Introduction

Les travaux de nombreux physiciens ont conduit à cette hypothèse que les rayons cathodiques et les rayons de Becquerel nous mettent en présence d^atomes d'électricité négative, d'électrons en mouvement ('). Les recherches sur les rayons cathodiques donnent, pour le quotient de la charge par la masse de ces particules, la valeur même que l'on peut déduire de l'effet Zeeman sous sa forme la plus simple pour les particules électrisées dont les oscillations produisent la lumière. Ce résultat a permis à M. Wiechert(^) de relier la théorie des rayons cathodiques aux conceptions de M. Lorentz (=*) sur la théorie électromagnétique de la lumière, où le rôle joué par la matière dans les phénomènes électriques et optiques est expliqué par le mouvement de particules électrisées. Le problème de la dynamique

(') Cf. W. Kalfmann, Die Entwickelung des Elektronenbegriffes. {Verhandl. der 73. yatur/orscherversammlung in Hamburg, p. ii5). — Phys. Zeits., t. III,

«90^ P- 9- (') E. WiECHERT, GôUinger JVachrichten, 1898, p. 87.— Grundlagen der Elek-

trodynamik, p. 93. Leipzig, 1899.

(*) H.-A. Lorentz, Versuch einer Théorie der elektrischen und opiischen Er-

scheinungen in bewegten Korpern. Leiden, 1896.

des électrons est d'importance fondamentale pour cette théorie électronique de C électrodvnamique.

En particulier, la question suivante se pose : l'inertie d'un électron résulte-t-elle entièrement du champ électromagnétique qu'il produit, ou est-il nécessaire, en dehors de la masse électroma^^nétique, d'admettre une niasse matérielle indépendante de la charge électrique? La première opinion a été émise par MM. W. Sutherland (*) et P. Drude (^). Comme l'ont fait remarquer MM. Th. des Coudres (' ) et H. -A. Lorentz (^), la réponse à cette question peut être cherchée dans les phénomènes d'inertie présentés par les électrons aux vitesses suffisamment grandes, de même ordre que celle de la lumière; en fait, une masse matérielle liée à ces particules serait indépendante de la vitesse, tandis qu'au contraire l'inertie liée au champ électromagnétique doit être une fonction de la vitesse. Si l'on réussit à édifier la dynamique des électrons sans introduction de niasse matérielle, on aboutit à la possibilité de fonder la Mécanique entière sur une base électromagnétique (^).

La solution de ce problème fondamental, pour l'Electromagnélisme comme pour la Mécanique, apparut plus prochaine lorsque M. Kaufmann (") eut trouvé, au cours de ses recherches sur les déviations des rayons de Becquerel par les champs électrique et magnétique, que la vitesse des électrons y était voisine de celle de la lumière et que leur inertie augmentait nettement avec leur vitesse. Il n'était pas possible, dans l'état actuel de la théorie, de savoir si la variation expérimentale de la masse avec la vitesse se laissait interpréter de manière purement électromagnétique.

M. O. Heaviside (') avait calculé l'énergie magnétique seulement pour un électron de faible vitesse, et la formule donnée par M. J.-J. Thomson (*) pour la masse apparente d'un électron sphérique de grande vitesse était incomplète. Les recherches théoriques de MM. W.-

(*) W. Sutherland, Phil. Mag., t. XLVII, 1899, P- 269.

(') P. Drude, Ann, der Phys., t. I, 1900, p. 566 et 609.

(') Th. des Coudres, Verfiand. d. phys. Gesells. zu Berlin, t. XVII, 1898, p. 60.

(*) H. A. Lorentz, Phys, Zeits., t. Il, 1900, p. 78.

(*) W. WiEX, Arch. Néerl., a- série, t. V, 1900, p. 96. — {Lorentz Festschrift) Ann. d. Phys., t. V, 1901, p. 5oi.

(•) W. Kaikmanx, Gotf.inger \achricht., 1901, p. ij3.

O O. Heaviside, Phil. Mag., t. WMI, 1S89, p. 324. — Electrical Papers, t. II, p. 5o5.

(*; J.-J. Thomson, Récent Besearches, 1893, p. ai.

PRINCIPES DK LA DYNAMIQL'E DE L ELECTRON. S

B. Morlon (•) et G.-F.-C. Searle ('-') avaient abouti à Texpression exacte du champ électromagnétique accompagnant un conducteur ellipsoïdal chargé en mouvement uniforme et, [)ar suite, à Ténergie électromagnétique d'un électron; d'où la possibilité de calculer seulement la masse lona^itudinale, l'inertie qui s'oppose à une accélération parallèle à la direction du mouvement; la masse transversale qui intervient seule dans les expériences de déviation ne peut se déduire de l'énergie électromagnétique seule.

