CHAPITRE I

Notions préliminaires.

Section 1: Faisceau dérivé.

Plaçons-nous dans l'espace euclidien [Æ] à » dimensions. Un point M est

point d'accumulation d'un ensemble Æ de points si tout ensemble ouvert conte-

! Depuis lors M. $. SAKS a publié aux Fundamenta Mathematicae (26, 1936, 234—240) un intéressant Article donnant pour le plan des résultats analogues à ceux que j'avais indiqués.

4 Frédéric Roger.

nant M contient au moins un point de Æ différent de M. Il suffit d’ailleurs quil en soit ainsi des sphères ouvertes $; à n dimensions d’une famille dénombrable partout dense. Afin de caractériser en un point M les directions dans lesquelles s’accumule un ensemble Æ, je dirai qu'une demi-droite M 4 est rayon d'accumulation de ÆE en M si, quel que soit le faisceau ouvert de demi-droites issues de contenant M 4, la partie de Æ qui s'y trouve admet M pour point d'accumulation. Ici encore il suffit qu'il en soit ainsi des demi-cônes ouverts de révolution 1;(M) à » dimensions de sommet H, déduits par la translation OM de ceux d'une famille dénombrable partout dense autour du point © arbitrairement fixé. Autrement dit M7 est rayon d’accumulation de Æ en M si, quels que soient 5; contenant M et 1;(M) contenant M4, l'intersection $, /\ TH) AE n'est pas vide. Dans le cas contraire, on peut trouver un couple d'indices 2,, (et d'ailleurs une infinité) tel que $;, contienne W, T;, (M) contienne M A, et vérifient Si /\ T,(M) A E— 0; d'où résulte qu'aucune demi-droite de T;,(M) ne peut être rayon d'accumulation et qu'aucun point d'accumulation de Æ ne peut appartenir à l'ensemble ouvert S; /\ 13,(M).

Dès lors, ex un même point M, les rayons d'accumulation d'un ensemble E Jorment un faisceau fermé de demi-droites issues de M, y (M), le même pour l'ensemble que pour sa fermeture. Malgré tout le parti qu'en a déjà tiré M. Bouligand sous le nom de »contingent», je préfère, tant par analogie avec l'expression d’ensemble dérivé que par extension de la notion d'angle dérivé, introduite dès 1918 par M. Denjoy, l'appeler faisceau dérivé de l’ensemble E au point M. C'est manifestement une généralisation de la tfangente à une courbe et du plan tangent à une surface quand on les considère comme faisceau des positions limites de demisécantes. Mais il est bon de remarquer que le contact avec l'ensemble d’un rayon intérieur au faisceau dérivé, s'il en existe, ne peut être rompu par une variation arbitrairement faible de l'orientation de ce rayon.

Considérons un faisceau fermé D(M) de demi-droites issues de M, étrangères au faisceau dérivé ®g(M). A chacune d'elles on peut faire correspondre un couple 4%, ) et, d’après un théorème de MM. Borel et Lebesgue, recouvrir ®(M) au moyen d'un nombre fini de 1;,(M), auquel correspond un nombre fini de S;

qui, ayant en commun HW, ont en commun une sphère Sr: Sr, A > I;(M) N E=0, (o

la sommation étant étendue à la combinaison (7) des indices j, en nombre fini correspondant au recouvrement de Œ(M). Par suite D(M) A E n'admet pas M

pour point d'accumulation. Cette propriété, qui Jait du faisceau dérivé un véritable

(ox 4

diagramme d'existence locale de l'ensemble, n'a déjà plus lieu dans l’espace de Hilbert. C'est ce qui me fait, au moins provisoirement, limiter le champ du faisceau dérivé aux espaces euclidiens à un nombre quelconque mais fini de dimensions. En particulier le faisceau dérivé, dont la définition ne permet l’existence qu'aux points d'accumulation de l’ensemble, existe effectivement en chaque point d'accumulation.!

Aïnsi les points M de la fermeture Æ en chacun desquels on peut attacher un faisceau fermé de demi-droites issues de M, D(M) (arbitrairement variable d'un point 17 à l'autre) qui soit étranger au faisceau dérivé Dr (M), se répartissent en au plus une infinité dénombrable d'ensembles caractérisés chacun par un indice et une combinaison finie (7), tels que $;, contienne W, x T;(M) recouvre D(M),

(Jo et vérifient S;, A D 1;(M) A E—o. Un tel ensemble fait partie de l'ensemble

(5) Æ, inclus dans S$;, /\ E et vérifiant, en chacun de ses points M, $;, A SIM) A (Jo A Æ£=o. E, est fermé car il en est ainsi de l’ensemble de tous les points M

de l'espace qui vérifient cette dernière relation. En effet, pour un point HW’ du

complémentaire, Æ possède un point dans $;, / D I;(M), done à distance posi- (jo

tive d de la frontière de l'ensemble ouvert D'15(M); et tout point distant de M’

de moins de d appartient encore à ce complémentaire qui, par suite, est ouvert.

