W„.-W, = -///(EF
no^)
Cette dernière expression aurait pu s'obtenir directement à partir de la définition des énergies électrique et magnétique et des équations (loc). L'équation (9^) donne, si l'on tient compte de (10/),
Il est utile de remarquer que les équations (10) à (10 A) sont indép«?ndantes de la répartition de la charge portée par l'électron puisque nous n'avons pas fait intervenir jusqu'ici la symétrie supposée à celui-ci.
Cherchons comment se comporte à l'infini le potentiel scalaire <ï>. Nous pouvons faire correspondre l'électron et son champ à un système immobile au moyen de la transformation
(Il ' X =
v/i-pi
qui nous conduit à un système réel si ^ •< i, c'est-à-dire si la vitesse de l'électron est inférieure à celle de la lumière. S'il en est ainsi, le potentiel <ï> satisfait dans le système déformé à l'équation de Poisson
àx'^ ôy^ dz^ S. P.
itiimtnf^ -»i»i -n ''Miiait*. -•mt -»a -Hirar.it- L* tké^ivieda potentiel montre ni#t • ■«ir»* « ci-*;*n«'^ 'niiuii#* .'ara-'ir*^ •!■ ni^«>n. Il en e*t de même •trt ''*r*:i t*rv **niiài;nfiir . i'X ^ . -f p»:H«r \j.*?t s: et il résulte de ' io6». • r' nit* -•*^ rr»aio«'»*«*at«*> 'i»t E. H. F varient à Tinfiiu comme U'.n -'^rx 01 u*r-^ fii rè^-va, • i^ci.èiiri oci mienl à rélectron en mou- ^♦»:iir^îii:. 3j*r .;* "r^nbîftkraïaaija : e . *îi^»- ré^HiltaU subsistent, et lé«:ilimf*ar ^* c»tm«!a.'*f:rid)a it^ant^t»^ ^n piva^rrapbe i an sujet des iotéir»irr>- te -riii^!»»- E a»t *<r*it p<i* plu* difficile d'étendre cetle d*i nioQi<n ni }tL tn «^a»»! la»* r^p;»rtiti^^o quelconque des charges, mais <:k«:i Of xij* iKtôfinif^r^it «l^ p»HiLt'?> plii.« importants pour notre objet. Lf* nr-^ïiitèt es^^ntïi»! «t^ qn*? /^.# éf/aaiions du mouvement (\ II/ï , \il^ - /^ prifkrip^ dé^ 4^ Hemf^rt < VII, e/ /a loi d^ énergie (M) ^/iw>f/i/ <7r*? appli'fiêé.f lort^fue Us conditions initiales du mouvement rorrespondent a une translation uniforme de / = — x a / = « » si la ritesu^ de ^ette translation est inférieure à celle de la lumière.
Nous supp»>serons cetle dernière condition remplie. Il nous faut chercher si. en admettant les équations du mouvement, une force extérieure est nécessaire pour maintenir la translation uniforme. Comme l'électron entraine avec lui son champ électromagnétique et^ par suite, son impubion et son moment d^impulsion, on a
dG dM
-dr = -dT = ''^
aucune force extérieure K n'est donc nécessaire, mais il faut un couple 6 = [VG] à moins que le vecteur d'impulsion G ne soit parallèle à la direction du mouvement. Il résulte d'ailleurs des lois générales du mouvement qu'un couple est nécessaire lorsque l'impulsion est oblique par rapport à la vitesse. Dans ce cas, en elFel, le moment de l'impulsion par rapport à un point fixe varie avec le temps puisque l'impulsion passe toujours par le centre de l'électron. Ce changement du moment de la (piantité de mouvement nécessite un couple extérieur. C/n mouvement de translation uniforme ne se maintient sans forces extérieures que si l'impulsion est parallèle à la vitesse. Cette condition fait intervenir la forme et la répartition de la charge en mouvement; la svmétrie que nous supposons à Félectron intervient ici. Si nous le supposons tout d'abord symétrique par rapport à deux plans perpendiculaiivs passant par la direction de la vitesse, il est facile de montrer que les composantes perpendicu-
PRINCIPES DE LA DYNAMIQUE DE l/ÉLECTRON. 35
laires à la vitesse G^, G^ àe la quantité de mouvement s'annulent. Choisissons les deux plans de symétrie comme plans coordonnés (^*, J')^ (-^^ ^)î l'équation difrérentielle(io) n'est pas modifiée quand on change r en — y et 3 en — z. Donc
*(— J^ ) = ***( JK), *(— -s) = *(2);
il en résulte, en tenant compte de (106), (loc) :
Ej-, Ey, Hz sont symétriques par rapport au plan des (x^y); E-, H^ sont antisymétriques par rapport au plan des (x^y); Ej., Ej, Hy sont symétriques par rapport au plan des (x, z) ; Ej, Hs sont antisymétriques par rapport au plan des (x^ z).
