CHAPITRE II

Caractère linéaire du faisceau dérivé.

Section 1: Variété linéaire tangente au sens strict.

Poursuivons, dans l'espace euclidien [E] à n dimensions, l'étude des points M de la fermeture d'un ensemble Æ en chacun desquels on peut mener une variété linéaire L(M) à n —p dimensions qui soit éhrangère à la partie bilatérale du faisceau dérivé ®;(M). D'après le théorème I, ces points 7 se répartissent sur au plus une infinité dénombrable d'ensembles fermés Æ, tels qu'en chacun

de ces points qui appartiennent à F5, le faisceau dérivé Dr, (M) soit en entier

étranger à L(M). Aussi est-ce par l'examen du cas partiéulier où L(M) est étranger à la totalité de ®x(M) que nous allons aborder l'étude du cas général. À cet effet, prenant L(M) en quelque sorte pour pivot, cherchons la distribution des rayons de ®g(W) dans chaque variété linéaire L*(M) passant par L(M) et d'une dimension de plus. D'après le théorème IT (ri partie), les points M où une L*(M) ne contient pas au moins une droite passant par M qui appartienne à ®r(M), se répartissent sur au plus une infinité dénombrable de variétés lipschitziennes à p—1 dimensions; et la rareté des points D où une L* (M) contient d'autres rayons de ®;(M) que deux rayons en prolongation l'un de l’autre

résulte du lemme suivant:

Lemme 1. — Æiant donné un ensemble E de points dans l'espace euclidien à n dimensions, les points M en chacun desquels on peut mener une variété linéaire L(M) à n—p dimensions qui soit étrangère au faisceau dérivé ®x (M ) et une demivariété linéaire A(M) à n — p + 1 dimensions, limitée à L(M), qui contienne deux rayons MA et MA de ®Dz(M), forment un ensemble de mesure p-dimensionnelle unique et nulle.!

En un tel point HW, la distance angulaire de L(M) et @x(M), celle de M 4 et MA sont positives: {ay} désignant une suite qui tend vers zéro, on peut trouver un indice }, tel que «x, soit inférieur à chacune d'elles. Le voisinage angulaire fermé de L(M) d'angle «y, et de sommet M est alors étranger à ®;(M): nous savons trouver un indice % et une combinaison finie (7), tels que S;, contienne M, D1;(M) recouvre ce voisinage angulaire de L(M), et vérifient

(Jo Si A D'15(M) A E—o. Enfin, 0 étant un angle qui ne dépend que de «y, sui- (50 vant une loi ultérieurement précisée, on peut trouver deux indices 7, et 7”, tels

que 15, (M) et Iy,(M), d'ouverture au plus égale à 4, contiennent respectivement MA et MA. D'après les valeurs de ces différents indices, les points M du lemme se répartissent en au plus une infinité dénombrable d'ensembles.

Celui qui correspond aux valeurs précédentes fait partie de l’ensemble E, inclus dans $; et vérifiant en chacun de ses points M (E;, désignant $;, /\ E)

DIM) A E,—0, Si AT; (M) A E<0 pour une infinité de S; contenant M (So

et Si /\ 1;,(M) A E,<0 pour une autre infinité. La première relation, avons-

! Le lecteur est encore prié d'envisager les cas particuliers n = 3, p=2 et nh=3, p=l.

12 Frédéric Roger.

nous vu, définit un ensemble fermé; chacune des deux autres, où l'on fixe la valeur de l'indice #, un ensemble ouvert; donc, pour une infinité de valeurs de ?, une limite complète au sens de M. Borel d'ensembles ouverts. De plus, de chacune des deux dernières relations résulte que tout point M de Æ, est point d'accumulation de Æ;,, eu sorte que la première exige ” T;(M) \ E,=0. M, étant (lo j un point particulier du lemme appartenant à Æ,, DErEUn recouvre le voisinage (3)

d'angle &, de L(M): pour tout point M de E, et tout point N de Æ, ou de Ei, MN fait avec L(M,) un angle supérieur à w. Ainsi l’ensemble du lemme se répartit sur au plus une infinité dénombrable d'ensembles de M. Borel (de classe 2 au plus) situés chacun sur une variété lipschiteienne à p dimensions. D'après ce que nous savons de la mesure p-dimensionnelle de tels ensembles, il suffit alors de démontrer que pour chacun d'eux Æ,, la projection e, faite parallèlement à L(M;) sur une variété linéaire [e orthogonale et complémentaire, est de mesure de MM. Borel et Lebesgue nulle.

