CHAPITRE IIL

Applications.

Section 1: Point de vue géométrique.

Illustrons d'un exemple le caractère linéaire de la parte bilatérale du faisceau dérivé et demi-linéaire éventuel du faisceau dérivé en entier que le théorème II met en évidence. Dans l'espace euclidien à trois dimensions, considérons la frontière E' d'une réunion de sphères ouvertes dont aucune, ni aucune limite ne soit de rayon nul. L'adjonction des sphères limites ne modifie pas la frontière Æ et permet de dire qu'en chacun de ses points M passe au moins une sphère S. Comme F n'a aucun point à l'intérieur de S, son faisceau dérivé Dr(M) n'a aucune demi-droite du côté du plan tangent T à S en M où se trouve S. En s'appuyant sur le fait qu'aucune sphère S n’est de rayon nul, on démontre aisément que l'existence, hors de 7, d'une demi-droite de Dr(M) entraîne celle, en M, d'une sphère autre que S: et que l'existence, dans 7, d'une demi-droite M

Réunion d'au plus une infinité dénombrable d'ensembles où une variété lipschitzienne à p dimensions n'admet pas de variété linéaire à p dimensions tangente au sens strict ou en admet une qui passe par le point fixe.

étrangère à ®r(M) entraine celle, en M, d'une sphère autre que 5, où pénètre M A4. Dès lors:

a) En M ne passe qu'une sphère $ (cas général) ou que des sphères tangentes entre elles: le faisceau dérivé Dr(M) coïncide avec le plan langent T' à S en M.

b) En M ne passent que deux sphères non tangentes ou que des sphères tangentes à une même droite D: selon la disposition de leurs grands cercles dans le plan perpendiculaire à D en M, ®r(M) comprend les deux faces d’un dièdre, provenant en quelque sorte du repliement suivant D du plan 7! par suite du dédoublement de la sphère S; ou bien, ce repliement devenant complet, ®r(M) devient un demi-plan limité à D; ou même ®z(M) se réduit à D. Dans ces trois cas, D est la fangente à F en M au sens élargi de droite unique ayant avec }° un contact bilatéral.

c) En M passent au moins #ros sphères non tangentes à une même droite: Dr(M) comprend les trois faces d'un trièdre, ou la surface d’un demi-cône strictement convexe; il peut se réduire à un secteur plan d'angle inférieur à x, à une demi-droite, où même à néant (dans le cas d'un point frontière isolé).

Le théorème IT nous apprend, pour p — 2, que les points de F se répartissent sur au plus une énfinité dénombrable de surfaces lipschitziennes (en particulier quarrables) et que ceux où # n'admet pas de plan tangent (ici au sens ordinaire) forment un ensemble tangentiellement exceptionnel pour deux dimensions (en particulier de surface nulle); puis, pour p—1, que ces points (b) et (c) plus précisément se répartissent sur au plus une snfinité dénombrable de courbes lipschitziennes (en particulier rectifiables) et que ceux d’entre eux où L n’admet pas de fangente au sens large (éventuellement accompagnée de demi-plans) forment un ensemble tangentiellement exceptionnel pour une dimension (en particulier de longueur nulle); enfin, pour p — 0, que ces derniers points (c) plus précisément forment un ensemble au plus dénombrable.

Toujours dans l'espace euclidien à trois dimensions, abordons maintenant l'étude d'un ensemble de points E tout à fait arbitraire; et pour mettre en lumière la simplicité des résultats du théorème II, envisageons en même temps un simplexe à trois dimensions (tétraèdre plein en tant que volume, tétraèdre creux en tant que surface latérale). Au point de vue tangentiel, l'ensemble Æ se comporte en gros comme un volume: en un point de sa fermeture, son faisceau dérivé comprend la totalité de l’espace autour du point considéré (points intérieurs du tétraèdre

plein), sauf en des points qui se répartissent sur au plus une infinité dénombrable

