I. — Théorie des électrons
Deux théories des ions s'offrent à nous comme point de départ : une théorie élevée et une théorie élémentaire.
La première suppose pour les électrons une vitesse qui s'approche de celle de la lumière. I^es potentiels que Félectron exerce en un point de Tespace ne dépendent donc pas, à un moment déterminé^
CONTRIBUTION A LA THÉORIE DES ÉLECTRONS ET DES IONS. 6o3
de sa position actuelle, mais d'une position antérieure. Un élément d'espace rempli de masses électriques qui se déplacent avec une vitesse voisine de celle de la lumière, agit sur un point de l'espace environnant non seulement d'une autre place mais avec une force et une grandeur différentes. Les propositions développées dans ce qui suit n'ont rien à faire avec cette théorie élevée; elles supposent qu'il ne s'exerce sur l'électron en mouvement dans un champ électrique aucune autre force électrique que lorsqu'il est au repos, et que l'action électromagnétique que supporte un électron en mouvement dans un champ magnétique est déterminée par la loi de Biot et Savart.
Le mouvement d'une particule électrique dans un champ électromagnétique a été considéré, dans des cas spéciaux, par beaucoup de physiciens, par exemple par J.-J. Thomson, par Kaufmann, par Pellat, etc. Dans ce qui suit, nous chercherons à déterminer ce mouvement d'une façon un peu plus générale. Ce que nous dirons s'appliquera d'ailleurs à des particules électriques, quelconques reliées à des masses qui les portent.
I" Equations du mouvement.
Soient
V = — Aar— B^ — r^ le potentiel électrostatique et
^ = — Xx — \\\^y —^z
le potentiel magnétique; soient encore s la charge, [jl la masse de l'électron, c la vitesse de la lumière. Les équations du mouvemeni sont
^ df' '~ ^dx"^ c\Oy dt dz dt ) '
Désignons par A la vitesse linéaire de l'électron, l'intégrale de la force vive est
Toutes les fois qu'une particule traversera cette surface équipotentielle, sa vitesse sera la ménie.
Introduisons, au lieu des potentiels V et ^^ les composantes des
6o4 BDUARD RIKCKE.
forces électriques et magnétiques. Les équations deviennent
d^x . % / ,. dz ^dyX
Traçons maintenant par l'origine des coordonnées une parallèle à la force magnétique H. Menons par Télectron un plan normal à H; soit h le point où il rencontre cette ligne; désignons aussi par h sa distance de l'origine des coordonnées. On a pour h Téquation
(a) ^ = 1Ecos(H,E),
E désignant ici la force électrostatique totale.
Le point h se déplace avec une accélération constante sur l'axe parallèle à la ligne de force magnétique.
Menons encore par l'origine des coordonnées la direction E de la ligne de force électrostatique, et, par la position actuelle de la particule s considérée, un plan perpendiculaire à cette direction E. Elle coupe celle-ci en un point e, dont la dislance à l'origine sera égale à e. On a l'égalité
/o V w^ d-e , e rf
(3) ^E^=eE.H--5j
Menons enfin par l'origine la droite N perpendiculaire à la fois à H et à E et de sens tel qu'on ait la même disposition pour le système d'aies H, E, N que pour le système x^ y^ z des axes primitifs. Par la position de la particule menons un plan normal à la ligne N et la rencontrant en un point n distant de l'origine de la longueur n. On a
(4) ^sin(H,E)^=-iHj + iHcos(H.E)'^.
L'équation (2) donne
(5) ^ = " Eco8(H,E)/-hcî.
On a donc, d'après les équations (3), (4), (5), les équations différentielles suivantes pour /i et e :
(6) ^-f.4^H«^- =~-^HE8in(H,E),
dt^ C«{JL» dt CJJL* V ' /'
CONTRIBUTION A LA THÉORIB DEii ÉLECTRONS ET DBS IONS. 6o5
En désignant par a Tangle de H et E, Tintégration des équations donne
/ov t eE cosa ^. A ^
(8) A= t^^dt,
EEcos*a ^ . . /eH \ , /eH \
(9) e = 1^ ■+- cj ces at -h atsm { — t] ~h b^ cos ( — t ) ,
/ . cEsinx^ . /eH \ , /eH \
( 10 ) n = Yî — / -+- ai sin 1 — tj-^bi cos { — t \ ,
H où
ai = ^1 sin a, bi = — ai sin a.
En introduisant au lieu des constantes a^ et 6| les vitesses initiales Cp et cJ de la particule suivant les directions E et N, il vient
/ Cil / cEs'ina\ C}x . . . .
i Cfx , ^ ^ , cusinac/ „ cEsinaX ' ^*^ ^(cî— cjcosa), bt = lir~ V""^ H /
En dehors des coordonnées A, e et /i, on peut enfin introduire encore une nouvelle coordonnée p comptée suivant un axe formant un système rectangulaire avec H et N et disposé comme le systèmes, ^', z. On a donc
e — h cosa (12) P=-
siiia
En désignant par cJ la vitesse initiale dans la direction /?, il vient (.3) ,f=£ojz£i£l!i5.
Si l'on applique d'abord ces formules au cas d'une intensité de champ magnétique qui s'annule^ on a
/ eE
h = c:!t, n=c'^t. e= — t^-^ c^t -i- consl,
La trajectoire de la particule est une parabole dont l'axe est parallèle à la force électrique.
Si c'est l'intensité du champ électrique qui devient nulle,
sH „ . /eH . p /eH \
— n = c'Jt sin ( — t ) -h c^ cos ( — t ], eu. \cfx / \cti /
êH „./êH\ „ /eH\
— p = c^ sin ( — t ) — c'i cos ( — t )•
6o6 EDUARD RIECKE.
La projection de la particule sur le plan PN normal à la direction de la force magnétique décrit donc un cercle de diamètre
La durée de rotation est égale à ait-^-
Dans l'espace la particule décrit une hélice dont le pas est donné par
Nous simplifierons le cas général de la superposition d'un champ électrique et d'un champ magnétique en supposant que leurs lignes de force respectives se coupent rectangulairement. On a donc p = e et
^ . /eH x /êH \
e = bt sin ( — t ] — aj cos ( — t , \Cfl / ^ cji /
c -, . /sH \ , /eH \
H \cu. I \cix /
Po
sons
c ^ . /eH \ ^ /êH \
/ii = — TîE^, /is = ai sin I — n -4- 61 cos ( — /).
Le mouvement dans le plan EN normal aux lignes de force magnétiques se réduit donc à un déplacement dans la direction de Taxe des N, c'est-à-dire normalement à la direction de la force électrique, avec la vitesse
et en une oscillation dont les composantes sont données par
, . /eH \ /eH \
e = Oi sin ( — / ) — ai cos ( — / 1 ,
\C|X / \ciJ. I
. /eH \ , /eH \ «j = «1 sin ( tj-\-Oi eus ( 1 j .
La combinaison de ces deux équations donne une rotation sur un
(M E. RiECKR, Wied, Ann., t. XIH, î88i, p. 191. — Schustkr, Proc. Boy, Soc,,
t. xxxvn, i884, p. 317.