Comme Hx= o, il en résulte que P^- est antisymétrique par rapport au plan des (x, s) et que P^ est antisymétrique par rapport au plan des (X, y). Les portions que fournissent dans la composante G^ deux éléments de volume symétriques par rapport au plan des (x, z) se détruisent mutuellement, et il en est de même dans le cas de G^ pour deux éléments de volume symétriques par rapport au plan des (x^ y). Des considérations analogues permettent de montrer que les trois composantes du moment d'impulsion sont nulles. Ce qui importe ici est que : si la répartition de la charge est symétrique par rapport à deux plans perpendiculaires passant par la direction de la vitesse, le vecteur d'impulsion G est parallèle à la vitesse.
La condition du mouvement stationnaire sans forces extérieures est remplie, par exemple, pour un ellipsoïde uniformément chargé et se mouvant dans la direction de l'un de ses trois axes. On démontrera au paragraphe 12 que seul le mouvement parallèle au grand axe est stable. Pour un électron sphérique chargé uniformément en volume ou en surface, la condition est remplie pour le mouvement dans une direction quelconque.
Le principe de l'inertie est donc applicable à l'électron de la manière suivante : aucune force ou aucun couple n'est nécessaire pour maintenir le mouvement de translation uniforme d' un électron sphérique si ce mouvement dure depuis un temps infini et si sa vitesse est inférieure à celle de la lumière,
7. — Calcul de l'impulsion et de Ténergie à partir de la fonction de Lagrange.
Nous appellerons /o/ic^£0/i de Lagrange de l'électron la différence entre son énergie magnétique et son énergie électrique, en raison des
analo^e» démontrées pia« loîa arec la Mécanique analytique, en posant
L'équation ^oi^ante. conséquence de dog )^
peut se mettre, en tenant compte de ( II r/, (lo^) et de la règle e, sous la forme
Si la surface S s'éloigne indéfiniment, ^ s^annule en raison inverse du rayon et Ely comme son carré, ainsi qu'on Ta vu au paragraphe précédent. L'intégrale de surface s'annule donc à l'infini et Ton obtient la relation de Searle ( * )
La fonction de Lagrange se trouve ainsi exprimée par une intégrale étendue au volume de r électron et où figure le potentiel de confection.
Dans le cas particulier actuel d'une translation uniforme, la fonction de Lagrange ne dépend que de la vitesse actuelle v. En dilTérentiant par rapport à celle-ci, il vient d'après {\og)
\ou» faisons intervenir sous le signe j des dérivées partielles pour
indiquer que les dérivées par rapport à r sont prises en un point lié HH\ aies mobiles; comme la répartition des charges est indépendante
f-, G.'W.-C. Searle, Phit. Trans., iî<7 \, 1S96, p. Ô73-715. - Dans mun premier H/km/fir^, ( Ooit, \achr., «90 J, p. 39) j'ai nouime Iji fonolion l =1 \V^ — \V^ U f»>nct*/rn àt, tffc*: de rélcciron pour appeler laiieotioa sur I aaakk^ie êiectn>sia tique.
PRINCIPES DE LA DYNAMIQUE DE l'ÊLEGTRON. 87
tin
de la vitesse, on doit supposer -r^- = o. L'équation (lorf) donne pour la deuxième des intégrales ci-dessus la valeur
En tenant compte de (loc) et de la manière dont cp et Elv se comportent à rinfini, on obtient pour cette intégrale
En transformant la première intégrale au moyen de (loe) nous obtenons
ou
La composante de la quantité de mouvement dans la direction de la vitesse est égale à la dérivée de la fonction de La g range par rapport à la vitesse.