26 Frédéric Roger.

de surfaces lipschitziennes (points frontières du tétraèdre plein) En ces points, l'ensemble Æ se comporte en gros comme un volume sur une surface frontière régulière où comme une swrface réqulière!: son faisceau dérivé comprend un plan comme partie bilatérale et un demr-espace limité à lui (points intérieurs des faces du tétraèdre plein) ou rien en dehors de Jui (points intérieurs des faces du tétraèdre creux), sauf en des points qui forment un ensemble tangentiellement exceptionnel pour deux dimensions, en particulier dont la surface est unique et nulle (points des arêtes du tétraèdre plein ou creux). Dans le second cas seule: ment, en tant que totalité du faisceau dérivé, le plan mis en évidence est le plan tangent au sens ordinaire; mais dans les deux cas, en tant que partie bilatérale du faisceau dérivé, il peut être considéré comme le plan tangent au sens élarge où tout plan à distance 7 d'un point O »touche» la sphère de centre O et de rayon r qu'elle soit pleine ou creuse. Un tel contact avec l'ensemble du plan tangent au sens large est rompu par tout pivotement du plan.

Quant à l’ensemble exceptionnel, s'il renferme l'ensemble des points de la fermeture de Æ en chacun desquels on peut mener un plan qui soit étranger à la partie bilatérale du faisceau dérivé, contrairement à l'exemple de la frontière F' (et du tétraèdre plein ou creux), il ne coïncide généralement pas avec lui. On sait en effet construire, à la suite de M. Denjoy (exemple II, p. 171 du Mémoire cité sur les nombres dérivés), une fonction continue y = f(x) qui admet, sur un ensemble parfait de valeurs de x (nécessairement de mesure nulle), + « pour nombre dérivé supérieur droit et o pour chacun des trois autres nombres dérivés extrêmes. Le cylindre de génératrices parallèles à Oz ayant pour drectrice la courbe d'équations y = f(x), z: — o admet alors dans son ensemble tangentiellement exceptionnel pour deux dimensions une infinité non dénombrable de génératrices. Or, si l'on sait d'un premier système de courbes rectifiables deux à deux disjointes que tous les points se répartissent sur un second système de courbes rectifiables, celui-ci au plus dénombrable, toute courbe du premier système est telle qu'au moins une courbe du second ait avec elle une intersection de longueur positive; et comme sur une courbe rectifiable, des ensembles deux à deux dis- Joints de longueur positive sont au plus en infinité dénombrable (car sur tout arc de longueur finie /, il y en a au plus N de longueur au moins égale à //N), les points M de la

le premier système est aussi au plus dénombrable. Ainsi

Par surface régulière», j'entends une surface ayant un plan tangent au point considéré. Au contraire, du point de vue tangentiel où nous nous sommes placés, le cylindre ayant pour section droite la courbe de Péano qui remplit un carré, se comporte en gros comme un volume.

fermeture de Æ en chacun desquels on peut mener un plan dont aucune droite passant par M n'appartienne, par chacune de ses deux demi-droites, au faisceau dérivé de Æ en M, points qui se répartissent sur au plus une infinité dénombrable de courbes lipschitziennes, et par suite rectifiables, ne forment en général qu'une Jaible partie de l'ensemble tangentiellement exceptionnel pour deux dimensions.

Il est néanmoins intéressant de savoir qu'en ces points l’ensemble Æ se comporte en gros Comme un faisceau de volumes ou de surfaces sur une courbe frontière régulière, où simplement comme une cowrbe régulière}: son faisceau dérivé comprend une droite comme partie bilatérale et un système de demi-plans l'admettant pour pivot, dont aucun couple ne forme de plan (points intérieurs des arêtes du tétraèdre plein ou creux) ou ren en dehors d'elle (points intérieurs d'une arête considérée en elle-même), sauf en des points qui forment un ensemble tangentiellement exceptionnel pour une dimension, en particulier dont la longueur est unique et wulle (sommets du tétraèdre plein ou creux, ou de l'arête). Ici encore dans le second cas seulement, en tant que totalité du faisceau dérivé, la droite mise en évidence est la fangente au sens ordinaire; mais dans les deux cas, en tant que partie bilatérale du faisceau dérivé, elle peut être considérée comme la tangente au sens élargi de droite unique ayant avec l’ensemble un contact bilatéral. Ce contact bilatéral de la fangente au sens large est rompu par tout pivotement de la droite.

