CHAPITRE IV

Vanahjse des hasards y également connue sous le nom de calml des probabilités y est une science qui, jadis cultivée avec ardeur, est aujourd’hui presque tombée dans l’oubli.

Fondée par le caprice d’un bel esprit, le chevalier de Méré, (|ui proposait à Pascal, en 1734, deux difficultés de jeu, l’analyse des hasards a nécessité des études d’un genre entièrement nouveau. H s’agissait d’y mesurer le degré mathématique de croyance dont pouvaient être dignes de simples conjectures.

Nous ne parlerons pas des nombreuses discussions auxquelles a donné lieu cette étude spéciale, nous ne dirons rien des principes de Laplace, mais nous citerons quelques faits.

Jacques Bernouilli a établi ainsi qu’il suit la conséquence de ses méditations sur le calcul des probabilités :

Une urne contenant des boules blanches et noires est mise devant le spectateur, qui tire une boule, constate la couleur et la remet dans l’urne. Après une série d’épreuves assez longues, le nombre total des boules extraites, divisé parle nombre total des boules, représente une fraction très approchée de celle qui a pour numérateur le nombre réel des boules blanches existant dans l’urne, et pour dénominateur le nombre total des boules.

Fig. 120. — Le jeu de l’aiguille. (Page 160.)

En d’autres termes, les deux rapports du nombre soit des boules blanches extraites, soit des boules blanches réellement existantes au nombre total des boules, tendent de plus en plus à se confondre ; ou bien encore, la probabilité tirée de cette expérience approche indéfiniment de la certitude. Les deux fractions peuvent différer entre elles aussi peu qu’on voudra, si l’on prolonge suffisamment les épreuves.

On tire de ce théorème plusieurs conséquences :

Fig. 121. — Disposition du tracé destiné à servir au jeu de l’aiguille, relative au calcul des probabilités. (Page ICO.)

1° Les rapports des effets de la nature sont à peu près constants quand ces effets sont considérés en grand nombre ;

2° Dans une série d’événements, indéfiniment prolongée, l’action des causes régulières et constantes l’emporte à la longue sur celle des causes irrégulières.

Les combinaisons que les jeux présentent ont été l’objet des premières recherches sur les probabilités; mais sans insister sur ce point nous signalerons \q jeu de V aiguille. Il s’agit d’une véritable récréation mathématique, dont le résultat, indiqué par la théorie, confirme les règles dont nous venons de donner l’énoncé.

Ce jeu peut être considéré comme une remarquable application des principes posés sur les probabilités.

Si Ton trace sur une feuille de papier une série de lignes AAC CGC DD^ parallèles et équidistantes, et que Ton projette au hasard, sur cette feuille de papier, une aiguille ab entièrement cylindrique dont la longueur sera égale à la moitié de la distance des parallèles (fig. 120 et 121), on constatera ce résultat curieux.

Fig. 122. — Le taquin, jeu mathématique. (Page 163.)

Si l’expérience est prolongée assez longtemps; pour fixer les idées, si l’on projette cent fois l’aiguille au hasard, il arrivera que dans ces cent épreuves, l’aiguille rencontrera une quelconque des parallèles un certain nombre de fois. En divisant le nombre des épreuves par le nombre des rencontres, on obtiendra comme quotient un nombre qui se rapprochera d’autant plus de la valeur du rapport de la circonférence au diamètre, qu’on aura multiplié davantage les épreuves.

Ce rapport, suivant les principes de la géométrie, est

UQ nombre fixe dont la valeur numérique est : 3,1415926.

Après cent épreuves, on trouve généralement la valeur exacte jusqu’aux deux premiers chiffres: 3,1.

Comment expliquer cette conséquence inattendue? L’application du calcul des probabilités en donne la raison. Le rapport indiqué des rencontres au nombre des épreuves est la probabilité de cette rencontre. Le calcul cherche à évaluer celte

Fig. 123. — Dés du taquin placés au hasard, le u® 16 étant enlevé. (Page 163.)

probabilité en faisant l’énumération des cas possibles et des événements favorables.

L’énumération des cas possibles exige l’application du principe des probabilités composées. On voit facilement qu’il suffit de considérer les chances qu’a l’aiguille de tomber entre deux parallèles déterminées AA^ et (fîg. 121), ensuite qu’il suffit même de considérer ce qui se passe dans l’intervalle mn égal à l’équidistance. Pour une rencontre, il faut donc :

1° Que le milieu de l’aiguille tombe entre m q\. l milieu de mo;

2° Quel’angle de l’aiguille avec ?720soitpluspetitque l’angle mcb.

Tissandier. — Récréations, 4® édition. 11

L’évaluation de chacune de ces probabilités et leur combinaison par une multiplication, suivant le principe des probabilités composées, donnent finalement pour expression de la probabilité le nombre tu.

Cet exemple curieux justifie le théorème de Bernouilli relatif à la multiplicaticn des événements: il n’y a pas de limite à l’approximation du résultat lorsqu’on prolonge assez loin l’épreuve.