De (12), (i2c), (10^), (10 A) résulte l'expression de Fénergie analogue à celle de la Mécanique analytique
i\id) W=— L-f-i^-j-.
dv
Les relations (12) à (i2rf) sont exactes pour une répartition quelconque des charges; pour un électron symétrique Gx= G, la mesure de l'impulsion. Les équations (12 c), (12 d) permettent de calculer l'impulsion et l^ énergie à partir de la fonction de Lagrange.
Pour déterminer cette fonction au moyen de la relation (12a), il nous faut connaître d'abord le potentiel de convection. Celui-ci, d'après les équations (10), (loc) doit satisfaire à l'équation différentielle
Pour résoudre celle-ci nous allons utiliser une propriété de la trans-
formation (i i) employée par H. -A. Lorentz (' ) et Searle ('^). Nous faisons correspondre an système mobile S, constitué par l'électron et son (^liamp, un système fixe S' au moyen de la transformation
{lia) X = ^, r=r» z = z.
Le système S' résulte donc d'une dilatation du système S parallèlement à Taxe des x dans le rapport • Les charges doivent être
les mêmes pour des éléments de volume correspondants: donc Il résulte de (i3)
I^e potentiel électrostatique cp' du système immobile S' satisfait à ré(|uation de Poisson
d'où
(lie) 9 = o' y/i 3*.
On a d'ailleurs
Si nous représentons par
''^'^.ff.f'i''''
l'énergie électrostatique du système S', nous aurons pour la fonction de I-agrange, d'après (12a).
(i4) L =: - /T^rp w;.
La détermination de la fonction de La grange est ainsi ramenée au calcul de l^ énergie électrostatique dhin système immobile;
(•) H. -A. LoRKNTZ, toc. cit., p. 36.
(=) G.-F.-C. Searle, Phil. Mag., i. \LIV, 1897, P- ^29.
PRINCIPKS DE LA DYNAMIQUE DK l'ÊLECTRON. 89
celui-ci est obtenu à partir du système mobile par une dilalation (i3a) parallèle à la xntesse; la charge d^un élément de volume et par suite la charge totale restant invariables.
Ce résultai est valable pour une répartition quelconque des charges; appliquons-le maintenant au cas de l'électron sphérique. Dans le cas d'une charge uniforme en volume pour celui-ci, son image dans S' est un ellipsoïde de révolution dont les demi-a^es sont, si le rayon de la sphère est a,
(i4«) = fi\ a. a.
Dans le cas de la charge superficielle, la charge e est en S' uniformément répartie sur une couche mince limitée par deux ellipsoïdes homothf'tiques. Le potentiel o' dû à cette charge est constant à l'intérieur; la répartition correspond à l'équilibre sur un ellipsoïde de ré\olution conducteur.
Si Q' est la capacité d'un ellipsoïde ayant les demi-axes considérés (i4«), on a (')
loff ( —
L'énergie électrostatique du système S' est donc, dans le cas de la charge superficielle,
(•4c) W' = -7-7= 7 Og ^.
Le cas de la charge en volume se ramène à celui de la charge superficielle. La théorie du potentiel conduit en eflet à la loi remarquable que les énergies électrostatiques de deux ellipsoïdes de même forme, dont l'un est uniformément chargé en volume, dont l'autre est sup-
posé conducteur et en équilibre, sont dans le rapport -• Il en résulte
pour l'énergie du système S', dans le cas de la charge en volume,
La fonction de Lagrange est dans ce cas
(') Cf.i.-C Maxwbll, Traité, t. I, p. iSa.
4o MAX ABRAHAM.
d'après (12c) la quantité de mouvement ou impulsion est (i5a) G:^ = ST-lo- g. — I ,
et d'après (12/Y) IVnergie
(.56) W=-L^^G=iJ[ilogi^-.].
Par addition et soustraction de (i5), (i5 6) on obtient, pour les énergies électrique et magnt^tique,
(i^r) V^r ~ ^iog & —I h
^ ^ 10 a L îi3 ^ 1 " p J'
Si l'on développe ces dernières expressions en série suivant les puissances croissantes de jî- en négligeant les ternies de Tordre ^*, on obtient
(i5«.) W,= |-, VV„=i-i--.
