Si Téquation (3) est mise sous la forme

M=.-p.(^)Vp.(£y-p.(£)v..,

ia relation entre trois coefficients consécutifs quelconques doienl

-et il est facile d'en déduire que la série trouvée pour M esl convffgente.

En effet, supposons

-et soit

Alors on a

P„<A et P«..<^-

De même,

?^n-^t < 7 r et S„^-3 < r .

En procédant de cette façon, nous voyons que

P/n-t//i "^C ~~~7~: — ; TT TT ; ; »

2n(/n- -2) (/i -h 4). . .(/i -♦- am) d'où résulte que la série (3) est convergente.

3. L'équation (2) a une seconde solution indépendante N qJ' Ton peut trouver à l'aide de la solution o = M, car la solution cobplète est de la forme aM -h (3N.

On verra, d'après ce qui suit, que la solution N devient infiflif

quand /• s'annule; de sorte que Ton doit la négliger quand le gaz A, comme c'est le cas, s'étend jusqu'au centre du tube. En substituant à îp, dans l'équation (2),

on obtient

ou bien

». « <^ w - àM au ., du

M/'* -— ; -h JLi'^ -1- -: H rM -— = o,

df'^ or dr or

i d^u 2 dM I

du dr* M dr r dr

dont l'intégration donne

et, par suite,

du dr

r dr

En développant -^r^ en fractions partielles et en intégrant, on voit

que u contient un terme clogr, de sorte que N devient infini quand r= o.

Donc, p ne peut contenir N dans son développement, el nous obtenons

(4) /> = ScoMoe »^' \

La condition aux limites /? r= o, quand /• = a, exige que l'on choisisse des valeurs de 6* annulant Me quand r = a.

Si l'on remplace /• par a dans la fonction M, on obtient une fonction de 6^a* avec des coefficients numériques. Soient x<, x^, 0:3, . . . les valeurs de 6^ a* qui satisfont à l'équation

et soient 8^, 62, 63, ... les valeurs correspondantes de 6. L'équation (4) devient

4. Avant de procéder à la détermination des coefficients C|, Cj, --., il est nécessaire de démontrer quelques propriétés générales

9^8 J.-S. TOWNSKXD.

de la solution de réqualion

f{x^y^ z) étant une fonction quelconque de ^, r, z (').

Soient ©„ et ©«' des solutions correspondant aux valeurs 6/, et 6. du paramètre 8.

D'après le théorème de Green, on a

Supposons que 6« et 6«' soient des valeurs de 6 annulant o,, el :. sur la surface S qui limite l'espace auquel est étendue l'inlégnle triple précédente. Dans ces conditions, l'intégrale de surface s'annule et l'on obtient, en substituante ^^„ et ^o,i' leurs valeurs

(6a) W,-'K')J J j9n^n'f{x,y,z)dxdydz = o,

d'où résulte que l'intégrale triple s'annule quand Ô,, et H„' sont différents l'un de l'autre.

Supposons que o,,» soit obtenu à l'aide de O/, en changeant 4] « 0;|4-rfO^, le théorème de Green donne

de sorte que

jNous avons aussi

tl'où l'on déduit

(Ce) filfJJ<»nnT,y,z)dxdydz=^-Jf^dS.

(') Et A (notation française ordinaire au lieu de V^) désignant

JL ^ ^

{Note du traducteur,)

o. Prenons pour f{x^y^z) la fonction a- — /•- et pour ç» une fonction de la coordonnée cylindrique r. L'équation

se réduit alors à

de sorte que l'on peut remplacer es par M dans les trois équations (^>a), (6^) et (()r)' Si les intégrales doubles sont étendues u la surface du cylindre de rayon «, on obtient

(7a) f M«M„'(aï— /•î)rc^r = o,

rt

De ces trois équations, on peut tirer les coefficients C|, c^, .... Puisque p =/?o» quand 5 = 0, on a

/>o = Cl Ml -f- Cl Ml -h ... .

Multiplions cette identité par ^^{ci'^ — r^)rdr, et intégrons de r = o à r =z a^ nous obtenons

apo VdMl VdM c)M]

et, par suite,

et

( M ONlK. Vf ^'"'"^

A l'entrée du tube, la quantité du gaz A, par centimètre cube, est proportionnelle à poi de sorte que p^r^a-Y est proportionnel à la quantité du gaz A qui entre dans le tube par seconde (quantité déterminée par la valeur de la conductibilité quand A est constitué par des ions).

La quantité de A qui traverse par seconde une section située a la S. p. 5q

Par John-S. TOWNSEND.

Traduit de Tanglais par H. BÉNARD.

Phil. Trans. of the Boyal Society, t. CXCIII, A, 1900, p. 179-1S8.

Introduction.