Lorsque la longueur de l’aiguille n’est pas exactement la moitié de la distance des parallèles (elle peut être quelconque, pourvu qu’elle reste inférieure à cette distance), la règle pratique du jeu est la suivante :

Il faut multiplier le rapport du nombre des projections au nombre des rencontres parle double du rapport de la longueur de l’aiguille à l’intervalle des parallèles. Dans le cas particulier cité plus haut, le double du dernier rapport a pour valeur l’unité. Nous donnerons une application numérique citée par les auteurs.

Avec une aiguille de 50 millimètres de longueur projetée 10000 fois, en une série de parallèles dont la distance était de 63““, 6, on a trouvé un nombre de rencontres égala 5009.

On prend le rapport |^, on le multiplie par le rapport ~ et le produit est : 3,14121.

La vraie valeur est ; 3,1415.

On a une approximation de

Les dimensions indiquées dans cette expérience sont celles qui présentent, pour un nombre déterminé d’épreuves, le plus de chances d’obtenir la plus grande approximation possible.

Nous terminerons ces considérations sur les jeux par quelques réflexions empruntées à Laplace.

« L’esprit a ses illusions, comme le sens de la vue ; et de même que le toucher corrige celles-ci, la réflexion et le calcul corrigent les premières. La probabilité fondée sur une expérience journalière, ou exagérée par la crainte et par l’espérance, nous frappe plus qu’une probabilité supérieure, mais ce n’est qu’un simple résultat de calcul...

« Dans une longue série d’événements du même genre, les seules chances du hasard doivent quelquefois offrir ces veines singulières de bonheur ou de malheur, que la plupart des joueurs ne manquent pas d’attribuer à une sorte de fatalité. 11 arrive souvent, dans les jeux qui dépendent à la fois du hasard et de l’habileté des joueurs, que celui qui perd, troublé par sa perte, cherche à la réparer par des coups hasardeux qu’il éviterait dans une autre situation; il aggrave ainsi son propre malheur et il en prolonge la durée. C’est cependant alors que la prudence devient nécessaire et qu’il importe de se convaincre que le désavantage moral, attaché aux chances défavorables, s’accroît parle malheur même. »

Les jeux mathématiques, autrefois très recherchés, ont fait récemment une nouvelle apparition, sous forme d’un petit appareil connu sous le nom de taquin.

Ce jeu, qui nous vient d’Amérique, où il est appelé puzzle^ consiste en une boîte quadrangulaire dans laquelle sont placés seize petits dés mobiles en bois, numérotés de 1 à 16 (fîg. 122). Voici en quoi consiste le jeu du taquin. On retire le dé de bois n°*16, et on place les autres dés au hasard dans la boîte, comme le représente la figure 123 par exemple. Il s’agit alors de déplacer les dés, en les faisant glisser d’une place à une autre, de manière à ce qu’ils soient rangés dans leur ordre naturel de 1 cà 15. Il faudra, par exemple, si le hasard a placé les dés comme dans la figure 123, faire en sorte de ramener les dés dans la position qu’ils occupent figure 122 ; on doit y arriver en se bornant à faire marcher les dés, sans les soulever du fond de la boîte.

Les complications de ce jeu, en apparence très simple, sont étonnantes, et donnent lieu à une infinité de combinaisons souvent intéressantes.

Quand on ajoute le seizième dé, on peut varier le jeu, et chercher la solution du problème, qui consiste à aligner les numéros de telle sorte que la somme des rangées horizontales, verticales ou diagonales donne 34. Considéré sous cette forme, ce problème

est im des plus anciens que l’on puisse mentionner. 11 remonte au temps des premiers Egyptiens. On s’en est préoccupé très fréquemment pendant le cours des siècles derniers, et il rentre dans la série des fameux carrés magiques^ dont nous allons résumer les principes bien connus des mathématiciens.

Voici la définition qu’a donnée à ce sujet Ozanam, de l’Académie des sciences de Paris, à la fin du dix-septième siècle :

On appelle carré magique un carré divisé en plusieurs autres

ji^

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ôô

ôo

CD

CP

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en

en

Fig. 124. — Exemples des carrés magiques formés par les termes d’uue progressiou arithmétique. (Page 165.)

petits carrés égaux ou cases, remplis de termes d’une progression, qui y sont déposés de telle sorte que tous ceux d’un même rang, tant en long qu’en large et en diagonale, font une même somme quand on les additionne, ou donnent un même produit quand on les multiplie.

11 résulte de cette définition qu’il y a deux espèces de carrés magiques, les uns sont formés par les termes d’une progression arithmétique, les autres par les termes d’une progression géométrique. On distingue encore les carrés magiques pairs et les carrés magiques impairs.

Nous donnons ci-contre plusieurs exemples de carrés magiques à termes de progression mathématique ; parmi ceux-ci le carré de 34 donne une des solutions du taquin (fig. 124).

Nous donnerons aussi un exemple de carré magique formé par des termes en progression géométrique. La progression double par exemple, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, disposée comme ci-dessous (fig. 125), forme un carré tel que le produit obtenu en multipliant les trois termes d’un même rang, ou d’une même diagonale, est 4096, qui est le cube du terme moyen 16.

Ces carrés, ont été appelés magiques^ parce qu’ils étaient en grande vénération parmi les Pythagoriciens. Certains carrés

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