Supposant au contraire cette mesure positive, il résulte d'une propriété qui est à la base de l'évaluation des intégrales multiples donnée par M. Lebesgue et étendue par M. Fubini qu'il existe une infinité de droites de le}, parallèles à la demi-droite 0 d’intersection de {el par Æ(M), sur chacune desquelles e, est de mesure lnéaire positive.! Une seule 4 nous suffit Sur tout intervalle de 4 où & est de mesure positive, la théorie de la mesure (ici linéaire) de M. Lebesgue permet d'enfermer le complémentaire de € Sur d dans un système d'intervalles (ouverts) disjoints dont la somme des longeurs soit inférieure à la longueur de l'intervalle initial: les points de d étrangers à chacun des intervalles du système forment un ensemble (linéaire) fermé Jo inclus dans e, et de mesure positive.

Dans un système d'axes rectangulaires dont le premier est pris sur 4 (dans le sens de d) et les p — 1 suivants dans (e), la demi-droite M, 4, qui, appartenant à Dp(M;), fait avec L(M,) un angle supérieur à w, (dont nous pouvons maintenant supprimer l'indice /, sans crainte d'ambiguité) a des cosinus directeurs dat, 2, ..., ») tels que à = am &, ag =, (8 —2, 3, ..., p), la, | < cos « Hp DT 2, un) Ceux a, + « de toute demi-droite de 1, (M) (d'ouver-

n ture au plus 4 et contenant M, 4) vérifient 2° %a (&a + %) > cos 0; d'où, en

? Cf. S. SAKS, Théorie de l'intégrale, Monografje Matematyezne, 2, Warzawa, 1088; pt 78:

Core DE 2 Eds = 7 Dax = Da + ne) = 1, Da < 2(1 — cos 6) = 4 sin a

Saû , et [mel < 2 sin ; En introduisant les paramètres directeurs respectifs 4, et

le + 4 tels que À, — 1 et &, — 0 (auquel cas À — 0, |1,| < cote w), on a

= O e Q Ties

se EU Di:2) 410 un) de DT Ce C7 “ |

OPA

Si done on impose à 4 la première condition sin © — 2 sin - = oO, il vient

Sin © — 2 sin;

(quantité que nous poserons égale à 6).

D'autre part, à deux points m et m’ de f, correspondent dans ÆZ, deux points

Mix) et M'(x':) tels que x, < x’, (quitte à échanger les noms des deux points),

y = %'g —0. Aussi près de M que l’on veut, on peut trouver dans 1;,(M) un

Hornie:

LATE 3 je

c'est-à-dire [ys|< e(y, —x,) et [(y, — x) — d,(y, — x)| < sy, — x). Soit m' le

point My.) de Æ,: en même temps que », < y, <x',, on a DE

point de /, d'abscisse au moins égale à y, et la plus faible possible; il lui correspond dans ÆZ, le point M'(x) tel que y, << x’,, «y —0o. La droite M! N fait avec L(M,) un angle supérieur à «:

D, (a — y) < cotg° w Dies yp}.

Nous pouvons alors évaluer

Gr) 2 ei )|=< [æ 01e. |; NÉE | (y: 2) À (ga — %)|

ë an : pP / < cote © |/ (ri — y} + D,y5 + cote & (ai — y) + e(y — x)

< 81 + Vp— 1 cote w)(y, — æ,) + 2(x! — y,) cotg w.