Pour les rayons cathodiques de faible vitesse, Ténergic électrique est donc indépendante de la vitesse et Téncrgie magnétique est proportionnelle au carré de celle-ci, comme les énergies potentielle et cinétique de la Mécanique ordinaire. Aux grandes vitesses la relation des énergies électrique et magnétique avec la vitesse est plus compliquée, mais il est remarquable que les équations de la Mécanique de ÏAigrange restent anplicables,
8. — Translation qnasi-stationnaire. Masse électromagnétique.
Les deux paragraphes précédents nous ont donné les champs, l'énergie et l'impulsion qui correspondent à une translation uniforme. Ces quantités dépendent seulement de la vitesse, et ceci n'est rigoureux que si la vitesse est restée constante depuis un temps infini. Toute accélération subie par Télectron se traduit parce fait, qu'à partir du point 011 l'électron se trouvait à ce moment, une onde électromagnétique se propage dans l'espace avec la vitesse de la lumière. Les champs contenus dans celte onde et par suite la densité de leur énergie et de leur quantité de mouvement dépendent de l'accélération subie par l'électron. Si donc l'électron a subi une accélération à un
PRINCIPES DK LA DVNAMIQrE DE l'kLECTRON. 4i
instant quelconque, son énergie et sa quantité de mouvement ne dépendent plus seulement de sa vitesse actuelle, et les formules du paraj^raphe précédent ne sont plus exactes. Celle circonstance rend difficile la solution du problème d'un mouvement non uniforme. Nous allons utiliser une méthode d'approximation introduite déjà en Eleclrodynamique.
Si le courant dans un conducteur est stationnaire, si son intensité esl constante, le champ magnétique produit est défini par cette intensilé de courant; mais, si l'intensité change, le champ ne correspond plus exactement à l'intensité actuelle, mais dépend aussi de la variation avec le temps. Pour des variations rapides comme les oscillations hertziennes, cette circonstance joue un rôle essentiel et se manifeste en particulier par les ondes qu'émet l'excitateur de Hertz. Dans la théorie des courants alternatifs de faible fréquence on n'en tient généralement pas compte. On calcule l'intensité du champ magnétique comme si l'intensité et la répartition actuelles du courant étaient slationnaires, et l'on calcule, à partfr de l'énergie de ce champ magnétique, la self-induction qui s'oppose à une variation de ce courant. Celte théorie du courant quasi-stationnaire s^ est inonin^e largement suffisante pour des courants lentement variables : le rayonnement né|^ligé n'intervient de manière appréciable que dans les variations rapides.
Au courant de conduction stationnaire correspond un courant de coQvection stationnaire, c'est-à-dire un électron en mouvement uniforme. \u courant quasi-stationnaire correspond un mouvement quasi-stationnaire. Nous dirons qu'un mouvement est quasi-stationnaire quand le changement de vitesse est assez lent pour qu'on puisse calculer l'impulsion en fonction de la vitesse actuelle, comme pour le mouvement uniforme. Nous préciserons au paragraphe suivant les conditions nécessaires.
A la self-induction dans la théorie du courant correspond dans la dynamique de l'électron la masse électrom,a g nétique , L'expérience a montré qu'il était nécessaire d'attribuer aux électrons une masse, constante dans le cas des rayons cathodiques et variable avec la vitesse dans le cas des rayons de Becquerel. Le deuxième axiome de Newton s'est aussi vérifié dans ce sens que le quotient de la force par l'accélération est indépendant de la force. Pour trouver une relation de ce genre à partir de la théorie électromagnélique, nous partons d'un mouvement qui satisfait au principe de l'inertie, du mouvement de translation pure que nous modifions par une force extérieure en pro-
(luisant une accélération dont la relation à la force permet de définir une masse électromagnétique.