D'un autre côté, les formules données par M. Lorentz (*) sans démonstration, pour les masses longitudinale et transversale, contiennent seulement les deux premiers termes de leur développement en séries suivant les puissances du carré de la vitesse; elles constituent une approximation suffisante pour les rayons cathodiques, mais pas pour les rayons de Becquerel. I^a théorie en était à ce point lorsque j'ai publié (^) mon premier Travail sur la dynamique de l'électron.

La formule à laquelle j'étais conduit pour la masse transversale sembla d'abord ne pas s'accorder de manière satisfaisante avec la variation expérimentale de l'inertie en fonction de la vitesse. M. Raufmann (*) réussit cependant, par une méthode de calcul convenable, à éliminer une erreur qui provenait de la connaissance insuffisante des intensités des deux champs électrique et magnétique dans lesquels se produisaient les déviations. Des mesures ultérieures plus précises (•) confirmèrent l'accord des résultats, dans la limite des erreurs d'expérience, avec la formule que j'avais déduite de la théorie électromagnétique. Et l'on put énoncer ce résultat que la masse dhin électron est d^ origine purement électromagnétique.

Dans le présent Mémoire, dont j'ai donné un résumé à la Natur-

forscherversammlung de Karlsbad (^), je me suis proposé d'édifier

la dynamique de V électron sur des bases purement électromagné-

(') W.-B. MoRToN, Pkit. Afag., t. \LI, p. 4«8.

(2) G.-F.-C. Searle, Phîl. Trans , t. GLWWII .\, 1896, p. 675. - Phil. Mag., t. \LIV, 1H97, p. 329.

{^) H -A. I^ORENTZ, Phys. Zeits., t. II, 1900, p. 78.

(*) Max Abraham, Gôttinger Nachrichteriy 1902, p. 30.

(*) W. Kaupmann, Gôttingen Nachrichten, 1902, p. 291.

(«) W. Kaufmanx, Verhandl. der li. Natur/orscherversammlung in Karlsbad 1 Phys. Zrits., t. IV, 1902, p. 57).

( * ) Max Abraham, Verhandl. der 74. Naturforscherversammlung in Karlsbad ( Phys, Zeits,, t. IV, 1902, p. 67).

tiques. Je suppose rélectron sphérique et sa charge électrique distribuée en couches sphériques homogènes; je me placerai surtout dans les deux cas simples d'une densité uniforme en volume et d'une densité superficielle uniforme. Je m'occupe également d'un ellipsoïde uniformément chargé en volume ou en surface pour reconnaître quels sont les résultats qui dépendent uniquement des équations générales et ceux qui sont liés aux hypothèses particulières sur la symétrie de l'électron.

La dynamique de l'électron repose sur trois systèmes d'équations fondamentales. Les premières, les éq ua t ions ciné mat iques(ï)^ limitent la liberté du mouvement de l'électron; le système des équations du champ (II) donne le champ électromagnétique produit par l'électron, tandis que le troisième système, celui des équations dynamiques fondamentales (III), détermine le mouvement que prend l'électron dans un champ extérieur donné.

Les équations du premier système coïncident avec celles de la cinématique d'un solide invariable; comme la matière aux éléments de volume du solide, V électricité est supposée liée aux éléments de volume de l'électron invariable. Cette hypothèse cinématique fondamentale peut sembler arbitraire, d'autant plus qu'il paraît naturel d'admettre, par analogie avec un corps solide électriquement chargé, que l'énorme champ électrique présent à la surface de l'électron (mille milliards de fois supérieur aux plus grands champs expérimentaux) est capable de déformer l'électron. Pour un électron sphérique les forces électriques équilibreraient les forces élastiques tant que l'électron serait en repos; mais les forces électromagnétiques résultant du mouvement de Téleclron produiraient un changement dans la forme d'équilibre de celui-ci. Cependant Thypothèse d'un électron déformable me paraît difficile à admettre du point de vue où je me suis placé. Car elle conduit à cette conséquence que, pendant les chan~ gements de forme de l'électron, du travail est fourni ou emprunté aux forces électromagnétiques et qu'il faut admettre une énergie potentielle de l'électron dillérente de l'énergie électromagnétique. Il en résulterait qu'une théorie électromagnétique des rayons cathodiques et de Becquerel, phénomènes purement électriques, serait impossible, et qu'il faudrait ensuite renoncer à édifier une Mécanique sur Télectromagnétisme. Or c'est là notre but, et nous ne devons, par suite, supposer à l'électron ni élasticité ni masse matérielle. Nous espérons au contraire pouvoir interpréter l'inertie et l'élasticité de la matière en partant des conceptions électromagnétiques^

