I. — Calcul du courant de saturation

1. Uapplication de la théorie cinétique des gaz à l'équilibre d'électrons négatifs libres ou corpuscules n'a guère besoin d'être ici justifiée, puisqu'elle a été déjà faite par le professeur Drude (*); on peut toutefois mettre en évidence quelques résultats montrant la ressemblance étroite qui existe entre une molécule dans un gaz dans les conditions ordinaires et un corpuscule dans un métal. Le professeur Thomson (*) a montré, en partant du changement de résistance du bismuth dans un champ magnétique, que le libre parcours moyen d'un corpuscule dans ce métal a une valeur de io~* cm ; tandis qu'une série d'expériences de M. Patterson (') indiquent que pour le platine, l'or, l'étain, l'argent, le cuivre, le zinc, le cadmium, le mercure et le carbone le libre parcours moyen a des valeurs comprises entre 5,9 X 10"^ et 4ji X 10"" cm. Le libre parcours moyen pour une molécule d'azote dans l'air dans ces conditions est io*~* cm; de telle façon que le libre parcours moyen d'un corpuscule dans le bismuth est le même que celui d'une molécule dans l'air à une pression de — d'atmosphère, tandis que pour les autres métaux cette quantité a la même valeur que dans l'air pour une pression de lo*'"". La durée du libre parcours est évidemment seulement d'environ j^ de celui d'une molécule d'air possédant le même libre parcours, en raison de la grande vitesse d'agitation des corpuscules. Néanmoins il est parfaitement légitime d'admettre que le temps pendant lequel les corpuscules se meuvent librement est grand comparé à celui pendant lequel ils s'entrechoquent. En fait, cette supposition se présente immédiatement à l'esprit, si nous attachons une signification bien définie aux idées de libre parcours et de collision.

Si, en plus de ce que nous négligeons le nombre de corpuscules se choquant en un moment quelconque, vis-à-vis de ceux qui ne le font pas, nous supposons que les atomes du métal et les ions positifs sont sujets à des forces de restitution fonctions seulement de leur

(') Drtide's Annalen, Vol. I, p. 577, etc.

(^) Rapports présentés au Congrès International de Physique, Paris igoo, VoI.Ifl, p. i38.

(') Phil. Afag., t. VI, Vol. III, p. 655.

déplacement, nous obtenons immédiatement, en appliquant Tanalyse ordinaire de la théorie cinétique, la distribution de la vitesse au sein des corpuscules, distribution qui a été trouvée la même que pour un nombre égal de molécules gazeuses de même constitution. Ainsi le nombre de corpuscules (N„Nt,Njv) qui ont des composantes de vitesses, entre uet u-\-du^ v et v -\- dv^ (v et tv + div dans trois directions respectivement perpendiculaires, est donné par

N„ = N /'^ y e-^''«l«-aJ" du,

N«, = N ^^ y e-fcmw-^)^ dsv ;

N étant le nombre total de corpuscules considérés, m la masse de chacun d'eux, a, ^, y les composantes de la vitesse d'ensemble des corpuscules dans les directions u^ ^', kv respectivement, le facteur \k représentant l'énergie moyenne de translation d'un corpuscule, qui est égale à celle d'une molécule gazeuse à la température considérée. Les vitesses a, ^ et y sont reliées aux composantes y, r, s de la densité du courant par la relation

n étant le nombre de corpuscules par centimètre cube, s la charge de chacun d'eux.

2. Si nous supposons les vitesses d'ensemble nulles ou négligeables vis-à-vis de celles d'agitation, le nombre de molécules contenues dans l'unité de volume, ayant des composantes de vitesse comprises entre u et u + du^ V ^iv -\- dv^ w et ^v + rf(v, devient

g Am(««-f-i/« t-tv») du dv dw^

tandis que le nombre d'entre elles, possédant ces composantes, qui frappent l'unité de surface normale à u par seconde est

^ j ff e-*m(»*«-hP«+»v») du dv dw.

Si Dous supposons la surface du conducteur chaud normale à Faxe des «, le nombre de corpuscules frappant T uni té de surface par seconde sera

Supposons maintenant à la surface du métal une discontinuilé dans le potentiel électrostatique, suffisamment grande pour empêcher qu'à basses températures les corpuscules ne s'échappent; si le travail effectué par l'ion, en passant à travers la couche superficielle, est <^,

la discontinuité de potentiel sera—- La surface étant normale à l'axe

des a?, nous aurons par symétrie

z dy t ôz '

(4) mu = d'où /io = 4/w« <l>,

dx y m

oii Uo est la composante normale de la vitesse du corpuscule après sa sortie du métal. Il est évident d'après ceci que tous les corpuscules qui frappent la surface du métal ne s'échappent pas, il n'y a que

ceux qui ont une composante normale de vitesse =4/ — ^j par snile.