Pour un mouvement quasi-stationnaire et sans rotation, la quantité de mouvement de l'électron est parallèle à la vitesse; donc [VG] = o, et de plus le moment d'impulsion est nul. La deuxième des équations de mouvement (Vil 6) est satisfaite pour la translation pure sans intervention de couple. La première équation de mouvement (Vlla) donne la force
la grandeur G de l'impulsion dépend uniquement de la vitesse actuelle v dans le mouvement quasi-stationnaire.
Décomposons la force extérieure K en une composante K^ dans la direction du mouvement et une composante normale K.„. La première produit un accroissement de la composante tangentielle de l'impulsion, la seconde un changement dans la direction de l'impulsion. Comme G et V sont parallèles au mouvement, les composantes de leur variation avec le temps dans la direction de la vitesse sont les dérivées par rapport au temps de leur mesure. Il en résulte
dG dG dv ^^ dt " dv dt'
Nous appellerons masse électromagnétique longitudinale le quotient de la composante tangentielle de la force par Taccélération tangentielle
La composante normale de la force se calcule de la manière suivante : l'impulsion est toujours parallèle au mouvement et tourne
comme la vitesse c avec la vitesse angulaire - si r est le rayon de
rIC
courbure de la trajectoire. La composante cherchée de -i- est donc
et est dirigée vers le centre de courbure de la trajectoire. La composante K,^ est donc parallèle au rayon de courbure; la composante
correspondante de l'accéléra lion est — : donc le quotient de la force
normale par l'accélération normale, la masse électromagnétique
PRINCIPES DE LA OYNAMIQUR DE l'ÉLECTRON. 43
transversale, a pour valeur
Pour un mouvement lent, comme il résulte de (i3a), l'impulsion G est proportionnelle à la vitesse : la masse longitudinale est alors égale à la masse transversale; ce résultat obtenu expérimentalement pour les ravons cathodiques s'explique par les formules (i6rt), (166) au point de vue électromagnétique. On obtient comme limite commune des deux masses
(l6c) |JI, = ^,=:{Xo,
OÙ
[io= T — pour la charge en volume,
{lo = « — pour la charge superficielle.
£= - représente ici la charge mesurée en unités électromagnétiques.
Les mesures les plus précises effectuées sur les rayons cathodiques donnent ( * )
— = 1,865 X lo'.
D'où Ton déduit, pour le rayon de l'électron,
^ a = -. e. 1,865 x 10' pour la charge en volume,
' a = -e. 1,865 X 10'' pour la charge superficielle.
La faible différence des facteurs numériques est moins importante ici que l'incertitude sur la charge élémentaire e. Si on la suppose ^gale à la charge atomique (^)
1 X io-'<>< e < 20 X io-><>, d'où
iQ-*' cm. < a < iQ-'* cm.
U champ électrique — à la surface de l'électron a pour valeur en unités électrostatiques 2 x lo'^ à 2 x lo'*; pour les grandes vitesses
Cj S. Si.MOX, Wied. Ann,, t. LXIX, 1899, p. 599. — NV. Seitz, Ann. d. Phys., t. VUI, 1902, p. 233.
(-) C/, E. RiECKE, Lehrb, d. Phys., t. II, 2' édit., 1902, p. 382 et 386.
il existe à la surface un champ ma^iiélique du même ordre. Les intensiiés de champs auxquelles notre théorie conduit surpassent 10*=^ fois les intensités expérimentales.
Si la vitesse de l'électron n'est plus petite par rapport à celle de la lumière, l'impulsion n'est plus proportionnelle à la vitesse ; les masses longitudinale et transversale dépendent de la vitesse et de manières dill'érentes. La formule {loa] donne
Ces formules pour les masses longitudinale et transversale sont exactes aussi bien pour la charge en volume que pour la charge en sur/ace.
C'est la formule (i^/) que M. Kaufmann a cherché à vérifier par ses mesures sur la déviation des rayons de Becquerel dans l'intervalle p = o,6 à ^ = 0,95 environ. Il a trouvé que le résultat du calcul se confirme dans la limite des erreurs d'expérience (1 à i,5 pour 100). On ne possède pas encore de mesures pour les vitesses moyennes (^ = 0,3 à 0,6), pas plus que sur la masse longitudinale.
