NOTICE HISTORIQUE

Par J. LARMOB.

Traduite de Tanglais par P. Lngol.

Les écrits de M. Larmor sur les sujets que traite le présent Volume tirent leur origine d'une tentative faite en vue de mettre la théorie électrique de Maxwell en harmonie avec les théories optiques de Lord Kelvin relatives à la constitution élastique de l'éther. Ces deux théories ont, en vue d'une compréhension plus large, emprunté l'aide de modèles mécaniques. Le premier Mémoire de M. Larmor sur cette question est A mechanical représentation of a vibrating electrical System and ils radiation (*); comme l'indique le titre, il s'agissait d'une illustration exacte de la théorie existante. Il fut suivi ( i5 nov. 1893) du premier de trois Mémoires publiés, sous le tilredc Dynamical tlieory of the electric and luniini/erous médium, dans les Philosophical Transactions (extraits détaillés dans Roy» Soc. Proc,)j et qui visaient à développer une théorie cohérente de rÉlectrodynamique. Le point de départ était la remarque de Fiu- Gerald, que la théorie optique de Mac Cullagh est identique au point de vue des formules à la théorie électrique de Maxwell, rapprochée du fait, dontRankine avait virtuellement conscience il y a longtemps, que les équations de Mac Cullagh appartiennent à un éther doué d'élasticité de rotation, et de la défînition brillante et fondamentale donnée par Lord Kelvin d'un modèle mécanique d'un tel milieu (^). On reconnut en même temps que cette conception de l'éther donnait une interprétation directe des conducteurs chargés d'électricité, et de tous les effets de leurs mouvements. Mais elle ne semblait pas sadapler à la communication d'une charge d'un corps à un autre, sauf par rupture de l'éther intermédiaire. Dans un appendice au premier Mémoire, daté du i3 août 1894, cette difficulté fut surmontée par l'in-

(') Proc. Cambr, Phil. Soc., 4 mars 1891, p. 166-176,

{^) Sur une cmstitution gyrostatique adynamique pour l'éther {Comptes Bendus, t. CIX, 18^9, p. 453).

NOTICE lIISTOniQUE. 335

roduction de la notion de particules élémentaires électrisées, sortes i d'atomes électriques » auxquels on donna, à la suggestion de Fitzgerald, le nom d^ électrons créé par Johnstone Stoney. Dans cet apïcndice ( ' ) la théorie électrique delà matière est formellement établie, k^raisemblablement pour la première fois, comme une hypothèse lireclrice, et considérablement développée dans des directions en partie différentes de celles qui ont été suivies dans Aether :ind A/atter]les développements qu'elle contient sur les actions mutuelles des électrons en mouvement lent peuvent recevoir une extension encore plus grande. On reconnut plus tard que l'idée des électrons avait été appliquée par Helmholtz dans la théorie de la dispersion de la lumière (2), tandis que H. -A. Lorentz en faisait la base de l'Electrodynamique dans deux Mémoires courts mais de grande portée : La théorie électromagnétique de Maxwell et son application aux corps en mouvement (1892), suivis plus tard d'une exposition plus formelle : Versuch einer Théorie,,, in bevvegten Kôrpern (iSgS). Peut-être à cause de la difficulté spéciale du sujet, c'est seulement en 1897 que l'on reconnut la complète identité analytique des deux travaux. Les extraits qui suivent sont empruntés à un Iraiilé Aether and Matter (Cambridge University Press, 1900) dans lequel on a développé systématiquement, avec des additions, une partie du contenu de cette série de Mémoires (^). Dans ce traité, la théorie de l'éther doué d'élasticité de rotation, qui avait servi de guide aux développements primitifs, est reléguée à l'arrière-plan ; elle peut cependant fournir encore, aux esprits qui sont aidés par de semblables modèles, le moyen de saisir intuitivement la théorie dans son ensemble, et peut ainsi jouer un rôle dans des simplifications et des extensions ultérieures, même si la question reste ouverte desavoir jusqu'à quelles limites précises l'on peut étendre ces analogies.

( ' ) PhU. Trans., 1894, App., p. 806-822.

(») Wied. Ann.j i8y3.

(*) Phii. Trans, 1894, A., p. 719-822; 1895, A., p. 695-743; 1897, A., p. 2o5-3oo.