Enfin les points de la fermeture de Æ où le faisceau dérivé de cet ensemble n'a pas de partie bilatérale forment un ensemble au plus dénombrable. Toutefois, contrairement à l'exemple de la frontière F' (et du tétraèdre plein ou creux, ou de l’arête), ce n'est en général qu'une faible partie de l'ensemble tangentiellement exceptionnel pour une dimension, comme le montre l'exemple de la courbe d'équation y— f(x) précédemment considérée, pour laquelle ce dernier ensemble contient un ensemble parfait.

Les points où l'ensemble Æ£ admet un plan tangent au sens large qui passe par un point fixe forment ce que l’on peut appeler le contour apparent à partir du point fixe, dans l’espace, de l'ensemble Æ. D'après le théorème III, c’est un ensemble projectivement rare pour deux dimensions à partir du point fixe: en particulier le contour apparent en projection est de surface nulle... De même, les points où Æ admet une tangente au sens large qui passe par un pornt fixe forment

un ensemble projectivement rare pour une dimension à partir du point fixe, dont

l Jci encore une courbe est »régulière” quand elle admet une tangente. On peut former des courbes irrégulières dont le comportement tangentiel est en gros celui d’un volume.

28 Frédéric Roger.

en particulier la projection à partir de ce point sur tout plan ne le contenant pas est de longueur unique et nulle.

Mais il convient de se garder d'une généralisation hâtive au cas où la projection serait faite, non d'un point sur un plan, mais d'une droite sur une droite, comme le montre l'exemple d’une sw:face dont le plan tangent est parallèle à æOy en des points dont la cote z peut acquérir toute valeur: non seulement l’ensemble des projections sur Oz n'est pas de longueur nulle, mais c'est même la totalité de Oz. Etant donné sur cet axe un ensemble parfait P de mesure nulle, on sait en effet construire, à la suite de M. Denjoy (exemple I, p. 167 du Mémoire cité sur les nombres dérivés), une fonction continue croissante x — f(2) qui admet pour dérivée + « en chaque point z de P; en ces points, la fonction inverse z= p(x) admet pour dérivée o. Et la surface de translation d'équation 2— px) + w(y), où y(y) désigne une fonction analogue à @(x) mais relative à un autre ensemble parfait Q de mesure nulle de 02, admet un plan tangent parallèle à x 0 y en tout point pour lequel p(x) appartient à P et w(y) à Q. Or il est bien facile de construire sur O2 deux ensembles parfaits P et Q de mesure nulle tels que la somme d'une valeur de P et d'une valeur de Q décrive la totalité de Oz. Il suffit par exemple, dans le segment (o, 1) puis ailleurs par translations entières, de prendre pour P l'ensemble parfait discontinu de Cantor obtenu en retranchant indéfiniment le tiers médian des intervalles que l'on rencontre, et pour Q l’ensemble analogue mais où l'on retranche le tiers supérieur, puisque tout développement dans le système de base 1/3 est la somme de deux autres qui ne renferment, le premier que des o et 2, le second que des © et 1.

Section 2: Propriétés différentielles des fonctions.

Etant donnée une fonction réelle tout à Jait arbitraire (même multiforme) d'une ou plusieurs variables réelles, les propriétés tangentielles de l’ensemble représentatif dans un espace cartésien à une dimension de plus qu'il ny a de variables, entraînent pour la fonction des propriétés différentielles du premier ordre. Je préfère garder aux énoncés leur forme géométrique, non sans faire toutefois cette remarque qu’en un point de discontinuité, les valeurs de la fonction qui ne tendent pas vers la valeur au point considéré, donnent naissance, quand le point variable tend vers ce point, à des demi-droites limites parallèles à l'axe sur lequel sont portées les valeurs de la fonction, qui n'appartiennent pas au faisceau dérivé de l’ensemble représentatif.

