Si l'équation (3) est mise sous la forme
la relation entre trois coefficients consécutifs quelconques devient
et il est facile d'en déduire que la série trouvée pour M est convergente .
En effet, supposons
et soit
Alors on a
?/*< — el ?«-Hi<
'in ^ in
De même,
En procédant de cette façon, nous voyons que
^"■^*"* ^n{n -r- 'A) {n ^ ^). . .{n -h :3Lm)'
d'où résulte que la série (3) est convergente.
3. L'équation (2) a une seconde solution indépendante N que l'on peut trouver à l'aide de la solution o =: M, car la solution complète est de la forme aM -1- ^N.
On verra, d'après ce qui suit, que la solution N devient infinie
LA DIFFUSION Dli:S IONS DANS LES GAZ. 927
i|uand /• s'annule; de sorte que l'on doit la négliger quand le gaz A, comme c'est le cas, s'étend jusqu'au centre du tube. En substituant à cp, dans l'équation (2),
on obtient
ou bien
m« . <^*w . ^M au , du
Mr* -T-; -f- 'i.r^ -T-\ ^ '*M -— = o,
d/-* or dr or
-^— : -+- in —. 1 = 0
du dr' M dr r
dont rintégration donne
el, par suite,
rM*—- = c dr
r dr
En développant -^^ en fractions partielles et en intégrant, on voit
que u contient un terme clogr, de sorte que N devient infini quand r = o.
Donc, p ne peut contenir N dans son développement, el nous obtenons
\\) p =2coMoc *^' ".
La condition aux limites jo = o, quand /' = a, exige que l'on choisisse des valeurs de 9* annulant Mo quand r= a.
Si l'on remplace /• par a dans la fonction M, on obtient une fonction de 6^a* avec des coefficients numériques. Soient Xt^ Xa? ^^a? • • • les valeurs de 6* a* qui satisfont à l'équation
et soient 6|, 62? 63, ... les valeurs correspondantes de 8. L'équation (4) devient
4. Avant de procéder à la détermination des coefficients C|, Ci, ..., il est nécessaire de démontrer quelques propriétés générales
928 J.-9. TOWXSKND.
de la solution de Téquation
/(x,j% z) étant une fonction quelconque de J?,.r, « (*)•
Soient o,i et »„' des solutions correspondant aux valeurs 6„ et &«• du
paramètre 6.
D'après le théorème de Green, on a
f / ,/ l?"'^?"'"" 9n'^?n]àx dy dz =jj{^^n '-^ — ?'^; j ^S.
Supposons que H„ et ft;,- soient des ^aleu^s de 6 annulant o„ et Zpsur la surface S qui limite l'espace auquel est étendue Tintégrale triple précédente. Dans ces conditions, l'intégrale de surface s'annule et Ton obtient, en substituant à As» et A(^«' leurs valeurs
(6a) W — K') f j j 9n<^n'f{T,y,z)dxdydz=.o,
d'où résulte que l'intégrale triple s'annule quand 6„ et 6,/ sont diflVrents l'un de l'autre.
Supposons que ©„' soit obtenu à l'aide de o,, en changeant 6J en 6jJ 4- ^6'^, le théorème de Green donne
de sorte que
((v.) Jff^lAx,y,z)dxdydz=JJp^'^ ^rfS.
Nous avons aussi
d'où l'on dcdiiil
(fie) nfJJ<>nAx,y, z) dx dy dz = /Y^rfS.
(') El A (notation française ordinaire au lieu de V') désignant