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Il liou^ r^ijl «l^ilionl <'on^lrlJi^p un >cliéuia djoamiquc df I^tkr lil/Hî <J'f |i;irlM;ijles iiidU^rielles. C'est naturellement un milieu «teli<jij<;; sij|ipo!»oii«»-lc pratiquement en repos, et représentons prie \i*A'U*Mv i\^ r,, ^; le déplacement, élastique ou autre^ de sa subsunce au point ix^ y, 5), déplacement déterminé par les défomwliois irxintitiix tlitti^ U' milieu. Nous admettons (sauf vérilication ultërieitf^ pfir le*» réj^iiliat*) de Tanal^se) que son énergie cinétique T et soi «'•iier^ie potentielle VV sont exprimées par

( ' ) Sauf iiuliculioii rontrairc, les lettres accentuées désigneront, dans ce qui saiU dea dérivée» par rappurl au icmps.

BXTBAITS DE L*OUVRAGE a AETIIER AND MATTER ». 337

OÙ d'z représente un élément de volume, A une constanle d^inerlie, B un module d'élaslîcilé, {/, g, h) un vecteur défini quanta son mode de variation ( ' ) par la relation

où Ton introduit le facteur 4"^ pour se conformer aux usages adoptés en électricité.

Cette définition conduit à

df d£ dh

dx dy àz ~~ '

de sorte que (/, g, h) est un vecteur solénoïdal.

Pour obtenir Féquation dynamique de ce milieu, il n'y a qu'à développer l'équation de variation

assujettie à la condition que la durée du mouvement soit invariable. Or, on a

l ÇTdt = k Çdt Aç'SÎ'-H t)'5T)'+ x:iz')d-. et

^ ^/f^"'^" '"*^ 85 + (M - nf) $n + {m/-lff) Sï] dS

où (/, m, n) est le vecteur de direction de l'élément 8S de la surface extérieure.

Ces réductions par intégpration par parties ont pour but d'exprimer conformément à l'usage les variations dépendantes telles que o^',

-— ^ en fonction des variations indépendantes 8Ç, otj, 8Ç. Cela exige

(') Ceci se rapporte à Texistence permanente, indépendamment de (V»^'tOt au déplacement intrinsèque de l'éther qui entoure chaque électron. {Voir Append. E, ce Vol., p. 359.)

rintroduction d'intégrales de surface; si la région considérée est l'espace infini, et si les causes originelles de la perturbation agissent toutes à une distance finie de l'origine, ces intégrales de surface, relatives à des limites infiniment éloignées, ne peuvent avoir aucune inOuence sur l'état du système à distance finie, et l'on peut effectivement constater qu'elles donnent un résultat nul ; il faut, bien entendu, en tenir compte dans les autres cas.

Si l'on substitue dans l'équation d'action ces expressions des variations, les coefficients de SÇ, Sti, SI^ devront s'annuler séparément dans l'intégrale de volume et dans l'intégrale de surface, puisque SÇ, Si^, 0^ sont tout à fait indépendantes et arbitraires dans chaque élément de volume d'z et dans chaque élément de surface dS. On tire alors de l'intégrale de volume les équations de la vibration ou de la propagation de l'onde

B /dh dff ôf dh dg à/\ .,.- ^. ..V

Les systèmes d'équations (I) et (II) obtenus ainsi sont identiques aux équations de Maxwell exprimant l'action électrodynamique el électrostatique de l'éther libre, si (i', Vf ^') représente l'induction magnétique et (/, g^ h) le déplacement de l'éther; la vitesse depro-

pagation est i— I/t' ^® sorte que -r =i6iï*C*, où C désigne h

vitesse de radiation. Elles sont également identiques aux équations optiques de Mac Cullag^h, auquel on doit en réalité la méthode de calcul qui précède.

Les électrons traités conmie de simples pôles. — Etendons ulaint^ nant le problème à un étlier contenant un système d'électrons ou de charges électriques [séparées. Chacune de ces charges ponctuelles détermine autour d'elle un champ de force électrique, ce qui implique nécessairement une certaine déformation de l'éther; une charge électrique ponctuelle est donc un centre de déformation intrinsèque dans Tcther; il n'est pas nécessaire pour le moment de déterminer la nature de cette déformation permanente, à la condition d'admettre que l'électron peut se mouvoir ou glisser librement dans ce milieu d'une manière très analogue à celle dont un anneau glisse le long d'une corde. Nous traiterons donc réellement, dans la définition delà déformation (/, g^ h) de l'éther, un électron ou un centre chargé comme un point singulier librement mobile, de sorte que très près de