Dans le cas au contraire d'une fonction complexe de variable complexe Z= f(z), entendue comme la combinaison Z = X (x, y) + à Y (x, y) de deux fonctions réelles arbitraires, uniformes pour simplifier le langage dans un certain domaine D; des deux variables réelles composantes de la variable complexe 2 = x +47, la traduction d’ailleurs fort simple me semble intéressante à faire. En un point z

ER D: Gi 7 DD de 1), les limites d pport —— — = - ’ACCTOISS É joitesequ rapport be de l'accroissement de la fonc

tion à celui de la variable quand ce dernier tend indifféremment vers zéro forment

un ensemble fermé. Lorsque cet ensemble n'est pas la totalité du plan complexe, on peut trouver une valeur étrangère « + 78. Et dans l’espace cartésien à quatre dimensions {x, y, X, Y|, l'ensemble représentatif de la fonction Z = f(e) admet au point correspondant WM(x, y, X, Y) un faisceau dérivé étranger à la variété

T4 « 4 linéaire à deux dimensions dont les équations (réelles) expriment or un nie

(x —x)+a(y"- y) —ma+28. Dès lors en un tel point, sauf en ceux d'un ensemble de surface nulle dans l'espace, donc a fortiori en projection sur le plan [2], ce faisceau dérivé se réduit à une variété linéaire à deux dimensions. Si de ses équations, on ne pouvait tirer X°— X et Y’— Y en fonction de x —x et y — y, c'est qu'existerait au moins une combinaison linéaire ne renfermant que x — x et y — y; Mais alors, pour toute direction du plan || n'annulant pas cette combinaison, l’un au moins des rapports ax ou LS tendrait vers l'infini avec Es et dans

1% pi fe À 2

l'espace cartésien à trois dimensions {x, y, U|, l'ensemble représentatif de la fonc-

tion X(x,y) ou Y(x, y) correspondante admettrait un plan tancent parallèle à » Y | Ï 8 (

l'axe des valeurs U— X ou Ÿ, ce qui ne peut avoir lieu qu'en des points du

plan [2] formant un ensemble de surface nulle. Par suite en un point non excep-

tionnel, chacune des deux fonctions X (x, y) et Y (x, y) admet une différentielle totale.

Théorème. — Ætaunt donnée une fonction complexe d'une variable complexe, supposée seulement uniforme dans un certain domaine du plan complexe, en chaque pornt de ce domaine, sauf en ceux d'un ensemble de surface nulle, où le rapport de l'accroissement de la fonction à celui de la variable n'a pas pour limite toutes les valeurs complexes quand ce dernier accroissement tend indifféremment vers zéro, ce rapport admet, dans chaque direction autour du point, une limite unique fonction homo-

graphique de la pente de la direction.

? Autrement dit, entre la totalité du plan complexe et une circonférence de cercle (éventuellement réduite à un point) il ne peut y avoir d'intermédiaire pour l'ensemble figuratif des limites

30 Frédéric Roger.

Au voisinage d'un tel point, la transformation 7 — f(z) fait correspondre à des cercles infiniment petits du plan [2] centrés en ce point, non des cercles du plan [Z] comme le ferait une fonction dérivable, mais des ellipses. Et si, outre le fait de ne pas avoir pour limites toutes les valeurs complexes, on impose au rapport des accroissements d’avoir la même limite dans deux directions. différentes (non nécessairement rectangulaires), on obtient wne condition nécessaire et

suffisante d'existence, à une surface nulle près, de la dérivée de la fonction.

Section 3: Limites d’une fonction en un point.