En développant suivant les puissances croissantes de p, on obtient les séries suivantes, convergentes pour ^ <C 1 1
Il en résulte qu'à l'exception des mouvements très lents, la masse longitudinale est toujours plus grande que la masse transversale. L'accélération résultante ne coïncide pas avec la direction de la force, mais fait avec la vitesse un angle plus grand que la force, sauf dans le
cas où cet anffle est o ou - •
La relation entre la force et ^accélération est représentée dans la dynamique de Vélectron par une relation sectorielle linéaire, de forme plus générale que dans la Dynamique ordinaire. La
Ti^asse électromagnétique, (^ensemble des coefficients de la relation o^ctorielle linéaire est un tenseur (*) de révolution autour de la dirtction du mouvement.
9. — Rayonnement dû à une accélération de l'électron. Limites du mouvement quasi-stationnaire.
La définilion d'une masse électromagnétique et la conception précédente de l'énergie font jouer un rôle essentiel au mouvement quasisUtionnaire. Quelles sont les conditions d' un semblable mouvement? Il est assez difficile de répondre à cette question de manière complète. Pour connaître Terreur commise en supposant le mouvement quasi-stationnaire, il faudrait connaître exactement la répartilion du champ qui résulte de tout le mouvement antérieur de l'électron. Nous nous proposons seulement ici d'obtenir un ordre de grandeur pour cette erreur et nous allons employer une méthode toule différente, qui assimile Télectron à un point chargé et calcule le champ et l'impulsion en utilisant les résultats donnés par MM. Wiecherl(=*) et Des Coudres (^) dans le Livre jubilaire de M. Lorentz.
Nous supposerons Félectron se mouvant depuis un temps très long avec la vitesse v^* A Tinstant ^i, au point P|, une force extérieure commence à agir jusqu'à l'instant t^ où Télectron se trouve en P^, après quoi la vitesse reste constante et égale à v^' Les résultats invoqués plus haut permettent de déterminer à l'instant ultérieur t^ l'état du champ électromagnétique, l'électron se trouvant en P.,. \ rextérieur de la sphère K, de centre P| et de rayon c{t^ — /| ), le ' champ correspond au mouvement uniforme de vitesse i',. A l'intéi rieur de la sphère K.2, de centre P2 et de rayon ^(^3 — t^)-, le champ correspond au mouvement uniforme de vitesse v.,, jNous supposerons que la \itesse de la lumière n'est jamais atteinte ni dépassée par l'électron, donc Rj est intérieure à K, et la région comprise entre ces <leux sphères dépend seule de l'accélération subie par l'électron entre t^ et t,. Si cette région du champ est suffisamment éloignée de I électron par rapport à son rayon a, on peut supposer la charge ponc-
Cj Cf. W. VoiûT, Die fundamentaten physikatischen Eigenschaften der Krys- ^ie, Leipzig. 1898. — Max Abraham, Encyktop, der mathem. Wissens , t. IV, *y>i, art. 14.
(*) E. WiECHERT, Arch. Néerl., 2* série, t. V, 1900, p. 549; Ann. d. Phys., t. IV, 1901, p. 667.
(') Th. des Coudrks, Arch. Néert., 2' série, t. V, 1900, p. 65a.
4V\ iil4H%1l.
•'•■—-••• -il» I. k f " Zr*t/tf*.S*^ A
— -. jrantl par rapport a a,
..r i'- 4 *is.iïit-»e le P, au point 1#» plu? \«iî>in de la sphère* K,
• .- n.L'«»r* tii r»VMii de rr*lertron. Il e<l d'ailleurs nrces-
.^. .1 il »ui>**e j-isïfiiîler rrlectron à un point, que la \ilesse
^- .1- :»: naciiere appréciable pendant le temps que niella
,ii>'ut"*r :e «iiamèire 2^ de l'électron en mouvement avec
.. . ► jui •••rr»;'sp<>nd à \ hypothèse B
ik }a
- — peut par rapport à i.
