:

»Considérons la courbe C' d'équation y-—f(x). En un de ses points M, figurons les angles dérivés (contingents de M. Bouligand) À (à droite), A’ (à gauche) de sommet commun M, formés par les positions limites de la demidroite MM” quand M'(x',y) décrivant C tend vers M(x’ > x pour À, & < x pour 4’). En un point M particulier les angles À et À’ peuvent être quelconques, mais si on néglige ce qui se passe sur un ensemble de mesure nulle, il ne reste de possible que les trois cas suivants (effectivement réalisables tous trois):

ou bien À et À’ se réduisent respectivement à deux demi-droites inclinées se prolongeant (dérivée bilatérale finie). l

ou bien À et 4” sont adjacents et supplémentaires, le côté commun étant parallèle à Oy (dans le sens positif ou dans le sens négatif) (un dérivé bilatéral

fini, les deux autres dérivés infinis de signe contraire).

! Première partie: Mémoire sur les nombres dérivés des fonctions continues, Journal de Mathcmatiques pures et appliquées, (7) 1, 1915, 105—240.

Deuxième partie: Sur les fonctions dérivées sommables, Bulletin de la Société Mathématique de France, 43, 1915, 161—248.

Troisième partie: Mémoire sur la totalisation des nombres dérivés non sominables, Annales scientifiques de l'Ecole Normale Supérieure, (3) 33, 1916, 127—222 et (3) 34, 1917, 181—238.

2 Frédéric Roger.

ou bien À et 4” valent chacun deux droits, ils sont adjacents suivant O0 y (dérivés bilatéraux +0 et —).»

(Extrait de la Notice sur les Travaux scientifiques de M. Arnaud Denjoy, Paris, Hermann, 1934, p. 14).

Si lon porte plus spécialement l'attention sur les droites passant par M dont une demi-droite appartient à l'angle dérivé À et l'autre à 4’ (droites représentatives des nombres dérivés bilatéraux), en un point M non exceptionnel, ou bien ces droites forment la totalité du plan (3% cas de M. Denjoy), ou bien il n'y en a qu'une D) (2ième ef rier cas); dans cette dernière éventualité les demidroites qui appartiennent à À ou 4’ sans qu'il en soit ainsi de leurs opposées, ou bien forment un demi-plan limité à D) (25% cas), ou bien n'existent pas (ri® cas: la courbe (admet 1) pour tangente en M); et si l'on veut bien convenir que toute droite à distance 7 d’un point O »touche» aussi bien le cercle de centre O et de rayon r que la circonférence de ce cercle, on peut dire que 1), accompagnée ou non d'un demi-plan, est la tangente à C en M en un sens élargi. Aïnsi, sauf en des points qui se projettent parallèlement à Oy (par exemple sur Ox) en un ensemble de mesure nulle, en l'un de ses points H, sous la seule condition qu'il y passe une droite qui ne soit pas, par chacune de ses deux demidroites, position limite de demi-sécantes M M', la courbe C admet une tangente au sens large D (droite unique dont les deux demi-droites sont positions limites de demi-sécantes), en dehors de laquelle les positions limites de demi-sécantes, sil en existe, forment un demi-plan limité à elle: enfin cette tangente au sens large est inclinée sur O0 y.

Rattacher ces propriétés tangentielles des courbes représentatives de fonctions continues d’une variable à celles des ensembles de points tout à fait arbitraires d'un espace euclidien à un nombre quelconque de dimensions, tel est l'objet du présent travail. En un point d'un tel ensemble, sauf en certains dont Je précise la rareté, sous la seule condition qu'on y puisse mener une variété linéaire dont aucune droite passant par lui ne soit, par chacune de ses deux demi-droites, position limite de demi-sécantes!, Jj établis l'existence d'une variété linéaire complémentaire, faisceau des droites dont les deux demi-droites sont positions limites de demi-sécantes, et je montre qu'en dehors de cette variété linéaire tangente en un sens élargi, les positions limites de demi-sécantes, s’il en existe,

se répartissent en demi-variétés linéaires à une dimension de plus qu'elle et

1 . . % A 0 . 0 s Le lecteur est prié de faire une figure pour l'espace à trois dimensions dans le cas où cette variété linéaire est 10) nne droite 20) un plan.

limitées à elle, dont aucun couple ne forme une variété linéaire complète; enfin Jj étudie la rareté en projection à partir d'un point fixe, des points où la variété linéaire tangente au sens large passe par le point fixe. Aënst, la notion de tangente et de plan tangent, plus généralement de variété linéaire tangente, n'est pas spéciale aux courbes et surfaces, ou variétés: convenablement élargie, elle se révèle comme étant de toute première importance pour les ensembles euclidiens de points les plus généraux. Il s'y joint la notion de système de demi-variétés linéaires à une dèmension de plus que la variété linéaire tangente au sens large et limitées à elle, dont aucun couple ne forme de variété linéaire complète. D'ailleurs une telle notion se rencontre dès les éléments quand, au lieu de considérer les courbes et surfaces dans leur totalité, on envisage ce qui se passe aux points frontières de leurs portions.

Comime applications de ces propriétés, j'insiste sur le cas de l'espace à trois dèmensions, puis je donne un eœritère de dérivabilité presque partout d'une fonetion complexe arbitraire de variable complexe, surtout j'étudie comment une Jonction arbitraire dont l'argument est un point d'un espace euclidien mais la fonction un être de nature beaucoup plus générale, atteint en un point ses limites.

Les principaux résultats de ce travail ont été communiqués à l'Académie des Sciences en deux Notes insérées aux Comptes-Rendus des séances (12 Novembre 1935, 201, 871, pour le caractère linéaire de la répartition des positions limites de demi-sécantes — voir aussi C. R. 202, 377 —!; 27 Avril 1036, 202, 1403, pour les applications — voir aussi ©. R. 203, 1311 —). Dans cette étude il nest question que de contact du premier ordre; les contacts d'ordre supérieur feront l'objet d'une autre étude qui, pareillement à la première, tire son origine et le plus souvent l'esprit de ses méthodes des profonds travaux de M. Denjoy. Qu'il me soit permis de lui exprimer ici ma grande reconnaissance pour le bien-

veillant intérêt et les précieux conseils dont je lui reste si redevable.