Jusqu'ici, dans l'espace euclidien [Æ] à # dimensions, les ensembles Æ de points ont été pris éndéviduellement. Considérons maintenant une famulle de tels ensembles dont le paramètre soit élément d'un espace [E] assujetti à la seule condition qu'il y existe un système dénombrable de voisinages x tels que tout élément M de [E] appartienne à l’un au moins d’entre eux et que tout élément M de [CE] appartenant à deux d’entre eux appartienne à un troisième entièrement contenu dans l'intersection des deux premiers. En prenant pour »ensembles

ouverts» de [Œ] toutes les réunions de voisinages V;, ces ensembles vérifient:

I. — Toute réunion d’'ensembles ouverts est un ensemble ouvert;

II. — L'intersection de deux ensembles ouverts est un ensemble ouvert;

et définissent la topologie de [E].! En particulier, étant donné un ensemble 6 d'éléments de [&], M en est élément d'accumulation si tout ensemble ouvert contenant NE contient au moins un élément de [6] différent de NW; et il suffit qu'il en soit ainsi des voisinages Ÿ4. Pareillement, au moyen des ensembles ouverts, et même des voisinages, on définit l'intérieur, l'extérieur et la frontière de l'ensemble G.

Inversement tout espace topologique (c'est-à-dire où est définie une famille d'ensembles dits ouverts) satisfaisant aux axiomes I (de M. Sierpinski) et IT ainsi qu'au deuxième axiome de dénombrabilité D, de M. Hausdorff (ce que M. Fréchet exprime en disant que l'espace est parfaitement séparable et qui postule l'existence d'un système dénombrable de voisinages définissant la même topologie que la famille des ensembles ouverts) est un espace [6]. En particulier il en est

ainsi de tout espace métrisable (c'est-à-dire où l’on peut introduire une destance)

du rapport des deux accroissements qu'en des points 2 du domaine dont l'ensemble est de swrface nulle.

! Cf. R. DE Posser, Æspaces topologiques, Séminaire de Mathématiques de M. Julia, 3, 1935— 1936, A.

et contenant un ensemble dénombrable partout dense d'éléments (espace (D) séparable de M. Fréchet). C’est dire qu'en dehors de l'espace euclidien [Æ] (où l'on peut prendre pour voisinages Ÿz les sphères S; du début), les champs fonctionnels les plus importants, comme l'espace des polynomes, l'espace des fonctions entières complexes, l'espace des fonctions continues, l'espace des fonctions dont la dérivée pi%e est continue, l'espace des fonctions de carré sommable (applicable sur l'espace de Hilbert), l'espace des fonctions mesurables, l'espace des courbes continues, l'espace des surfaces continues, l'espace des séries absolument convergentes, l'espace des séries convergentes, etc. ...! sont autant d'espaces [GC] dans lesquels on peut prendre le paramètre MW fixant dans la famille l'ensemble Æ.

De même qu'à cet élément M correspond un ensemble Æ de la famille, de même inversement, à chaque point M de l'un des Æ, on peut faire correspondre l'ensemble © des paramètres I des ensembles Æ contenant M, C'est, en un sens élargi, une »fonction» S(M) dont l'argument est un point HW de l'espace euclidien LE], l'être fonction étant un ensemble © d'éléments de l'espace topologique [E|. Dès lors famille d'ensembles euclidiens de points dont le paramètre décrit un espace topologique et »fonction de point», appartenant à cet espace, sont deux manières d'envisager une même correspondance entre points de l'espace euclidien et éléments de l’espace topologique. Partant de couples ainsi formés d'un point M et d'un élément MW, je définirai les couples limites (M,, M,) comme tels que toute sphère S; contenant M, et tout voisinage %z; contenant MW, contiennent respectivement le point et l'élément d'un couple (W, M). Afin de pouvoir considérer les M, correspondant à un même M, comme les »/imites» de la fonction S(M) quand I tend vers M,, je n'imposerai pas à W d'être différent de MW, quitte à faire rentrer dans ces limites, n’imposant pas à M, par symétrie, d'être différent de M,, les valeurs S(ML,) et leurs éléments d'accumulation au sens de la topologie de [E]. Inversement les M, correspondant à un même WW, sont les points communs, pour toutes les valeurs #” de l'indice # telles que Yy contienne M, aux fermetures des réunions Æy des ensembles Æ dont le paramètre W appartient à Wy. Et le faisceau commun aux faisceaux dérivés en un tel point M, de ces ensembles Æy se présente comme le faisceau des demi-droites de [E| issues de M, tangentiellement auxquelles en M, la limite MW, est atteinte par S(M), faisceau que nous désignerons par ®;(M,, M).