Plusieurs résultats intéressants en relation avec la Physique moléculaire peuvent s'obtenir à l'aide des coefficienls de diffusion dt» ions dans les gaz. Les délcrininations de ces coefficients nous permettent de trouver le nombre de molécules contenues dans on volume donné d'un gaz, et de comparer la charge portée par un ior. dans un gaz conducteur à la charge d'un atome d'hydrogène dans oc électrolyte. Dans ce mémoire, on a appliqué les principes sur le*quels repose la théorie de la diffusion mutuelle des gaz à la diffunon des ions produits dans un gaz par l'action des rajons de Ronlgen.

Pour simplifier, considérons d'abord la théorie générale de la conductibilité des gaz. J.-J. Thomson a montré que tous les phénomène* peuvent s'expliquer en supposant que les rayons produisent dans If gaz des ions qui, en se déplaçant sous l'action d'une force éleclriquf. donnent naissance à la conductibilité observée. Quand le gaz a été soustrait à l'inllucnce des rayons, la conductibilité diminue graduellement, et la disparition des ions peut être due à trois causes, dont l'une quelconque peut d'ailleurs élre prédominante.

i** S'il y a une force électrique, les ions se déplacent à traders le gaz le long des lignes de force et sont déchargés quand ils atteigneot les extrémités de celles-ci.

2® La recombinaison détruit la conductibilité : les ions positif* et les ions négatifs, en se déplaçant dans le gaz, viennent en contaci et se neutralisent ainsi mutuellement.

3" Les ions se diffusent et viennent au contact des parois du vase qui contient le gaz ; c'est ce que nous appellerons V effet des parois.

Comme la recombinaison, cet effet se produit en l'absence de toute force électrique et est dû au mouvement d'agitation des ions.

Afin d'illustrer d'une façon simple les principes qu'impliquent les expériences décrites dans ce mémoire, supposons qu'un gaz renfermé dans une sphère métallique ait été rendu conducteur par l'action des rayons de Runtgen. Considérons ce qui se passe quand le gaz a été soustrait à l'action des rayons, en faisant abstraction pour le moment de l'effet de recombinaison. On peut considérer les ions comme constituant un gaz séparé, les molécules de ce gaz pouvant être soit plus grosses, soit plus petites que celles du gaz dans lequel elles sont plongées. Quand un ion vient au contact de la surface de la sphère, il perd sa charge, de sorle qu'on peut regarder le métal comme un corps absorbant complètement les ions. La diminution de la conductibilité produite par la diffusion des ions vers les parois est exactement analogue à l'enlèvement de l'humidité d'un gaz qu'on force à traverser de l'acide sulfurique bulle à bulle. Plus la vapeur d'eau se diffuse rapidement à travers le gaz, plus grand sera le nombre des molécules d'eau qui viendront au contact de l'acide entourant la bulle. Si l'on détermine expérimentalement la quantité d'humidité enlevée, on pourra en déduire le coefficient de diffusion de la vapeur d'eau dans le gaz(*). Il serait impraticable d'employer cette méthode pour déterminer le coefficient de difl'usion des ions dans un gaz renfermé dans un grand récipient, car, dans ce cas, la perte de conductibilité due aux parois serait faible en comparaison de celle qui serait due à la recombinaison.

La méthode adoptée consiste à faire passer un courant uniforme de gaz dans un tube métallique fin, et à faire tomber les rayons sur le gaz immédiatement avant son entrée dans le tube. Le diamètre du tube peut être déterminé de façon que le nombre des ions qui viennent au contact des parois soit grand en comparaison du nombre de ceux qui se recombinent.

11 est commode d'employer un tube d'une longueur telle que la conductibilité soit réduite à environ la moitié de sa valeur initiale.

Pour obtenir le coefficient de diffusion, quand on connaît la perle relative de conductibilité, le problème suivant se présente : si une petite quantité d'un gaz \ est mélangée à un autre gaz B, et que le mélange ait circulé dans un tube dont les parois absorbent complètement A, trouver quelle quantité de A sort du tube avec B.

(») JOHN-S. TOWNSEND, Phil. Mog,, l. \LV, 1898.

Si X = o : j^ = I , -^ = o et -7-^ > o ; par suite, la courbe coupe

l'axe des y à l'unité de distance de l'origine, la tangente a la courbe en ce point est parallèle à l'axe des x^ et, quand x croît, la conveiilr est tournée vers l'axe des x.

De l'équation difl'érentielle de la courbe,

x^-^-^x^ = — 0*(a»— xî)a-\K,

dx^

dx

on peut facilement déduire qualitativement la forme que prend ia courbe quand r croît de o à a.