PRINCIPES DB LA DYNAMIQUE DE l/ÉLECTRON. 5

Heinrich Hertz (*) raisonnait de la même manière lorsqu'il introduisait dans ses Principes de Mécanique seulement des liaisons cinématiques telles qu'elles ne pouvaient correspondre à aucune production ou destruction d'énergie cinétique. Ceci était nécessaire parce qu'il voulait représenter toute l'énergie par l'énergie de masses en mouvement et toutes les forces par des liaisons cinématiques. A l'objection que nous ne pouvons réaliser des liaisons invariables que d'une manière approximative, Hertz répondait « nous aurons peutêtre à descendre jusqu'au monde des atomes pour trouver des liaisons réellement invariables ».

Dans la Mécanique électromagnétique nous descendons plus bas encore, jusqu'aux atomes d'électricité négative, et nous supposons dans ces sphères, dont le rayon est de l'ordre io~'* centimètre, une répartition invariable de la charge électrique. Qu'il soit légitime d'introduire la notion de liaison invariable avant celle de force, c'est ce que Herlz a démontré de manière convaincante. Notre dynamique de l'électron évite surtout de parler de forces capables de déformer l'électron. Elle fait intervenir seulement des forces extérieures qui tendent à lui communiquer un mouvement de translation ou de rota* ùon, et des forces intérieures qui font équilibre aux précédentes et proviennent du champ produit par l'électron. D'ailleurs ces forces et couples sont uniquement des notions dérivées, détinies au moyen des notions fondamentales cinématiques et électromagnétiques. Il en est de même des mots tels que travail, énergie, quantité de mouvement choisis uniquement dans le but de rendre plus évidente l'analogie de la Mécanique électromagnétique avec la Mécanique ordinaire des corps matériels.

Les équations du champ et les équations dynamiques données au paragraphe 2 sont celles de la théorie de Lorentz. Le paragraphe 3 est consacré à démontrer qu'on peut, à partir de cette théorie, définir non seulement une énergie électromagnétique, mais aussi une quantité de mouvement électromagnétique. M. Poincaré (*) a montré le premier que l'introduction de cette dernière permet de retrouver, pour un système d'électrons, la loi du mouvement du centre de gravité et la loi des aires. L'existence d'une quantité de mouvement élec-

(') H. Hertz, Die Prinzipien der Mechanik, p. 4'- Leipzig, 1894.

(') H. Poincaré, Arch. Néerl., 7* série, t. V, 1900, p. 262 {Lorentz Fesischri/t).

Des considérations analogues avaient été développées par J.-J. Thomson, au point de vue spécial de l'impulsion des tubes de Faraday en mouvemen {Récent Besearches, 1893, p. 9).

tromag:nétique est d'importance fondamentale pour la dynamique des électrons. Elle seule permet d'atteindre les forces intérieures à partir d'une impulsion et d'un moment d'impulsion déterminés par le champ électromagnétique de Télectron et fournit ainsi un moyen simple de calculer la masse et le moment d'inertie électromagnétiques. Cette notion conduit aussi à ce résultat remarquable que la dynamique de la catégorie la plus importante des mouvements possibles de Téleclron, celle des mouvements remarquables, peut s'exprimer sous la forme même de la Mécanique analytique de Lagrange. A cause de cette importance, j'ai cru devoir donner une nouvelle manière d'introduire la quantité de mouvement électromagnétique; l'analyse vectorielle permet d'obtenir l'expression scalaire du travail virtuel des forces intérieures et d'aboutir en même temps à la transformation de Poincaré pour la force et le couple intérieurs.

En utilisant l'expression transformée du travail virtuel des forces intérieures, nous mettrons au paragraphe 4 les équations dynamiques (III) sous une forme (VII) qui correspond au principe de d'Alembert ; nous en déduirons aussi les équations du mouK-enient (VII, «, b) de l'électron, qui déterminent les changements avec le temps de l'impulsion et du moment d'impulsion. La plus grande difficulté mathématique des équations actuelles, comparées à celles de la Mécanique ordinaire, provient de ce fait que l'impulsion et le moment d'impulsion d'un électron ne dépendent pas seulement de sa vitesse et de sa rotation actuelle, mais de tout son mouvement antérieur et doivent être calculés par intégration des équations du champ électromagnétique.