Dans cette étude de la manière dont F(M) atteint en M, ses limites, iln y

a pas lieu de restreindre la définition de la fonction à un ensemble Æ de [Æ]

1 Cf. M. FrÉcHET, Les espaces abstraits, Collection de M. Borel, Paris, Gauthier-Villars, 1928. 5—37534. Acta mathematica. 69. Imprimé le 14 décembre 1937.

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car il révient au même de dire que # n'existe pas hors de Æ ou de dire que c'est un élément M étranger à [EC], qu'on adjoint à titre d'élément n'appartenant qu'au voisinage X* formé de lui seul, de manière à constituer un espace [(C*] où il reste isolé. En particulier, revenant à un seul ensemble Æ de [Æ], on peut envisager la propriété M — SM) d'appartenir à E: la considération de M et M revient à celle de la fonction caractéristique @(M) égale à 1 sur E, à o en dehors; et le faisceau @x(W, M) ou D, (M, 1) n'est autre alors que le faisceau dérivé D (M).

Montrons que le faisceau ®;(M,) ne peut être étranger à un faisceau fermé ®O(M) de demi-droites issues de M, sans qu'il en soit ainsi de l’un au moins des faisceaux dérivés x, (M) tels que x contienne M. C’est là une extension d'un résultat classique sur les ensembles fermés emboîtés! au cas de semr-emboîtement qu'entraine la propriété des voisinages %. La démonstration en est analogue. Supposons que @(M) contienne des rayons de chaque @,, (M). Ayant partagé D(M) en deux parties, on reconnaît que l’une au moins d’entre elles jouit de la même propriété; car on pourrait sinon trouver deux indices 2 et #, tels que l’une des parties soit étrangère à Dry (M) et l'autre à ®z, (M); VW, et Vy, ayant en commun Wt auraient en commun VW, contenant M; Ey, et Ex, contiendraient Ey,; Dr, (M) et Dry, (M) contiendraient Dry (M) qui n'aurait

alors de rayon dans aucune des deux parties de D(M), contrairement à l'hypothèse. Cette dichotomie peut être répétée de manière que les parties de D(M) contenant des

rayons de chaque ®%5,, (M) s'emboîtent et ne possèdent qu'une demi-droite limite, laquelle appartient à ®(M) et à tous les ®y,(M) puisque ces faisceaux sont fermés.

Supposons alors qu'en un point M, pour au moins une limite W de à en M, on puisse mener une variété linéaire L(M) à n — p dimensions qui soit étrangère à la partie bilatérale du faisceau ®;(W, M). De ce que la partie bilatérale d'un faisceau est l'intersection de ce faisceau et de son opposé résulte, grâce au théorème précédent sur les faisceaux fermés semi-emboîtés, qu'on peut trouver un indice À, tel que Ÿy contienne W (par suite Æ4, contienne M) et L(M) soit étrangère à la partie bilatérale du faisceau dérivé Dry (M). Dès lors d'après le théorème II, les points tels que M se répartissent sur au plus une infinité dénombrable ae Rares Rpnhtasnnee à p dimensions et, sauf en . points M dont

! Cf. RENÉ BAIRE, Leçons sur les fonctions PRE Collection de M. Borel, Paris, Ganthier- Villars, 1905, p. 64.

