THÉORIE MATIIÉMATIQUR DE LA DIFFUSION

1. Dans un gaz conducteur, nous avons à considérer deui séries distinctes de corps ; lésions, qui sont chargés, et dont le mouvement sous l'action d'une force électromotrice constitue la conduction, et les molécules neutres, en nombre beaucoup plus grand que les ions (l'ordre de grandeur du nombre des molécules est lo'- loi^ celui des ions). Nous regarderons pour le moment les ions comiin* comprenant nombres égaux de particules chargées positivement et de particules chargées négativement; on peut les considérer comme constituant un gaz distinct A, le reste des molécules comme constituant un autre gaz B, et Tensemble un gaz conducteur. Quand le^ ions viennent au contact d'une surface métallique, ils lui cèdent leur charge, ou restent au contact de la surface, de sorte que le métal sr comporte comme un absorbant parfait pour les ions.

Dans un mémoire sur la théorie dynamique des gaz ( ' ), J.-C. Maxwell a donné les équations générales du mouvement de deux gaz qui >e diffusent l'un dans l'autre.

Ces équations sont de la forme

pi et pa désignant les densités des deux gaz; p^ et /?2 leurs pressions

(M P/iit. Trans., t. CLVII, 186G.

(') Voir L. BoLTZMANN, Leçons sur ta théorie des ffaz, Première Partie lic U traduclion française, p. 186. {Note du traducteur.)

LA DIFFUSION DES IONS DANS LES GAZ. g^'i

^arlielles; W| et Wo leurs vitesses moyennes dans la direction de Taxe des x; A* A une constante pour rcnsenihle des deux gaz, qui dépend de la température; et X la force (|ui agit sur Tunité de masse.

Le premier et le dernier terme de l'écpiation ci-dessus peuvent être négligés, car ils sont petits en comparaison des deux autres; mais, s'il s'agit d'un gaz constitué par de petites parti(!ules chargées, il faut introduire un nouveau terme quand il y a des forces électriques qui agissent.

Aiusi, le terme piX, du aux forces de gravité, est égal, par exemple, à ()8i x mi/ï|, en désignant [)ar //?, la masse d'une molécule du premier gaz (/Wi est de Tordre de io~-'* gramme), et par /ii le nombre des molécules de ce gaz par centimètre cube.

Pour évaluer -~ grossièrement, supposons les gaz contenus dans

un tube de o*^"*,i5 de rayon et />i = o à la surface. Dans ce cas,

-p- sera de Tordre de -^,> p\ dési};nant la valeur de Pt au centre. dx o,i'j '^' ^ ^

Si ;i, T||, !^| désignent respectivement les vitesses moyennes d'agitation moléculaire dans les directions des x, des y et des z^ on a

et l'on obtient

o , IJ o , IJ

àp\

Comme ?• est de Tordre de lo*. cette valeur de -^ est de Tordre

de :-!-, c'est-à-dire grande en comparaison de 981 x ni^n\^ qui

est de Tordre de i o~-*^ n\ .

Le premier terme m^n^-— est petit, compare a -^— > puisque la

résistance au mouvement est si considérable; l'accélération, dans les ^as qui nous occupent, est moindre (|ue celle d'un corps tombant "^ous l'action de la gravité et, par suite, est d'un ordre beaucoup

plus faible que —• ' * ox

Si chacune des fit molécules du premier gaz porte une charge

Jlomique (().io~'® unité électrostatique), les forces entrant enjeu

courront être d'un ordre quelconque de grandeur, comparé à -—•

)ans un champ électrique de i volt par centimètre, la force agissant

ir n\ ions serait- — x () X io~*° x /j' = 2 X io~*-X /?'i qui est

grand comparé à la valeur ci-dessus trouvée pour -^ > savoir

En général, il faul six équations de la forme donnée par Maxwell: mais quand, comme dans le cas présent, l'un des gaz existe en lir^ faihle quantité, le système se réduit à trois équations, et le mécanisnir de la diflusion des ions peut être considéré comme aj^ant un effet nu' sur les vitesses moyennes du gaz dans lequel ils se diffusent. Le second gaz B n'a pratiquement aucun mouvement en circulant clan> un tube, sauf le long de l'axe, que nous prenons comme axe des :. La notation peut donc être simplifiée et, dans ce qui suit, nous désignerons par :

n le nombre des ions par cenlimètre cube;

p leur pression partielle :

e la charge d'un ion;

X, Y, Z les composantes de la force électrique en un point :

w, c, iv les composantes de la vitesse des ions;

W la >itesse du gaz B circulant dans le tube;

a le rayon du tube;

K le coefficient de diffusion de A dans B.

Les équations différentielles du mou>ement sont :

I Op

K '^ Or

i dp \

Quand l'étal permanent est atteint, p est constant par rapport an temps en tous les points du tube, et Téquatlon de continuité de\ieni

-p peut être négligé dans la troisième équation, car c'est une quantil»'

petite en comparaison des autres termes : ainsi, dans la pratique-

— (- est de Tordre de -'7, W = lou et K = o,o3 ; de sorte que -^ ^'^^ p Oz -"' ' ' ^ ôz

seulement de l'ordre de ,„' . de t /AV.

Dans le cas actuel, on a '

\ étant la \itesse moyenne, définie par la condition que le volume total de gaz B, qui tra\erse une section quelconque du tube pendant le temps t, soit égal à Tza-Y t. Si Ton se borne au cas où les ions posilifs et les ions négatifs sont en nombre égal, les forces X, ^ , Z •^annulent, et Téquation à laquelle satisfait p devient

ou bien, en l'exprimant en coordonnées cylindriques,

^à^p dp i\ r- . . t)p

ôr^ Or «* K Oz

Nous de\ons trouver une solution de cette équation qui satisfasse aux conditions suivantes :

p = p^^ quand 5 = 0, pour toutes les valeurs de /', puisque A est di>lribué uniformément dans le gaz B, à l'entrée du tube.

p =z o quand r = a, pour toutes les valeurs de ;;, puisque A est al>M)rbé en arrivant au contact des parois.

Posons

z étant une fonction de r, et 6- une constante à déterminer ultérieurement.

En substituant à p cette >aleur dans l'équation (i), il vient

d^ o ào

dr> Or ^ ^^

On peut trouver une solution, M, développée en série. Soient

trois termes consécutifs du développement de M suivant les puissances de r.

La substitution dans (i;i) nous donne, en égalant à zéro le coefficient

de r^"^* ,

( /TU- 4 )» A„,^4 -^ 0« a> A,„^., — 0» A;„ = o.

SiA;„^4r'"+* est le premier terme de M, (m -h 4)^ doit être nuK

'ijlS J.-S. TOW.NSEXD.

Par suite, le premier terme doit élre une constante que nous prendrons égale à i. Ainsi

eij par suite, B{, B^, Bj, . . . sont donnés par les équations

4Bi-H0«a« =o,

i6B,-+-eîa2Bt — 0« =o, 3GB3-hO*a2Bi— 0*B, = o,