De plus, des relations que vérifie Æ, résulte Du: (M) À FE, = 0; en sorte que, (flo

T'j (M) désignant l'opposé par le sommet de 1;(M), la réciprocité entre les points

M de Æ, ne permet pas V0) (M) A E,/0. Par suite, non seulement D(M)

mais encore son opposé D'(M) est étranger au faisceau dérivé Dr(M). Ce qui

conduit à accorder aux rayons d'accumulation de Æ en M dont les opposés ne

sont plus rayons d’accumulation, une importance moindre qu'aux autres. Ces

derniers forment un faisceau fermé de droites passant par Ï, intersection de

(M) et de son opposé ®ÿ(M), que j'appellerai partie bilatérale du faisceau

/ Au contraire, dans l'espace de Hilbert, la suite de points dont le pième est sur le pième axe de coordonnées, à la distance 1/p de l'origine, admet ce dernier point pour point d'accumulation sans y admettre aucun rayon d'accumulation.

6 Frédéric Roger.

dérivé de l'ensemble E au point M! F(M) étant un faisceau fermé de droites passant par M, étranger à cette partie bilatérale, le faisceau fermé de demidroites (M) — F(M) /\ D;(M) est étranger au faisceau dérivé Dx(M); par suite son opposé D'(M)=— F(M)/\ Dx;(M) est étranger au faisceau dérivé ®x,(M) considéré plus haut, lequel est inclus dans Ox(WM) identique à ®k(M); donc F(M)

est étranger à ®x,(M).

Théorème I. Ætant donné un ensemble de points dans un espace euclidien, les points M de sa fermeture en chacun desquels on peut attacher un faisceau fermé de droites passant par M, F(M) (arbitrairement variable d'un point M à l’autre) qui soit étranger à la partie bilatérale du faisceau dérivé de l'ensemble en M, se répartissent sur au plus une énfinité dénombrable d’ensembles fermés dont le faisceau dérivé propre, en chaque point M, est en entier étranger à F(W).

En particulier les points de la fermeture où le faisceau dérivé de l'ensemble n'a pas de parte bilatérale forment un ensemble au plus dénombrable car il en est

ainsi des ensembles composés de points isolés.

Section 2: Variétés lipschitziennes.

Portons plus spécialement l'attention sur le cas où le faisceau F(M) est une variété linéaire L(M) à n — p dimensions. Les ensembles du théorème I étant rangés en une suite, soit #, l'indice de celui qui contient un tel point M: L(M)

est étranger au faisceau dérivé ®y, (M). On peut alors trouver un indice 4, et

une combinaison finie (j), tels que S;, eontienne M, DT (M) recouvre L(M), (Jo et vérifient 55, /\ jé T;(M) /\ Er, —0o. D'après les valeurs de ces différents in- (5) dices, les points M en question se répartissent en au plus une infinité dénom-

brable d'ensembles. Celui Æ, qui correspond aux valeurs précédentes, du fait

qu'il appartient à $;, /\ E4,, vérifie, en chacun de ses points M, DIM) N E=o.

(Jo

* Dans le cas où l'ensemble Æ est ordonné, en ce sens qu'entre deux quelconques de ses points il existe une relation d'ordre asymétrique {M' postérieur à M entraîne M antérieur à M) et transitive (M” postérieur à M, M” postérieur à M’ entraînent M” postérieur à M), on peut définir en un point M le faisceau dérivé postérieur (ou antérieur) comme le faisceau dérivé ordinaire de l'ensemble des points de Æ postérieurs (ou antérieurs) à M et le faisceau dérivé bilatéral comme le faisceau des droites dont une demi-droite appartient au faisceau dérivé postérieur et l'autre au faisceau dérivé antérieur et faire jouer à ce faisceau dérivé bilatéral le rôle que ya jouer dans le cas général la partie bilatérale du faisceau dérivé.

