I. ~ Théorie des électrons
Deux théories des ions s'oflfrenl à nous coinine point de départ : une théorie élevée et une théorie élémentaire.
La première suppose pour les électrons une vitesse qui s'approche de celle de la lumière, l-es potentiels que rélectn>n exerce en un point de Tespace ne dépendent donc pas, à un moment déterminé^
CONTRIBUTION A LA THÉORIE DKS ÉLECTRONS ET DES IONS. 6o3
de sa position actuelle, mais d^une position antérieure. Un élément d'espace rempli de masses électriques qui se déplacent avec une vitesse >uisine de celle de la lumière, agit sur un point de l'espace environnant non seulement d'une autre place mais avec une force et une grandeur différentes. Les propositions développées dans ce qui suit n'ont rien à faire avec cette théorie élevée; elles supposent qu'il ne s'eierce sur l'électron en mouvement dans un champ électrique aucune autre force électrique que lorsqu'il est au repos, et que l'action électromagnétique que supporte un électron en mouvement dans un champ magnétique est déterminée par la loi de Biot et Savart.
Le mouvement d'une particule électrique dans un champ électromagnétique a été considéré, dans des cas spéciaux, par beaucoup de physiciens, par exemple par J.-J. Thomson, par Kaufmann, par Pellal, etc. Dans ce qui suit, nous chercherons à déterminer ce mouvement d'une façon un peu plus générale. Ce que nous dirons s'appliquera d'ailleurs à des particules électriques quelconques reliées à des masses qui les portent.
I" Equations du mouvement.
Soient
V = — Aar— B^ — r^
le potentiel électrostatique et
<JL' = — <Ao j- — Hl>^ — ^z
le potentiel magnétique; soient encore s la charge, [jl la masse de l'électron, c la vitesse de la lumière. Les équations du mouvement sont
^ dr- " ^ dx "^ c\ây dt dz dt / '
Désignons par A la vitesse linéaire de l'électron, l'intégrale de la force vi\e est
(Il Xî= xj 4-i?,Vo-v).
Toutes les fois qu'une particule traversera cette surface équipotentielle^ sa vitesse sera la même.
Introduisons, au lieu des potentiels V et 9f, les composantes des
6o4 EDUARD RIKCKE.
forces électriques et magnétiques. Les équations deviennent
dt^
Traçons maintenant par l'origine des coordtmnées une parallèle à la f(»rce magnétique H. Menons par Télectron un plan normal à H; soit h le point où il rencontre cette ligne; désignons aussi par h sa distance de l'origine des coordonnées. On a pour h l'équation
(2) ^ = iKcos(H, E),
E désignant ici la force électrostatique totale.
Le point h se déplace avec une accélération constante sur faxe parallèle à la ligne de force magnétique.
Menons encore par l'origine des coordonnées la direction E de la ligne de force électrostatique, et, par la position actuelle de la particule £ considérée, un plan perpendiculaire à cette direction E. Elle coupe celle-ci en un point e, dont la distance à l'origine sera égale à e. On a l'égalité
<5> ^^di^ = '^'^-cdi
Menons enfin par l'origine la droite N perpendiculaire à la fois à H et à E et de sens tel qu'on ait la même disposition pour le système d'axes H, E, N que pour le système x^ y^ z des a\es primitifs. Par la position de la particule menons un plan normal à la ligne N et la rencontrant en un point n distant de Torigine de la longueur n. On a
(4) ,xs.n(H,E)-^-=--H^ + -Hcos(H.E)3jr.
L'équation (2) donne
dt ~ \L
(5) -j7 = - Ecos(H,E)/H-cX.
On a donc, d'après les équations (3), (4), (5), les équations dilVérentielles suivantes pour /? et e :
CONTRIBUTION A LA THEORIB DBS ÉLECTRONS ET DES IONS. 6o5
En désignant par a Tangle de H et Ë, Tintégration des équations
donne
(8) A= ^«H-cJ^
eE COS*3t
A ./eH\ , /eH\
/* -h cj CCS s / H- a^ sin ( — t) -h Of ces ( — n ,
^K \cii I VcfJL /'
c Ë sin a . / e H \ . / e H \
— n — t -h ai sin ( — / ) -f- 61 ces ( — < ),
H \cfji / V^fA /
ou
at=6jsins, 61 = — aiSÏnoL.
En introduisant au lieu des constantes Ut et 6| les vitesses initiales cj et c'^ de la particule suivant les directions E et N, il vient
i eu / „ cEsina\ , eu . . ,.
i cix , ^ ^ , cusina/ „ cEsinxX
f ai= ^(cS— cjcosa), 6, = fl..|^c;H ^ j
En dehors des coordonnées A, e et /i, on peut enfin introduire encore une nouvelle coordonnée p comptée suivant un axe formant un système rectangulaire avec H et N et disposé comme le système x, V, z. On a donc
e — /i cos a
siiia
En désignant par cj la vitesse initiale dans la direction p, il vient
" Sin a
Si l'on applique d'abord ces formules au cas d'une intensité de champ magnétiiiue qui s'annule^ on a
e E h^c!tt, n = c'ât, e= — t* -r- c'a t -^ consl.
La trajectoire de la particule est une parabole dont l'axe est parallèle à la force électrique.