l'ensemble est tangentiellement exceptionnel pour p dimensions, la partie bilatérale de D;(M, M) se réduit comme celle de Dry, (M) à une variété linéaire T (M) à p dimensions. De plus, quand une demi-droite J 4 est étrangère à ®;(M, Ye), on peut trouver un indice #, tel que Ÿ4, contienne I et M 4 soit étrangère à Dr, (M) done à Or, (M) pour %, contenant M et contenu dans %, ! We: et comme la partie bilatérale de ®7, (M), contenant celle de D;(W, M) et contenu dans celle de ®y, (M), coïncide ainsi qu'elles deux avec T(M), toute la demivariété linéaire ouverte O(M) à p + 1 dimensions limitée à T(M) et contenant MA est étrangère à ®z, (M) donc à ®;(M, M). Enfin en même temps que la partie bilatérale de ŒOx(WM, M) se réduit à une variété linéaire à p dimensions qui passe par un point fixe, elle coïncide, en un point HW non exeptionnel, avec la variété linéaire à p dimensions tangente au sens large à un certain ensemble Ex, ŒEn sorte que le faisceau des denu-droites tangentiellement auxquelles en un point, une fonction à atteint l’une de ses limites, jouit exactement des mêmes propriétés que le faisceau dérivé d'un ensemble en un point.

Mais il y a plus. Supposons qu'en un point MW, pour deux limites I, et M, de % en M, on puisse mener deux variétés linéaires L;(M) et L,(M), d'un même nombre # —yp de dimensions, qui soient respectivement étrangères aux parties bilatérales des faisceaux ®;(M, M) et ®D3(M, M.) Ces points M se répartissent sur au plus une infinité dénombrable d'ensembles Æ, caractérisés chacun par deux indices #, et #, tels que V4, contienne W, (par suite Er, contienne M) et ZL,(M) soit étrangère à la partie bilatérale de ®r, (M), V4, contienne M, (par suite Ex, contienne M) et L,(M) soit étrangère à la partie bilatérale de y, (M). Sauf en des points I dont l'ensemble est tangentiellement exceptionnel pour » dimensions, chacun des trois ensembles Z4,, Ex, E, (inclus dans Er, /\ Ex) admet une variété linéaire à p dimensions tangente au sens large, la même pour les trois ensembles puisque la dernière doit être contenue dans chacune des deux premières. D'où résulte que la variéte linéaire à p dimensions à aquelle se réduit la partie bilatérale du faisceau Dÿ(M, M) est la même, en un point M non exceptionnel, pour toutes les limites M de 3 en M qui donnent lieu à

une telle réduction.

Théorème IV.! — tant donnée une fonction S (M), définie en tout point M de

1 Observons que le théorème IV, obtenu à partir des théorèmes IT et IIT, les englobe: nous avons déjà remarqué, en effet, qu'en un point M les demi-droites tangentiellement à chacune desquelles la fonction carctéristique @(M) d'un ensemble Æ (égale à 1 sur Æ, à o en dehors) atteint la limite 1, ne sont autres que les rayons d'accumulation de Æ en M.

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l'espace euclidien à n dimensions comme un ensemble arbitraire d'éléments d’un espace topologique vérifiant les axiomes I-II-D,, les points M en chacun desquels. pour au moins une limite de 3 en M, on peut mener une variété linéaire à n —p dimensions dont aucune droite passant par M ne permette à % d'atteindre cette limite en M tangentiellement à chacune de ses deux demi-droites, se répartissent sur au plus une infinité dénombrable de variétés lipschitziennes à p dimensions (en particulier de mesure p-dimensionnelle unique et finie).

En chacun de ces points M, sauf en ceux d’un ensemble tangentiellement eXCephonnel pour p dimensions” (en particulier de mesure p-dimensionnelle unique et nulle), pour. toutes les limites de 3 en M à chacune desquelles on peut ainsi associer une . variété linéaire à n — p dimensions, il existe une même variété linéaire à p dimensions, faisceau des droites tangentiellement à chaque demi-droite desquelles en M la Jonction à atteint l'une quelconque de ces limites; et s'il existe en dehors une demidroite tangentiellement à laquelle en M % atteint l'une au moins de ces limites, à atteint aussi cette limite tangentiellement à chaque demi-droite de la demi-variété linéaire à p + 1 dimensions contenant la première demi-droite et limitée à la variété linéaire remarquable à p dimensions, et ne l'atteint tangentiellement à aucune demidroite de la demi-variété linéaire (ouverte) opposée.