On a vu que, au début, quand x est petit, y^ -^ et -^^ sont de?

quantités positives. Supposons que ^ puisse être négatif pour de* valeurs de r inférieures à a, la courbe prenant la forme de la ligne pointillée de la figure ï; ^» d'abord positif, puis négatif, doit s'annuler dans l'intervalle pour une valeur x= b.

L'équation différentielle donnerait alors

dx^

de*

Par suite, ~^ est > o; par suite, en se déplaçant le long de l'axe

x dans la direction des x positifs, la courbe recommence à toumerNi convexité vers l'axe des x, de sorte que j^ va en croissant : ceci manlrf

que ^ ne peut être négatif pour aucune valeur de x comprise cnlrr

o^et a. Par suite, la courbe doit avoir une forme analogue à celle de

la courbe tracée en traits continus, la valeur de y pour x=z a étant plus grande que la valeur de^ à l'origine. Donc, la fonction M,.=a ne peut s'annuler pour aucune valeur négative de Ô^.

7. Si l'on fait r=:a dans M^, l'expression devient une fonction de 6-rt*, avec des coefficients numériques. Les deux plus petites racines de l'équation Mr=rt= o sont

eîa*=7,3i3 et

que l'on trouve en développant M suivant les puissances croissantes de 6* a*. Pour la détermination de ces racines, huit termes du développement ont été trouvés; les racines plus grandes ne peuvent pas être déterminées commodément par cette méthode; mais, pour le but que nous nous proposons ici, il n'est pas nécessaire de les calculer, car les termes qu'elles introduiraient dans R sont inférieurs aux erreurs d'expérience.

Les autres valeurs numériques nécessaires sont

â^\^Jr.a =^'"9^'' ^(^;.=a = "'^^^^^

Par suite,

1 1 — - — T^iT o 1 o3oîi

(lo) R = 4 -— -J — : -e ^n'.y -X.---2 : e >«'v^..

Cette formule est valable pour les gaz en général quand le gaz absorbé existe en faible quantité. Celte restriction est nécessaire, car reflet de la gravité troublerait la distribution de pressions donnée par Téquation (8), en particulier quand les gaz A et B ont des densités très différentes.

Nous conclurons donc de ce qui précède que : lorsque deux gaz A et B sont mélangés et circulent dans un tube dont la paroi absorbe A, le rapport de la quantité du gaz A qui sort du tube à celle qui y entre est égal à

4\o, 1952e =»"*v -+-0, 0243c ^«'v -+-...J, a désignant le rayon du tube; ^, sa longueur; K, le coefficient de dif-

g 34 J.-S. TO\\T\'SEND.

fusion mutuelle des deux gaz, et V, leur vitesse moyenne dans le tube.

La vitesse est plus grande au centre qu'à la surface du tube, ce qui a pour efl'et d'accroître la quantité de A qui sort du tube avec B. On peut le voir (*), en comparant la formule (lo) à la fonction

qui donne la valeur du rapport de la quantité du gaz A sortant du lulip à celle qui y entre, dans l'hypothèse où les gaz auraient la même vitesse* en tous les points de la section.

Si un gaz contenant des ions distribués uniformément possède une conductibilité C|, après avoir circulé dans un tube de longueur /(. et une conductibilité Ca, après avoir circulé dans un tube de longueur Z^, Téquation (lo) montre que l'on a

7,3lK/i 44,SK/i

Cx 0,195e *"'V j 0,024e '"'^

Ct

-.31 K/, 44,SK/a

8. Quand l'ionisation est produite par les rayons de ROntgen, le

rapport — peut être déterminé pour la plupart des gaz en prenant /, = lo'^'", /j = i«", a = o*'™,i5 et V = loo*"" par secoode enviroo.

En posant

Ci 7,3iK/|

= r et i±-—l^x,

on a déterminé les valeurs de y correspondant à une série de valeurs de X et tracé la courbe représentant la relation entre x et y. La figure î donne la partie de la courbe comprenant les valeurs trou\ées expérimentalement pour y (le rapport j- ayant la valeur 10 J, et Ton peut

en déduire immédiatement les valeurs de ^ ' >,. ' *

(') John S. Townsend, Phil, Mag.^ t. XLV, juin 1898.

Après avoir circulé dans un tuhe long; de lo*^"*, rhydrogène avait une conductibilité tellement réduite qu'elle ne pouvait plus être déter-

Fig. 2.

Courbi entre

f repré Ketyq

sentan uandli

tiare h -10 li.

^tion

5 ^3TK/, ( 2*»V

ininée"^avec précision. 11 a donc fallu employer un autre appareil dans lequel on avait

«1 - - 4 . fj — 1 .

Mg, 3.

Col

irbe re^ treKei

orésen y ça ai

tant lai idlj'U

relatioi

l>a courbe de la figure 3 se rapporte à ce cas (le rapport y avant la valeur 4)-

J -s. TOWNiEXD.