M, désignant un point particulier de Æ, et « la distance angulaire de L(M,) à la frontière de Ÿ 1;(M;), toute sécante I M° à l'ensemble Æ, fait avec L(M) (jo un angle au moins égal à «w. La correspondance de Æ, à sa projection e, faite parallèlement à ZL{(M,) sur une variété linéaire orthogonale et complémentaire [e], définit alors une fonction géométrique uniforme M — f(m) vérifiant une condition de Laipschitze M M" = DRE nt sin &

Dans un système d'axes rectangulaires dont les p premiers sont pris dans le, les » — p dernières coordonnées d'un point M de Æ, sont des fonctions numériques réelles des p premières, ou plus brièvement du point #, vérifiant a fortiori la condition de Lipschitz [æ,(m') — æ,(m)| £ mm'/sin w (y=p +1, p+2,...,,n). Il est possible d'en prolonger la définition hors de e, tout en leur conservant cette propriété. En effet, pour chaque valeur de y, en un point w de {e] étranger à € quels que soient les points » et »’ de e,, les segments (fermés) de u x, relatifs à chacun d'eux, respectivement définis par &,(m) + w m/sin © et æ,{(m')+um'/sin w, ont en commun au moins un point car sinon [x,(m') — x,(m)| serait supérieur à (um + um)/sin wo done à mm'/sinœw; d'où résulte que les segments analogues relatifs à chacun des points de €, ont en commun au moins un point, dont on peut prendre la coordonnée pour x,{(u). Dès lors, étant donnée une suite partout dense de points de {e}, sur ceux qui n'appartiennent pas à e, et en les y adjoionant au fur et à mesure, on peut de proche en proche prolonger chacune des n — p fonctions æ,(m). Le prolongement s'achève partout ailleurs par continuité. L'ensemble représentatif de ce système de fonctions correspond alors d'une manière

univoque et continue dans les deux sens, à la variété linéaire |[e] à p dimen-

sions; c'est la définition même d'une variété à yp dimensions (courbe, surface

pour p—1, 2, quand # — 3). Et cette variété vérifie la condition de Lipschitz

Vr—9p MM =<—— mm sin &) Théorème IL (7*"° purtie). — Etant donné un ensemble de points dans l'espace

euclidien à n dimensions, les points M de sa fermeture en chacun desquels on peut mener une variété linéaire à n — p dimensions (arbitrairement variable d’un point M à Vautre) qui soit étrangère à la partie bilatérale du faisceau dérivé de l'ensemble en M, se répartissent sur au plus une infinité dénombrable de variétés lips-

chitziennes à p dimensions}

! Le lecteur est prié d'envisager les cas particuliers n = 3, p=2 et n=3, p=lI.

2—37534. Acta mathematica. 69. Imprimé le 13 décembre 1937.

8 Frédéric Roger.

Section 3: Mesure p-dimensionnelle dans lespace euclidien à # dimensions.

Plaçons-nous d'abord dans un espace [E) assujetti à la seule condition qu'il y existe une mesure extérieure (au sens de M. Carathéodory), c'est-à-dire une fonction numérique réelle non négative (éventuellement infinie) et non constante u(E) , définie pour tout ensemble C d'éléments de [E}, vérifiant la condition:

quand E € > Cr, u(E) < De u (Gr k—1 Kk=1 Avec M. Carathéodory !, appelons »wesurable-u (de mesure #(€) en supprimant le

mot extérieur) tout ensemble Œ qui possède la propriété: pour tout ensemble À de 6, u Q) = u (A À E) + u (A A CE),

C désignant le complémentaire par rapport à [E. On démontre alors que la Jamille des ensembles mesurables-4 contient, en même temps que deux ensembles, leur différence, et en même temps que des ensembles en au plus une infinité dénombrable, leur réunion (par suite aussi leur intersection), ainsi que les ensembles annulant w (et par suite leurs sous-ensembles); et que, sur cette famille, la fonction d'ensemble #(C) jouit de l'additivité complète:

quand les Gx, deux à deux disjoints, sont mesurables-u,

= > Ex] — D u(&y).

K=1 k=1 Cette manière d'introduire une mesure est légitime. In effet, soit a priori une mesure dans l'espace [G|, c'est-à-dire une fonction numérique réelle non négative, non constamment nulle ou infinie et complètement additive #1(C*), définie pour les ensembles C* (dits mesurables) d'une famille contenant en même temps que deux ensembles, leur différence, et en même temps que des ensembles en au plus une infinité dénombrable, leur réunion, ainsi que tout sous-ensemble d'ensemble annulant w». La fonction d'ensemble »(6) définie pour tout ensemble & de [E] comme la borne inférieure des mesures »(C*) des ensembles mesurables E* contenant E, ou +

Va il n'existe oi de tels sosempies, Hrésente tous les caractères d’une mesure

* Cf. C. CARATHÉODORY, Über FT Rubi e Mass von big — eine Verallgemeinerung des Lüngenbegriffs, Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Gôttingen, Mathematischphysikalische Klasse, 1914, 404—426.

Voir aussi R. DE Possgr, Notion générale de mesure et d'intégrale, Séminaire de Mathématiques de M. Julia, 2, 1934—1935, A.

extérieure; et l'on démontre que tout ensemble mesurable donné Œ* (pour lequel évidemment » — m) possède la propriété de M. Carathéodory relativement à cette mesure extérieure /n.