14 Frédéric Roger.

Par suite, quel que soit le couple mm’ de points de Jo: < x+';), on peut trouver un point m! de f,(x, < x < #’,) qui soit associé à m selon les inégalités

Me ma) tr cl < e(1 + Vp— 1 cote ©) (xt — x) + 2[(xt — æ,) — mes, (x,, xi)] cote w

(y =p+1,p+2,...,n), où mes, (x,, x) désigne la mesure linéaire de la partie de f, située sur l'intervalle mn.

Les points de f, situés sur le segment (fermé) m'm' et associés à » forment un ensemble fermé d’après la continuité des # — y» dernières coordonnées, en fonction de la première, des points de la variété lipschitzienne à p dimensions sur laquelle est situé E,. Si m' n'en faisait pas partie, entre son dermier point m'” (exclu) et #7’ (inclus), on pourrait trouver un point de f, associé à m”, donc

aussi à M» d'après l'additivité des inégalités, contrairement à la définition de »°.

Par suite, quel que soit le couple mm’ de points de f,, pour y —p + 1, p + 2,

, ñ, On à dy — x — us es — À Æ 81 + Vp—1 cotg w) + 2[1 — ep; (x, x’,)l cote w, sl 1

où epz,(x:, &’,), quotient de la mesure de f, sur l'intervalle mm’ par la longueur de cet intervalle, est ce que M. Denjoy appelle l'épaisseur moyenne de l'ensemble f sur l'intervalle mm" (réservant le terme de densité au point de vue topologique de Baïre: ensemble non dense, dense, partout dense sur le continu, sur un ensemble parfait, sur tout ensemble parfait) On définit l'épaisseur en un point comme la limite, quand elle existe, de l'épaisseur moyenne sur un intervalle évanescent contenant ce point.

C’est un théorème fondamental de M. Lebesgue que les points d’un ensemble où l'épaisseur de celui-ci n'est pas 1 forment un ensemble de mesure nulle.’ Comme jf, est de mesure positive, on peut trouver des points où son épaisseur

est 1; donc, quel que soit le choix ultérieur de &, des intervalles #1” où son

/ . . \ . € f ut épaisseur moyenne diffère de 1 de moins de “ (te w +} p—1). Pour un tel

intervalle, on à

TT — ME 2e(r 75 V p — 1 cote &);

? Cf. H. LEBESGUE, Leçons sur l'intégration, Collection de M. Borel, Paris, Gauthier-Villars, 1904, p. 124.

et aussi

commet 1 CU Vp—1 cote w)

car M, 4, et M4’, ainsi que [, (M) et l'y, (M), jouent le même rôle par rapport

à l'ensemble fermé f. Par suite, Pour Y=pD+H+I,pP+2,,...,n,

[2", — 1,|=<4e (x + Cher cotg w).

Or, dans le triangle formé par M, À et M, 4", l'angle en M, étant désigné par V,

DUe-k}= Sur Dii-2V SAV SE cos P:

soit encore

2 VDS (608 PDA A 22 (3-54)

Et comme 2, — 4 hs d'3 :=0;

V n 1 do — >, VMEENALE > 12’, — 2, /?

< 16(n — pe? (1 + Vp — 1 cote w)°:

soit

#1} a p=—— sin ti Vp—1 cote co) V Rp:

Si donc on impose à 4 la nouvelle condition

2 sin £ : WT TVA RTE sin — > 2 - AU V p — 1 cote w)} n — D, SIN © — 2 sin soit

. .. oO Sin © Sin

oi6 sin = es a Es = ROME 2'8ine +4 (1 + Vp — 1 cote w)Vn — p

Hoparr (oui d'ailleurs entraîne la condition déjà rencontrée sin , <,Sinw)}, 1 a

contradiction avec V > «w, ce qui établit le lemme. Dès lors, sauf en des points dont l'ensemble est de mesure p-dimen-

sionnelle unique et nulle, en chaque point M de la fermeture Æ où l’on

3—37534. Acta mathematira. 69. Imprimé le 13 décembre 1937.