EXTRAITS DE l'OUVAAGE « AETHER AND MATTER ». SSq

lui (y, g^ h) prenne la forme — 7~\~r^ IT^ J^i " ^^^^^ pourrons

éviter que les éléments des intégrales deviennent infinis à l'origine de la distance /*, en considérant le centre de déformation permanente non comme un simple point, mais comme une région d'étendue extrêmement petite (*); cet artifice analytique n'affectera aucune des applications physiques dans lesquelles on considère simplement l'électron comme une charge électrique localisée de grandeur définie. Si maintenant on ne lie à l'électron qu'une forme de déformation, sans lui attribuer une inertie ou une énergie étrangères à l'éther et engendrant des résistances qui restreindraient sa parfaite mobilité, les équations (I) et (II) détermineront encore l'état du champ à un instant quelconque en fonction de son état, supposé complètement connu, à l'instant précédent; et cette détermination implique la connaissance du déplacement de chaque centre pendant l'élément de temps considéré. Les équations suffiront alors à retracer la succession naturelle des modifications du milieu complexe ainsi formé par l'éther et les centres qu'il englobe. Mais, si ces centres ont de l'inertie ou des actions mutuelles indépendantes de l'éther, la fonction d'énergie dont on se servira pour formuler le principe de moindre action devra en tenir compte ainsi que de toutes les autres actions physiques, s'il en existe.

Passage & l'analyse continue. — Une telle analyse atomique complète (en admettant qu'elle soit possible) est d'ailleurs inutile lorsqu'on s'occupe des phénomènes électro-dynamiques dans les corps matériels; l'observation et Texpérience, en effet, s'adressant uniquement à la matière prise en masse, nous ne pouvons pas atteindre la connaissance directe d'une molécule isolée, encore bien moins d'un électron. La théorie qu'il faut confronter avec l'expérience doit au contraire en- \isager un élément différentiel de volume contenant une foule de molécules assez nombreuses pour que l'on puisse la regarder comme continue et l'exprimer comme une densité cubique de matière. Quant à la distribution réelle des électrons dans cet élément de volume, tout ce que nous pouvons constater ordinairement est un excès d'électrons de Tune ou de l'autre espèce, positifs ou négatifs, excès constituant une densité cubiqued'électrisation ou encore une polarisation moyenne dans l'arrangement des groupes d'électrons au sein des molécules, et que l'on définira comme vecteur par son intensité par unité de volume.

(■) Celte substitatioD n'affecte que l^énergie moléculaire iotrinsèque. ( C/. Phil. Trans., iSg'i A, p. 8i2-8i3.)

34o J. LARMOR.

Définition du déplacement électrique total; on a besoin de deux vecteurs indépendants. — Puisque rinlégrale 1 {l/-\- mg-\- n/i)dS

étendue à la surface qui limite une région n'est plus nulle lorsqu^il v a des électrons dans celte région, le vecteur (/^ g^ h) qui représente la déformation ou le déplacement électrique de Féther n'est plus solénoïdal lorsque ces électrons isolés sont transformés en une densilt* cubique, comme il arrive lorsque au lieu d'envisager simplement l'éther qui existe entre les molécules on considère un milieu continu : la définition du mode de variation du déplacement élastique de l'cthcr, soit

(jui s'applique à l'éther libre, serait donc maintenant contradictoire. Pour établir ce qui doit remplacer cette définition, considérons la translation d'un seul électron e d'un point V^ à un point voisin P^. Nous devons ajouter à la déformation élastique de l'éther (/, g^ h) un terme représenté par un vecteur-déformation dont la distribution sera rapportée à des lignes commençant en P| et finissant en Pj; ce terme additionnel est en réalité le déplacement électrique dû au doublet formé par — e en P| et 4- e en P^. Ce flux additionnel de déplacement électrique de P2 à Pi le long de ces lignes n'est pas solénoïdal par lui-même; mais nous compléterons les circuits de flux en lui ajoutant un flux linéaire d'électricité de même masse <?, revenant de P| à P2 le long de la ligne P| P2. Si l'on complète ainsi, par les flux de ces charges électriques vraies à travers l'éther, les flux de déplacement élecli iquc de Vêt lier dus au changement de position de lou> les électrons du système, on obtiendra un nouveau vecteur que loii peut appeler (lux de déplacement électrique total par unité de volume; ce vecteur constitue une conception d'uue utilité fondamentale, parce qu'il est toujours et partout solénoïdal.