Dans le o* paragraphe, après que les équations du champ auront été rapportées à des axes liés à l'électron, notre attention sera appelée sur une classe particulière de mouvements remarquables. Elle est caractérisée par ce fait que le champ électromagnétique accompagnant l'électron reste invariable par rapport à lui ou, ce qui revient au même, que le vecteur définissant la force intérieure est dérivé d'un potentiel de conveclion. En particulier la translation et la rotation uniformes appartiennent à cette classe de mouvements.

La translation simple est étudiée dans les quatre paragraphes suivants (6 à 9). Le champ électromagnétique, accompagnant un électron en mouvement uniforme, est donné dans les travaux cités de MM. Morton et Searle, mais ces auteurs n'ont pas indiqué que l'impulsion et Fénergie de ce champ peuvent se déduire par les procédés de la Mécanique analytique d'une /onction de Lagrange définie

PRINCIPKS DE LA UTNAMIQLE DE L ELECTRON. 7

comme la différence des énergies électrique et magnétique, qui peut s'exprimer par une intégrale étendue au volume intérieur à Téleclron et où figure le potentiel de convection. Le premier axiome de Newton s'applique à ce mouvement de translation. Il en est de même du deuxième axiome, en ce sens qu'on peut définir une masse électromagnétique; celle-ci n'est plus une grandeur scalaire, comme la masse en Mécanique ordinaire, mais un tenseur de révolution dont les composantes, les masses longitudinale et transversale sont deux fonctions différentes de la vitesse. Ce deuxième axiome n'est exact que pour des mouvements quasi-stationnaires, c'est-à-dire dont l'accélération n'est pas trop grande ; cette condition est d'ailleurs complètement réalisée par tous les changements de vitesse et toutes les déviations que nous savons produire expérimentalement.

Dans le 10* Paragraphe (*) je reviens d'une manière générale sur les mouvements remarquables. On peut démontrer, en s'appuyant sur la conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement, que pour les mouvements de cette espèce, stationnaires et quasi-stationnaires, les équations de Lagrange s'appliquent. Ce résultat est appliqué, dans le II*" paragraphe, à la rotation d'un électron et, dans le 12*, à la translation d'un ellipsoïde.

Le calcul des vecteurs permet non seulement d'exprimer de manière plus élégante les relations qui vont suivre, mais encore de serrer de plus près leur signification physique. Pour ce qui concerne les notions fondamentales et les symboles de ce calcul, je renverrai à mon article de Y Encyclopédie des Sciences mathématiques (^); je me contenterai ici de rappeler l'ensemble des notations et des règles du calcul. Les vecteurs seront représentés par des capitales romaines et leurs composantes caractérisées au moyen d'indices.

Symboles,

( \B) produit intérieur des vecteurs \ et B est la quantité scalaire

AxBj.-t- AyBj-f- A-B-.

[ ABJ produit extérieur des vecteurs A et B est le vecteur qui a

('] En raison de leur caraclère purement théorique, les paragraphes 10, 11 et 12 n'ont pas été reproduits dans la présente traduction. (') Max Abraham, Encyclopadie der maihem. Wissensch., t. IV, art. 14.

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div. A, diver:^enr,^ An >^jUrmr A <«< b -yj^ftnui*? scalcûrr

Nous emploMrrr^fki» w/ut^irnl* w/tt« k* immb 4e j transformation fJtntut^ d'util int^graJe 4e ^«Jvsm-

surface

r r fàî^.Kàz = 1* /"a» A.

curl. A, ci/r/, du %#?#rt#rMr A #f«t le vecteur qui a pci>«r ocmipostDies

If A, *fK^ M, '^Ai <fA, #A^

grad. ^, le gradient dit ta //uantité sca/aire ^ est on t^ecteur iTint pour composanU;fi

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Af est la quantité Mcalalre

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AA est le vecteur t\ui n ftout* (;orfi|Mmantes

(AV)B est le vecteur (|ui m |HMir roinposantes

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U est facile de Vf^rilit^r 1^^ r^gloM de ralcul suivantes :

PRINCIPES DE LA DYNAMIQUE DE l'ÉLECTRON. 9

Règles de calcul,

(a) (AB)=(BA),