16 Frédéric Roger.

peut mener une variété linéaire L(M) à n — p dimensions qui soit étrangère à la totalité du faisceau dérivé @x(M), dans toute variété linéaire L*(M) passant par L(M) et d'une dimension de plus, ®x(M) possède deux rayons et deux seulement qui se prolongent en une droite 7) passant par M. D'où résulte qu'en un point M non exceptionnel, Dr(M) coïncide avec sa partie bilatérale, car tout rayon de Dr(M) définit avec L(M) une L*(M); ensuite que ce faisceau dérivé est une variété linéaire, nécessairement à p dimensions, puisqu'étrangère à L(M) à n —p dimensions et coupée suivant une droite par chaque L*(M). Si Dx(M), en effet, n était pas une variété linéaire, on pourrait trouver deux droites 1), et D, passant par M qui appartiennent à @;(M) et dont la variété linéaire à deux dimensions contienne une droite 1), passant par M étrangère à Dg(M). LD), étrangère à L(M) en tout point M non exceptionnel, définirait avee L(M) une variété linéaire ZL*(M) dont l'intersection avec Dx(M) serait une droite D distincte de J);. La variété linéaire à deux dimensions définie par À) et 1),, done contenue dans L*(M), couperait L(M) suivant une droite D’. Toute variété linéaire L'(M) à n — p dimensions définie par D), et une variété linéaire à #—p—1 dimensions de Z(M) complémentaire de D”, serait étrangère à ®z;(M) puisque contenue dans L*(M) sans contenir D. Et la variété linéaire L*'(M) à n—p+1 dimensions passant par L’(M) et contenant D, contiendrait aussi D, puisque D, est

dans L’(M), contrairement à ce que nous savons des points H/ non exceptionnels.

Théorème II (2° partie, cas particulier). — Etant donné un ensemble de points dans l'espace euclidien à n dimensions, en chaque point de sa fermeture où lon peut mener une variété linéaire à n—p dimensions qui soit étrangère à la totalité du faisceau dérivé de l’ensemble en ce point, ce faisceau dérivé se réduit à une vartété linéaire à p dimensions (la variété linéaire à p dimensions tangente au sens ordinaire), sauf en des points dont l’ensemble est de mesure p-dimensionnelle unique et nulle.

En particulier, les points M d'une variété lipschitzienne à p dimensions où celle-ci n'admet pas une variété lünéaire tangente à p dimensions forment un ensemble de mesure p-dimensionnelle unique et nulle, ce qui justifie la dénomination d'ensemble excephionnel pour p dimensions que nous lui donnerons dans la suite’, plus généralement, que nous donnerons à toute partie de la réunion d'au

plus une infinité dénombrable de tels ensembles.

Entre autre, toute variété lipschitzienne à moins de p dimensions, à titre de variété lipschitzienne à p dimensions particulière n'admettant en aucun point de variété linéaire tangente à p dimensions, sera considérée comme ensemble exceptionnel pour p dimensions.

Section 2: Variété linéaire tangente au sens large.

Etant donné un ensemble Æ de points dans l'espace euclidien à » dimen- Sions, nous savons que les points HW de sa fermeture en chacun desquels on peut mener une variété linéaire L(M) à » — p dimensions qui soit étrangère à la partie bilatérale du faisceau dérivé ®;(M) se répartissent sur au plus une onfinoté dénombrable de variétés hipschitziennes Vy à p dimensions (théorème Il, 1% partie) et que, sauf aux points d'un ensemble exceptionnel pour p dimensions, en chacun de ces points I] qui appartiennent à V4, celle-ci admet une varrété lènéaire tangente T(M) à p dimensions (théorème II, 2% partie, cas particulier). En ces points, la variété linéaire T'(M) étant prise pour pevot, la distribution des rayons de ®(M) dans chaque variété linéaire passant par T'(W)

et d'une dimension de plus résulte du lemme suivant:

Lemme 2. -— Ceux de ces points M en chacun desquels on peut mener une demi-variété linéaire ouverte O(M) à p + 1 demensions, limitée à T(M), qui contoenne deux demi-droites M A4 et M A, la première étrangère, la seconde agrégée au Jaisceau dérivé D(M), forment un ensemble exceptionnel pour p dimensions.