Particularisons maintenant l'espace [GC] en le supposant métrisable, c'est-à-dire où lon peut introduire une déstance, fonction numérique réelle non négative et symétrique de deux éléments quelconques de [6], nulle dans le seul cas de l'identité de ces deux éléments et satisfaisant à l'inégalité du triangle. Et imposons à la mesure extérieure x cette nouvelle condition de M. Carathéodory (additivité pour deux ensembles à distance positive):

(C:) quand distance (&,, &.) > o, u(E, + E,) = u(E,) + u (GC).

Alors, fait extrêmement important qui, entre autre, a permis l'introduction par M. Haar d'une mesure dans les groupes, on démontre que tout ensemble fermé de (C] est mesurable-u, par suite aussi fout ensemble de M. Borel.

Prenons enfin pour espace [6] l'espace euclidien [E£} à » dimensions et appelons, avec M. Kolmogoroff!, #mage non dilatée d'un ensemble Æ de points, un ensemble € tel que chaque point de Æ ait un correspondant unique dans e, la distance de deux points quelconques de Æ n'étant pas inférieure à celle de leurs correspondants (par exemple une projection orthogonale e de Æ sur une variété linéaire). Il est naturel d'imposer encore à w cette condition de M. Kolmogorof :

(C;) pour toute image non dilatée e de E, u(e) £u(E); qui entraine en particulier l'invariance de 4 par rapport au groupe des déplacements. Dès lors, j'appellerai #esure p-dimensionnelle extérieure dans l'espace euclidien E à n dimensions, toute mesure extérieure dans [Æ], vérifiant (C;) et (C,), de valeur 1 sur un carré unité U (de côté égal à l'unité de longueur) d'une variété linéaire à » dimensions de [Æ]. On démontre qu'une telle mesure p-dimensionelle extérieure u prend, sur chaque ensemble de M. Borel?, une valeur comprise entre celles de deux mesures p-dimensionnelles extrêmes: la mesure supérieure et la mesure inférieure (qu'il ne faut pas confondre avec la mesure extérieure et la mesure intérieure, ici égales pour chaque # puisqu'un ensemble de M. Borel est mesurable-u, la mesure intérieure #(Æ) étant définie comme la borne supérieure des mesures des ensembles mesurables-u contenus dans Æ).

Parmi les mesures p-dimensionnelles extérieures au sens ainsi précisé figure

la mesure de M. Carathéodory dont voici la construction: on enferme l’ensemble

" Cf. A. KOLMOGOROFF, Beitrüge zur Masstheorie, Mathematische Annalen, 107, 1933, 351—366. La démonstration de M. Kolmogoroff (loc. cit.) est même relative aux ensembles analytiques ; mais la considération des ensembles de M. Borel nous suffit pour la suite.

10 Frédéric Roger.

Æ dans un système au plus dénombrable de sphéres à » dimensions: on forme la somme de la série dont les termes sont les mesures élémentaires des sections centrales à p dimensions de ces sphères; et l’on prend pour w(EÆ) la plus petite. limite de cette somme quand le plus grand diamètre des sphères du système tend vers zéro. Quant à la mesure supérieure de M. Kolmogoroff, on peut l’'obtenir en prenant la borne inférieure des mesures extérieures de M. Lebesgue, dans une variété linéaire à p dimensions de LE], des ensembles de cette variété dont Æ est une image non dilatée, ou + © quand il n'existe pas de tels ensembles. De plus, pour tout ensemble de M. Borel rentrant dans le premier cas, on démontre l'égalité des mesures supérieure et inférieure, donc l'’unicité de la mesure p-dimensionnelle.

En particulier, considérons une variété hpschitzienne V à p dimensions: elle correspond à sa projection orthogonale sur une variété linéaire convenable {e] à p dimensions, par une fonction géométrique uniforme M — f(m) vérifiant une condition de Lipschitz M M'<K.mm. Tout ensemble E de V est image non dilatée d'un ensemble semblable, dans le rapport X, à la projection de Æ sur {el D'où résulte que toute portion fermée et bornée de V admet une mesure p-dimensionnelle wnique et finie et que tout ensemble de M. Borel de V, dont la projection sur [e] (qui est encore un ensemble de M. Borel) à sa mesure de MM. Borel et Lebesgue nulle, admet une mesure p-dimensionnelle wnique et nulle. Du fait que toute mesure p-dimensionnelle d'un tel ensemble est nulle, résulte qu'il en est de même de chacun de ses sous-ensembles, que ce soit ou non un ensemble de M. Borel.