Si c'est l'intensité du champ électrique qui devient nulle,
iH „ . /cH ^ „ /eH \
— /i = cîf sin ( — M H- cj cos ( — / ), cil \cji / V^f^ /
êH „ . / eH X „ /eH \
— i? = cJi sin ( — t — c'û' cos — t )•
6o6 EDUARD RI£CKE.
La projection de la particule sur le plan PN normal à la direction de la force magnétique décrit donc un cercle de diamètre
eH
La durée de rotation est égale à ait-—-
Dans l'espace la particule décrit une hélice dont le pas est donné par
Nous simplifierons le cas général de la superposition d'un champ
électrique et d'un champ magnétique en supposant que leurs lignes
de force respectives se coupent rectangulairement. f )n a donc p-^e
et
, . /eH \ /eH \
= b\ Pin ( — t ) — Oi cos ( — / ),
c ^ . /eH \ , /eH \
n —— rr E^ H- ai 8in ( — ^ M- 61 cos ( — / ).
H > c fi / ^ c ^ /
Posons
c c- • /£H \ , /eH \
/ij = — 0*^'» /ij = ai sm f — M -f- Oj cos ( — t\.
Le mouvement dans le plan EN normal aux lignes de force magnétiques se réduit donc à un déplacement dans la direction de l'axe des N, c'est-à-dire normalement à la direction de la force électrique, avec la vitesse
et en une oscillation dont les composantes sont données par
i . /eH \ /eH \
« = ©i sin ( / ) — flj cos ( — 1 1 ,
\C[X / \cji /*
. /eH \ , /eH \
/i, = a\ sin ( - — n -h 61 eus ( — / 1 .
La combinaison de ces deux équations donne une rotation sur un
(•) E. RiECKE, Wied. Ann., t. XIII, 1881, p. 191. — Schister, Proc. Boy. Soc,, t. XXXVII, 1884. p. ^17-
CONTaiBVTION A LA THEORIE DKS ÉLECTRONS ET DES IONS 607
cercle de rayon
rh/i'-'iï -'■'■
La vitesse linéaire de la particule sur ce cercle est
flE + <^ï)
^.E-hc2) -+-c:\
lien résulte que, suivant que cette vitesse est inférieure ou supérieure à fa vitesse linéaire du centre^ la particule se déplace dans te plan EN sur une cycloïde diminuée ou augmentée.
Si les vitesses initiales c^ etc^^ sont nulles, nous obtenons comme trajectoire dans le plan EN une cycloïde ordinaire.
lia pente d'un arc de cycloïde a pour longueur
c«Li E E
Dans le cas général où l'angle a a une valeur quelconque comprise entre 0 et ^» on a, dans le plan EN, au lieu du cercle obtenu pour
i=-, une ellipse dont le grand axe a la direction N et la courbe
que décrit le centre de l'ellipse est une parabole dont l'axe a la direction Ë.
Siy enfin^ les directions des lignes de force magnétique et électrique sont les mêmes, la particule se déplace dans leur direction avec la vitesse uniformément accélérée C* -h —Ht. Sa projection sur un plan normal à la direction des forces décrit un cercle de
C Mm
ravon -^^^q. Dans l'espace elle se déplace sur une hélice dont le pas
augmente régulièrement.
Dans ce qui précède, les champs électrique et magnétique sont supposés homogènes. La considération de champs non homogènes olTrirait des difficultés beaucoup plus grandes. Pour me rapprocher des phénomènes connus observés dans les tubes de Geissier à cathode formée par un fil, j'ai encore envisagé le cas suivant. Je suppose que la cathode est formée par un cylindre infiniment long de rayon a; que les lignes de force magnétique sont parallèles à l'axe du cylindre, le champ étant homogène. Soit Ua le potentiel électrostatique sur la surface de la cathode, u en un autre point quelconque.
- -fr ^ je* «M^ualions de-
ff Si e- ÀimàâL -^ IL-
■5î^'"iij;jii..i4r.
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••iiiiimir -aair*f. >'iir .#**iii*ft :•»«> ^«*> i«>a> ^^ii preonenl naissance à un
*'**rtaia Jia HUifiu ?*)iii:. tu jic^aie jx^t^ftaC p«>«sâ«> sur les plaques du
«! »}ai Itfaàace^ir .
ExL oitf rapc^^iaoc «'ifruîiivf^ «f ï]}<rî<eBio^» «le M. Hanns ( * ) il m'a fsàm imc«*T«>saar >i~<ftrfa^tF« U thti^r^xie aa ca> où les courants s'appr*><k«iit «iif ta sèCiirèd*>a. *Ja penC eicrire tout de suite les équations fondame&iai>» d<f là tîke»>rie.
!>oil \ la densité de> î*>as p>sitît*s. N celle des ions négatifs. Soit q le nombre de^ ions qui prennent naissance en une seconde par centimètre cube. Soit zNN le nombre de ceux qui disparaissent dans le même temps en se recombinant. Soient Ej-, E^y E^, les composantes de la force électrostatique^ L et V les quantités de mouvement abso-
lues des ions, X* et A leurs coefficients de diffusion, i> la vitesse de la lumière, e le quantum élémentaire dans la masse électrostatique.
(') Physik. Zeitschr.f 4* année, p. 11.