Les points JZ du lemme se répartissent en au plus une infinité dénombrable d'ensembles Æ, caractérisés chacun d’abord par un indice k#, tel que Vx, contienne I] et par deux indices 4, et 7, tels que S;, contienne M, 1; (M) (étranger à T(M) qui ne contient pas M 4) contienne M A, et vérifient S;, /\ I;,(M) \ E=—o. Ti, (M) désignant l'opposé par le sommet de 1:,(M), la réciprocité entre les points de Æ, et ceux de E;,— $;, /\ E entraîne, en tout point N de ce dernier, I} (N) /\ E,=0. N' étant un point de MA’, Ii, (N') découpe dans T (M) un domaine elliptique (E) à p dimensions qui, parallèlement à la variété linéaire Ly, à # — p dimensions avec laquelle toute sécante de V4, fait un angle au moins égal à une certaine valeur «, se projette sur une variété linéaire [e] orthogonale et complémentaire, en un domaine de même nature (e) Ce domaine (e) varie continûment quand on fait pivoter la variété linéaire T(M) autour du point M et quand on fait varier le sommet N du demicône IY(N). Aussi peut-on trouver deux angles & et 7 tels que, pour toute variété linéaire T' à p dimensions faisant avec T(M) un

angle (maximum de la distance angulaire avec T(M) d’une droite de T) moindre

! Le lecteur est toujours prié d'envisager les cas particuliers n = 3, p—2 et n=3, p—1.

18 Frédéric Roger.

elliptiques (e) correspondants aient ex commun une sphère à p dimensions de {el (dont nous désignerons le rayon par 7», et par d, la distance du centre à la projection » de M). Quand N° décrit M A’, auquel cas N appartient au demi-cône de révolution à #7 dimensions de demi-axe HW 4’ et d'ouverture 27,

une homothétie de centre M permet de conserver le rapport {8} étant

une suite qui tend vers zéro, nous ferons encore dépendre l’ensemble E,

d'un indice 4 tel que 8Z06,: enfin d'un indice #’, et d'une combinaison

finie (ÿ) tels que Sr, contienne J, D15(M) recouvre le complémentaire du (5)

voisinage angulaire ouvert de 7'(M) c'est-à-dire de Dr, (M), d'angle &, et de

sommet M, et vérifient Sr, /\ > T;(M) N Vr,=0o. Il résulte alors des conditions (Jo

imposées à Æ, qu'en chacun de ses points M et aussi près de lui que l'on veut, on peut trouver des points N de E auxquels correspondent des sphères de [e] ne contenant aucun point de la projection e& de E,, dont le quotient du rayon r par la distance d du centre à la projection m de. M ne tend pas vers zéro avec d. Et il suffit de démontrer qu'un tel ensemble Æ, est un ensemble exceptionnel pour » dimensions.

En effet, prenons un système d'axes rectangulaires dont les p premiers appartiennent à [e] et faisons correspondre à tout point Mr: «a — 1, 2, .. ne) de la variété lipschitzienne V4, (dont nous pouvons maintenant supprimer l'indice 4), un point N{y) tel que ye = te (& —1,2,....n — 1), Yn = An + @ cote 0 où © désigne la distance (qui peut être nulle) de la projection # de M à l'ensemble €. A deux points W{x.) et M'(x,) de V, qui par suite vérifient

où à désigne la distance »1m", correspondent les points N{y) et N’ (y'«) tels que , is A , / L4 L Ya Ya = La — Lay Yn —Yn = En — Xn + (0 — 0) cotg 6.

Or la définition de la distance d'un point à un ensemble exige 0 <= 0 +6, 9 <d+e D'où |y»—y|< 0 cotg © + 8 cote 0: et

Les propriétés tangentielles des ensembles euclidiens de points. 19 D, (gi — y) < 9 cotg* w + 0° (cote w + cotg 6)? p = cote” w + (cote w + cote 4] D (y'3 — ya).