V. .^ -ui.-i.»'»>*»u> •i««nc I accélération assez faible pour que la con- . > -V II '•^'iiipiie, et nous considérons l'état du champ à un ^ .» . K* \\i*r îa •:t»ntlilion \ soit satisfaite.
i H. ^^ «'< •iti'ri et «le* Coudres ont donné les formules qui expriinenl
^ * .r ,4ii« »s ^ et V dans l'intervalli* des sphères K* et K| sans déduire
^ -.luviic^ II:,' , i Il/n les intensit«*s des champs. Après avoir
.«.*'. t^ iitlerentialions passablement complexes que ces formules
.»^. S«**»** "-'^ obtenu les \ecteurs E, H. j'ai calculé l'énerjiie et la
.ut H- iiiiui\ement comprises entre les deux sphères. Les rayons
. ^ >fiiK*re> augmentent indéfiniment avec /j et en même temps X ,«,iiitit«> calculées converjjenl vers les limites A\V, AG données •.* l '^ vpressioas suivantes où je pose
,.-3.sin«,, •" ' < I — 3« »'
.. - v*>i I au;: le de la \itesse et de l'accélération ^\
V'ox formules donnent Ténerj^ie et la quantité de mouvement »,»\v»iiuoe^ p*«f IVIectn^n. La formule (l'a) peut servir à calculer l ouor^io éuûse sous forme de rayons de R/inlgen au moment de l triVt brusque de particules cathodiques en mouvement. Dans le cas louito ilu mt>u\emeut lent, on retrouve, pour l'énergie rayonnée par MuUc de leuq»<, IVxpivssion connue
PRINCIPES DE LA DYNAMIOVE DE l'ÉLECTRON. 47
Dans le cas d'un moiivenienl rapide, cetle énergie rayonnée par unilc de temps est didérente siiivanl que l'accéléraliou est longitudinale ou transversale. Dans le premier cas on a
et dans le second
La quantité de mouvement émise par unité de temps est
elle est parallèle à la direction de la vitesse.
La formule (17^) va nous servir pour fixer les limites du mouvement quasi-stalionnaire. La différence entre la quantité de mouvement G2 calculée dans cette hypothèse où la vitesse aurait été constamment V.2 et la [quantité de mouvement vraie G3 a pour limite AG quand tz augmente indéfiniment
G3 = Gj-H aG.
La théorie du mouvement quasi-stationnaire conduit à écrire
- G, = r ^Krit.
L'erreur relative commise est
Gj — Gj AG
Gj Gi Gj — Gi
Si nous faisons V hypothèse G
3 "5 P/(?)ï' petit par rapport à K,
1 erreur relative (186) est négligeable. Or, pour l'accélération longitudinale
K --= K,= fx,Y, pour l'accélération transversale
K = K„== fji,Y»
où Ton doit poser, si la charge de l'électron est en volume.
jH MA\ \BaAH.\M. ~ PBINCIPES DE L\ DYNAMIQUE DE L ELECTRON.
Lu condition C se décompose par suite en deux : ( C| ) — — ^"ôir-, — hr- P^t'l par rapport a i,
/>ow/- r accélération longitudinale;
lo a S y
((]i) ; ^-ôTTz , Q petit par rapport à i,
pour l'accélération transversale.
La condition B doit être en même temps satisfaite et peut s'écrire
(B) 2^ -^v petit par rapport à i.
La comparaison des conditions B et C nous entraînerait trop loin. Pour les mouvements lents, le facteur de y dans B est plus grand que dans G et la première condition seule subsiste. Pour voir avec quelle approximation les conditions de mouvement quasi-stationnaire sont remplies dans les mouvements les plus rapides accessibles à l'expérience, plaçons-nous dans un cas aussi défavorable que possible, celui des rayons de Becquerel les plus rapides étudiés par Kaufmann; on a, pour ceux-ci,
3 = 0,95, ,p = o,o5, i^rp) = 3.
Comme il s'agit ici d'accélération transversale, la condition (Cj) intervient dans laquelle
OÙ r est le rayon de courbure de la trajectoire, égal à 12*""' dans un champ magnétique de 3oo unités ; si l'on suppose enfin « = i o~* ^ centimètres, on obtient pour les expressions (C2) et (B) la même valeur .'^Xio""'^. Quand même on supposerait un champ magnétique cent fois plus intense, l'erreur relative resterait encore inférieure à lO"*. La théorie du mouvement quasi-stationnaire est donc applicable dans tous les cas expérimentaux aux rayons de Becquerel les p lu s rap ides .