Les points M où la variété linéaire remarquable à p dimensions passe par un point jice, forment un ensemble projectivement rare pour p dimensions à partir du point fixe” (en particulier dont la projection à partir du point fixe sur toute variété linéaire à n—1 dimensions ne le contenant pas est de mesure p-dimensionnelle unique et nulle).

Illustrons ceci d'un exemple dans le cas où » — 2: M étant un point d'un plan [P], prenons successivement pour $(H) un point d’une droite [D], un point d'un plan [$}, un point de l'espace de Hilbert [$]. Ce qui correspond respectivement à une fonction réelle de deux variables réelles, à une Jonction complexe d'une variable complexe, À une fonction de carré sommable dont il ny à pas lieu de préciser par rapport à quelles variables ni dans quel champ on intègre mais que l'on considère comme un être (défini dans ce champ à un ensemble de mesure nulle près) dépendant de deux paramètres réels (les coordonnées de M dans [P)). En un point M, de [P|, on sait déterminer les limites de 8 (M) quand M tend

* Réunion d'au plus une infinité dénombrable d'ensembles où une variété lipschitzienne à p dimensions n’admet pas de variété linéaire à p dimensions tangente au sens strict.

* Réunion d'au plus une infinité dénombrable d'ensembles où une variété lipschitzienne à y dimensions n'admet pas de variété linéaire à P dimensions tangente au sens strict où en admet une qui passe par le point fixe.

vers M,, qu'il s'agisse de lémites réelles, de limites complexes où de limites fortes dans l'espace de Hilbert; puis, pour chacune de ces limites, les demi-droites M, 4 de |P| tangentiellement à chacune desquelles on peut trouver une succession de points JZ qui tendent vers 31, et sur lesquels 3 (11) atteint en M, cette limite.

Sur la manière dont une telle fonction 3 (qui n’est supposée uniforme que pour simplifier le langage) atteint en un point M ses limites, voici ce que nous apprend le théorème IV:

1°) Les points M du plan |P}] en chacun desquels l’une au moins des limites n'est pas atteinte par 3 en A] tangentiellement à chacune des demi-droites de LP] issues de 37, se répartissent sur au plus une énfinité dénombrable de courbes lipschitziennes (en particulier rectifiables). :

2°) En chacun de ces points M, sauf en ceux d’un ensemble tangentiellement exceptionnel pour une dimension (en particulier dont la longueur est unique et nulle), il existe une droite remarquable D, la seule tangentiellement à laquelle en M des deux côtés % atteint chacune de ses limites.

3°) De plus, dès qu'une limite est atteinte par 3 en M tangentiellement à une demi-droite hors de 1), elle l’est aussi tangentiellement à chaque demi-droite du demi-plan limité à D où se trouve la première et ne l’est tangentiellement à aucune demi-droite du demi-plan (ouvert) opposé.

4°) Les points I où la droite remarquable D passe par un poënt fixe, forment un ensemble projectivement rare pour une dimension à partir du point fixe (en particulier dont la projection à partir du point fixe sur toute droite de [P] ne le contenant pas est de mesure nulle).

5°) Les points M du plan [P] en chacun desquels l’une au moins des limites de % (ou la valeur 3(M) elle-même) ne peut être atteinte en NM tangentiellement à aucune droite des deux côtés, forment un ensemble au plus dénombrable.

En particulier si l’on prend pour fonction $(M) la fonction caractéristique de la courbe C' qui représente dans le plan {[P] la fonction continue y — f(x) et si l'on porte l'attention sur la limite 1 de 3 en XZ, le point fixe étant pris à l'infini dans la direction de Oy, on retrouve le théorème de M. Denjoy sous la

forme géométrique rappelée au début.