Aïnsi la fonction géométrique N — g(m), partout définie sur {e}, vérifie une condition de Lipschitz: N décrit une varsété lipschitzienne W à p dimensions. $i £,, qui appartient à W et W, n'était pas exceptionnel pour p dimensions, il contiendrait des points M] en chacun desquels V et W admettraient chacune une variété linéaire tangente à p dimensions, nécessairement confondues car le faisceau dérivé ®x,(M) qui appartient à chacune d'elles ne peut être enfermé, en un point M non exceptionnel, dans une variété linéaire à moins de p dimensions (théorème IT, 1° partie). Mais cela n'est pas possible car au centre »’ d’une sphère de {[e) vide de points de e,, se projettent M' et N° tels que M’ N'Z; cotg 6; en sorte que, aussi près de 7 que l'on veut et pour une direction M’ N° ortho-

vonale à [e] dont la limite, par conséquent, n’est pas tangente en M à VW ni W, FT! N!

il existe des couples H'N’ tels que ps ne tende pas vers zéro avec mm'—d. mm

De ce lemme résulte que, sauf en des points dont l’ensemble est exceptionnel pour p dimensions, en chaque point M de Æ où l'on peut mener une variété linéaire L(M) à n—p dimensions qui soit étrangère à la partie bilatérale du faisceau dérivé ®r(M), celle-ci coïncide avec la variété linéaire T' (M) à p dimensions; car, s'il existait une droite passant par M qui appartienne à cette partie bilatérale sans appartenir à T'(M), la variété linéaire à p + 1 dimensions qu'elle déterminerait avec T(M) appartiendrait en entier à ®x(M) donc à sa partie bilatérale qui ne pourrait être étrangère à L(M); et s'il existait une droite passant par M qui appartienne à 7'(W) sans appartenir à la partie bilatérale, contenue dans T'(M), de ®x(M), la variété linéaire à n — p + 1 dimensions qu'elle déterminerait avec L(M) serait étrangère à cette partie bilatérale, ce qui ne peut avoir lieu (théorème II, 1** partie) qu'aux points W d'au plus une infinité dénombrable de variétés lipschitziennes à p — 1 dimensions. Ainsi, en un tel point M non exceptionnel, le faisceau des droites qui sont bilatéralement rayons d'accumulation de l'ensemble E en M est une variété linéaire T(M) à p dimensions; de plus, s’il existe en dehors de Z'(M) des rayons d'accumulation de Æ en M, ils se répartissent en demi-variétés linéaires O(M) à p + 1 dimensions limitées à T(M);:

ce qui conduit à appeler ensembles tangentiellement exceptionnels pour p dimensions,

20 Frédéric Roger.

les ensembles jusqu'ici qualifiés simplement d'exceptionnels. Dans le seul cas où T'(M) est la totalité du faisceau dérivé, c'est la variété linéaire à p dimensions tangente au sens ordinaire; mais dans tous les cas où T'(M) est la partie bilatérale du faisceau dérivé, elle peut être considérée comme la variété linéaire à p dimensions tangente en un sens élargi. Un tel contact avec l'ensemble de la variété linéaire à p dimensions tangente au sens large est rompu par tout pivotement

de la variété linéaire.

Théorème II (énoncé général). — Etant donné un ensemble de points dans l’espace euclidien à n dimensions, les points de sa fermeture en chacun desquels on peut mener une variété linéaire à n — p dimensions qui soit étrangère à la partie bilatérale du faisceau dérivé de l'ensemble en ce point, se répartissent sur au plus une nfinité dénombrable de variétés lipschitziennes à p dimensions (en particulier de mesure p-dimensionnelle unique et finie).

En chacun de ces points, sauf en ceux d’un ensemble tangentiellement excephionnel pour p dimensions! (en particulier de mesure p-dimensionnelle unique et nulle), la partie bilatérale du faisceau dérivé de l’ensemble se réduit à une variété linéaire à p dimensions (la variété linéaire à p dimensions tangente au sens large) en dehors de laquelle éventuellement le faisceau dérivé en entier se compose d’un système de demi-variétés linéaires à p + 1 dimensions hmitées à elle, dont aucun couple ne forme de variété linéaire complète.