pour avoir le nombre total de corpuscules passant à travers la couche superficielle, il faut intégrer l'expression (3) par rapport à rfw, non pas

de o à 00, mais bien de i/ -^ <ï> à oo ; nous aurons donc, en appelant N ce nombre total de corpuscules qui s'échappent par seconde

(5) ^ = /* f f n(^yue-^'*"^'^'-^^*^^'^dudvdw,

2 ^ ' V ^ff^T^

puisque k est relié à 0 la température absolue par la relation k = (2R8)~*, R étant la constante des gaz pour un seul corpuscule. Le courant de saturation étant égal à la quantité d'électricité transportée par les ions projetés à travers la surface en une seconde, sera donné par la relation

(7) C = NeS = /iES4/-^ <?■"»«,

OÙ S esl Taire de la surface métallique, e comme précédemment la charge d'un ion.

3. Quand les ions sont captés par un champ électrique, aussitôt qu'ils sont mis en liberté à la surface du métal, comme dans le cas des e3[périences qui seront décrites plus loin, le métal doit constamment perdre de l'énergie par suite de l'émission de corpuscules. Cette énergie se compose de deux parties : la première représentée par le travail effectué par les corpuscules en traversant la couche superficielle, la seconde égale à l'énergie de translation qu'ils possèdent quand ils viennent de quitter le métal ; la somme de ces deux quantités est facile à calculer, puisqu'elle est égale à l'énergie de translation que les corpuscules qui ont passé à travers la couche superficielle, possédaient lorsqu'ils étaient à l'intérieur du métal. Nous n'avons par suite simplement qu'à multiplier le nombre de corpuscules qui frappent la surface par l'énergie possédée par chacun, et à intégrer entre des limites embrassant toutes les valeurs qui passent à travers la couche superficielle. La perte totale d'énergie est, par suite,

(8) T = - {—\ * r Ç C m (aïH-p'-HW'») tt«-*'«{«'-*-«''+»v«) du dv dw,

▼ tn

Maintenant le travail produit en une seconde par les corpuscules traversant la couche superficielle est évidemment N^, de sorte que la partie d'énergie perdue par le métal chaud par seconde apparaissant sous forme d'énergie de translation des corpuscules est donnée par

Tz* m

Le calcul de la façon dont l'émission d'énergie a lieu, s'applique au cas seulement où les ions sont captés par un champ extérieur aussitôt après leur sortie ; s'il n'y a pas de champ extérieur et que les ions sont laissés libres, nous arrivons rapidement à un état d'équilibre où il entre en un temps donné à travers la surface du métal autant de corpuscules possédant une quantité donnée d'énergie qu'il en sort; de façon que dans ce cas il n'y a aucune perte d'énergie due à cette cause.

Le professeur J.-J. Thomson a. donné une démonstration de la formule (6), qui est intéressante en ce sens qu'elle ne nécessite pas les méthodes de la théorie cinétique des gaz. Supposons un espace clos limité par une surface métallique chaude, le métal émettra des corpuscules jusqu'à ce qu'un état d'équilibre soit atteint; alors autant de corpuscules allant du métal au vide et du vide au métal passeront à travers la surface limitant l'espace, mais la pression ne sera pas la même des deux côtés de la surface, en raison des forces tendant à retenir les corpuscules dans le métal. Il y aura ainsi une discontinuité dans la pression à la surface de séparation, et ^ étant le travail effectué par un ion mesuré à travers la surface nous avons

OÙ I a trait au métal, 2 à l'espace voisin, p est la pression et v le volume occupé par un corpuscule en un point quelconque. Substituant

à p sa valeur — tirée de l'équation des gaz, nous avons

logpj— logP, = j^

d'où nous avons, si n^ est le nombre de corpuscules par unité de volume à l'extérieur du métal, et /i| le nombre par unité de volume à l'intérieur du métal,

Maintenant le nombre de corpuscules projeté de la surface par seconde n'est pas égal à celui contenu dans l'espace clos par unité de volume, mais égal à ce nombre multiplié par la vitesse moyenne normale à la surface. De sorte que, dans l'état d'équilibre, N = /i|«, où

d'où

formule identique à celle obtenue précédemment en ne supposant pas l'existence d'un état d'équilibre.

En suivant l'analogie entre l'émission de corpuscules et l'évaporation, les formules précédentes, reliant la pression corpusculaire à la

température, peuvent être obtenues à l'aide de la Thermodynamique d'une façon nécessitanl encore moins d'hypothèses.