On peut maintenant exprimer ce résultat analytiquement : l\ la vitesse de variation du déplacement de Téther (y^, g' ^ li')d':Ad\\^\('\^'' ment de volume d-z il faut, pour avoir un résultat solénoïdal, ajouter S(e^', ey' ^ ez')^ où {x\y' ^ z') désigne la vitesse d'un électron contenu dans cet élément; le courant de déplacement électrique de Cclher nest [)as solénoïdal quand on le considère en moyenne, relalivemcnl à cet «'dément de \oIunie, mais le courant total, formé du premier el du courant électrique vrai constitué par le mouvement dos électrons, possède cette propriété.

La théorie mécanique nécessite donc Tusage de deux variables in-

EXTBAITS DE L*OUVRAGB a AETHER AND MATTER ». 34 1

dépendantes, le déplacement de l'étheret le courant électrique vrai ou flux d'électrons, au lieu du seul déplacement de l'éther qui suffisait dans l'anal jse moléculaire.

On peut considérer d'un autre point de vue cette explication fondamentale. 11 y a dans le milieu des électrons ou des charges électriques de grandeur uniforme e, de sorte que pour une région quelconque l'hypothèse de Faraday donne

{1/ -^ mg -Jr nh) dS — Ze\

si donc l'on désigne par A tout changement d'état fini,

A l(i/-\-mg'^nh)dS

est égal au flux d'électrons qui pénètre dans la région à travers la surface limite. Ainsi, par exemple,

77 / ilf-^nig-'rnh)dS'=— 1 (luo-\- mço-^ nwo)

dS

où (wo7 ^oj ^^o) est le courant électrique vrai, qui est simplement ce flux d'électrons pendant l'unité de temps; en faisant passer tous les termes du même côté, on a

(lu H- mv-\- nw)dS = o,

où («, r, w) == ( -^ 4- Uq, ^ + ^0? ^ -f- <^o )• Cette relation exprime

que le courant total de la théorie de Maxwell est solénoïdal.

Le courant vrai (wo, r©) <^'o) défini plus haut comprend tous les types possibles de mouvements coordonnés ou de mouvements moyens des «Uectrons,' notamment les courants provenant de la conduction, de la polarisation matérielle et de sa convection, de la convection de corps chargés.

Oénéralisation du théorème de Stokes. — Fixons maintenant la signification de (Ç', V, Ç') ou (a, 6, c) dans une théorie mécanique qui s'occupe seulement d'éléments sensibles de volume. Ce sera naturellement la valeur moyenne de ce vecteur, tel qu'on l'a employé précédemment, pour l'éther contenu dans chaque élément de volume. Il faut maintenant montrer qu'avec cette signification

Nous allons voir que pour toute surface géométrique ouverte oa pour tout feuillet S d'étendue sensible, fixes dans l'espace, limités par un contour 5, le théorème fondamental de Stokes relatif à la transformation d'une intégrale de surface en une intégrale linéaire le long de son contour doit dans les circonstances actuelles prendre la forme plus générale

OÙ A représente la variation produite dans l'intégrale par le mouvement du système dans un temps fini quelconque, et $ le flux total d'électrons à travers la surface S pendant ce temps.

A cette fin, considérons deux feuillets S et Si limités au même contour s : ils forment ensemble une surface fermée, et Ton a

(ï'')' f {hf-\-mxf^-\-n^h)d^y'^ f(//-hmff-\-nh)dS = Ze

où Se désigne la somme des masses des électrons compris entre les deux feuillets : les vecteurs de direction (/, m, /i), (/|, /?i|, /i|) sont comptés tous deux vers le même côté des surfaces, qui pour S| est le côté extérieur à la région limitée par les feuillets. Si maintenant Fun de ces électrons traverse la surface S,, la forme de l'intégrale est brusquement altérée pour cette surface, car un de ses éléments devient infini quand l'électron est sur la surface, ce qui fausse l'application à cette intégrale du théorème de Stokes ; mais pour la seconde surface, à tra\ers laquelle l'électron n'a pas passé, le théorème s'appliqueni encore à la vaiiation produite dans l'intégrale correspondante. C eslà-dire que pour cette dernière l'équation (T) conservera sa forme, sans terme tel que cf ; pour la |)reniière, ré(|uation (IF) doit renfermer comme ci-dessus le terme ri.

Les vecteurs moyennes de lanalyse continue. — La relation de Stokes ainsi généralisée, dans laquelle J^ représente le flux total d'électrons à travers la surface S, conduit directement à Téquation

où les vecteurs représentent maintenant des valeurs moyennes pour rélénienl de volume.

Cette relation s'applique également, que le système de molécules contenu dans le milieu soit ou ne soit pas polarisé niagnctiquemenl,