Section 3: Variétés linéaires tangentes passant par un point fixe.

Toujours dans l'espace euclidien [Æ] à » dimensions, proposons-nous d'étudier comment se projettent, à partir d'un point fixe O, sur une variété linéaire Le] à n—1 dimensions ne contenant pas O, les points M où un ensemble E de points admet une variété linéaire à p dimensions tangente au sens large T(M) qui passe par le point fixe O. D'après le théorème IT, ces points M se répartissent sur au plus une infinité dénombrable de variétés lipschitziennes V, à p dimensions et, sauf aux points d'un ensemble tangentiellement exceptionnel pour » dimensions, en un tel point M appartenant à V4, le faisceau dérivé Dy,(M) coïncide avec T(M). Ce qui ramène, ici encore, le problème général au même problème pour

les seules variétés lipschitziennes à p dimensions. Grâce à une transformation

Réunion d'au plus une infinité dénombrable d'ensembles où une variété lipschitzienne à p dimensions n'admet pas de variété linéaire à p dimensions tangente au sens strict.

homographique (qui manifestement transforme le faisceau dérivé d’un ensemble en celui de l’ensemble transformé) conservant [e] et transformant O dans le point à l'infini de la direction D orthogonale à le}, il est permis de se placer dans ce dernier cas où le langage est plus commode.

Les points M d'une variété lipschitzienne W à p dimensions où celle-ci admet une variété linéaire à » dimensions tangente au sens strict T'(M) qui soit parallèle à D, se répartissent en au plus une infinité dénombrable d'ensembles £, caractérisés chacun par un indice ?, tel que $;, contienne M et (m désignant la projection orthogonale de M sur {e), t(m) la trace de T'(M) dans [e) et y;(m) les demi-cônes de révolution à » — 1 dimensions de {e] d’une famille analogue à celle des 1;(M) dans l'espace euclidien [Æ]) une combinaison finie (7), telle que

> im) recouvre £(m), les y;(m) étant d'ouverture au plus égale à un angle aigu (Po

un système d’axes rectangulaires d'origine ”%,, dont le dernier soit parallèle à 2) (auquel cas les 7 —1 premiers sont dans (el), les p — 1 précédents étant dans (mo). En un point Mix; a —1,2,...,n) de E,, t(m) faisant avec t(m,) un angle moindre que «© et. T(M) étant parallèle à D, T(M) c'est à dire Dr(M)

est étranger à la région angulaire fermée définie par

n—1 NP >, (Xy — xy) € cotg* w 2% B—-æ6) y'=n—p+1

EX = Æn)e Æ cotg” € » (Xe CE 0e

quelque faible que soit .!

Il en résulte qu'en ce point Mix), à tout angle aigu & on peut faire correspondre une distance r (fonction non décroissante de &) telle que, pour aucun

point M'(x') de V, on n'ait simultanément

mn n—1 M0 2 (t'a — La) < 1”, 2 (x'y — x7) < cote” w 2, (2/8 —%8), a—1 =N—p+1 B=1 n—1 (t'a — an)? < cote? e SE da œ—1

1 Le lecteur est prié de faire des figures dans les cas particuliers n = 3, p —2 ou I et de suivre sur ces figures les raisonnements ultérieurs.

29 ; Frédéric Roger.

&, étant choisi une fois pour toutes (var exemple 6, — !) et {rx} désignant une

suite qui tend en décroissant vers zéro, Æ, se présente comme la limite pour # infini d’ensembles non décroissants en chaque point Mix) de l'un desquels r(e) rx Puis, & inférieur à &, ayant une valeur ultérieurement fixée, ce dernier ensemble se présente à son tour comme la limite pour #’ infini d’ensembles non décroissants en chaque point M(x.) de l'un desquels, outre r (8) Z rx, on a re) =.

Un tel ensemble appartient à l’ensemble Æ%,x de tous les points M(x) de Si, À V tels que, pour chacun des deux couples 6,, rx et &, rx, les inégalités respectives définissent deux domaines (ouverts) qui ne contiennent ni l'un ni l’autre de points M'(x'.) de V. Un raisonnement analogue à celui que nous avons fait dans le but d'établir que les ensembles du théorème I sont fermés montre que Eyw est fermé. Comme il est borné (inclus dans $;), sa projection &.» sur [el est aussi fermée. La réunion de ces projections non décroissantes avec chaque

indice, qui nest autre alors que lim & où e — lim &,», et qui contient la pro-

ko k'o

jection e, dont nous nous proposons l'étude, est image non dilatée de l’ensemble de W dont elle est la projection, lui-même image non dilatée d'un ensemble appartenant à une variété linéaire à p dimensions: en sorte que, d'après la théorie de M. Kolmogoroff, cette réunion au plus dénombrable d'ensembles fermés admet une mesure p-dimensionnelle unique.

En ne considérant des deux domaines relatifs à un point NM de F4,» que la partie pour laquelle |x°, — æ,| < rx cos &,, les deux conditions

Dia) <ri et (van) <'eote? > (c'e — tx)

sont complémentaires en ce sens que l'une est vérifiée dès que l'autre ne l’est pas. Par suite le domaine défini par la nouvelle condition [4', — x, | < rx cos &,, les deux conditions respectivement plus larges que les précédentes

D (ram) rt (t'a — an)? < cote? s À (t'a — Xw)°

et la condition commune

D (x'y — æ,)? < cote? w à (d'a)

y'=n—p+1 il

appartient à la réunion des deux domaines initiaux. Il en est de même des domaines suivants de plus en plus restreints:

on | , $ o .

da ER Sviucos eut sin > Die mac) htete, CHI Dog) | N—D ’ ES È / A2.

> (x'y — x) < cotg? w D CAR) V'=n—p +1 BI RL SEA / 9 9 9 9 Ln—Am|<h<rveose, D (x; —2,) < Rte? e cotg? w, V=n—p+1

! J' h nee ee moe ae me dE CObE 0) Vp—:

, L J%e £ 4 PRE ne eine, Vn—p avec pour au moins un ÿ [ae xp | > htg'e.

Dès lors, dans un parallélépipède d'arêtes parallèles aux axes et de dimensions

rk x : : x h ———— sin €, Sin © suivant les Os (B=1,2,...,n—p), ——— tps cotg w Pr? Pp = suivant les Ox, (y =n—p+1,n—p+2,...,n— 1), h suivant Ox,, s'il existe

un point de X%,;, les autres sont contenus dans un parallélépipède analogue mais dont les dimensions suivant les Oxs sont h tg e. Ô désignant le diamètre de S;x augmenté de la plus grande des dimensions du premier parallélépipède, par juxtaposition de ceux-ci, S;, peut être recouvert par un nombre N d’entre eux au

plus égal à

D: 4 - n—p h Dal é d == sine, sin w db —iteneicote.o (d/h).

Vn—p Vp—7

C'est dire qu'on peut enfermer la projection e;,x dans un nombre fini N de

sphères à #7 — 1 dimensions de |e) de diamètre

arbitrairement faible avec h, de manière que N d? soit au plus égal à

4—37534. Acta mathematica. 69. Imprimé le 13 décembre 1937.

24 Frédéric Roger.

L'indice Æ étant fixé, on peut alors choisir & de manière que e;,x' ait, quel que soit 4’, sa mesure p-dimensionelle de M. Carathéodory, done sa mesure p-dimensionelle unique, aussi faible que l'on veut; ce qui ne permet pas à sa limite « quil atteint sans décroître quand #’ augmente indéfiniment, d'avoir sa mesure

p-dimensionnelle unique positive.

Théorème III. — Dans l'espace euclidien à n dimensions, les points où un ensemble de points admet une variété linéaire à p dimensions tangente au sens large qui passe par un point fixe, forment un ensemble projectivement rare pour p dimensions à partir du point fire! (en particulier dont la projection à partir du point Jixe sur toute variété linéaire à n — 1 dèmensions ne le contenant pas est de mesure

p-dimensionnelle unique et nulle).