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Kig. 125. — Carré magique formé par les termes d’une progression géométrique. (Page 165.)
magiques, au temps de l’alchimie et de l’astrologie, étaient dédiés aux sept planètes et gravés sur une lame du métal qui sympathisait avec la planète.
Pour donner une idée des combinaisons auxquelles se prête l’étude des carrés magiques il nous suffira d’ajouter que des mathématiciens ont écrit des traités entiers à ce sujet. Frénicle de Bessy, un des plus éminents calculateurs du dix-septième siècle, consacra une partie de sa vie à l’étude des carrés magiques. Il découvrit des règles nouvelles pour les carrés impairs, il en donna aussi pour des carrés pairs, et il trouva le moyen de les varier d’une multitude de manières.
Ainsi pour le carré magique dont la racine est 4, on ne connaissait que 16 arrangements différents. Frénicle de Bessy trouva
880 solutions nouvelles. Un travail considérable de ce savant mathématicien a été publié sous le titre de Carrés ou Tables magiques dans les Mémoires de V Académie royale des sciences^ depuis 1666 jusqu’à 1699 (tome V, in-4°).
Les amateurs du taquin ou de jeux analogues qui seraient accusés de s’occuper d’un jeu futile et indigne d’esprits sérieux pourront se rappeler les travaux de Frénicle : ils feront mieux encore en les consultant.
Nous n’avons abordé jusqu’ici que la première partie du taquin^ celle qui est relative aux carrés magiques. 11 nous reste à examiner ce jeu sous 'le rapport du problème auquel il a plus
Tableau A.
Tableau B.
Fig. 126. (Page 166.)
spécialement donné lieu. Nous le ferons avec un excellent mathématicien, M. Piarron de Mondesir, qui a bien voulu nous éclairer sur ce sujet beaucoup plus difficile qu’il semble au premier abord.
Le journal la Presse illustrée avait proposé un prix de 500 francs pour la personne qui parviendrait à résoudre le problème suivant :
Jeter les quinze cubes hors de la boîte^ les y replacer au hasard^ puis, en les j)Grmutant ensemble, les ramener dans Tordre du tableau A (fig. 126).
Or, personne n’a résolu le problème ainsi posé, parla raison toute simple qu’il est impossible, ou plutôt qu’il n’est possible que dans la moitié des cas.
Vous pouYGz toujours, en permutant convenablement les cubes, ramener les 12 premiers numéros à leur place; vous pouvez même ramener à sa place le n° 13. Mais, au lieu d’obtenir invariablement, dans la dernière rangée, l’ordre 13, 14, 15, vous obtiendrez une fois sur deux l’ordre 13, 15, 14.
Or, dans ce dernier cas, vous pourrez toujours ramener les cubes dans l’ordre du tableau B, qui est symétrique de A.
Un cas quelconque vous étant proposé, vous pouvez donc le résoudre par l’un des tableaux A ou B.
Or, comment prédire d’avance et sans déplacer un seul cube, si le cas proposé aboutira à A ou à B?
Bien ne vous sera plus facile, si vous voulez bien me prêter un peu d’attention.
Je prends un premier exemple; je jette les cubes hors de la boîte, et je les y établis dans l’ordre représenté figure 127 ;
Je dis alors : 1 occupe la place de 11, 11 celle de 7, 7 celle de 8, 8 celle de 6, 6 celle de 15, 15 celle de 1. (En suivant la figure à l’aide d’un crayon, le lecteur comprendra plus facilement le raisonnement.)
Je formule cette première remarque comme il suit : série. — 1.11.7.8.6.15.1. . (6) paire.
Je compte le nombre de points intercalés dans cette première série, j’en trouve 6, et je note (6) entre parenthèses.
J’appelle cette première série paire, par la raison que 6 est un nombre pair.
J’établis parla même formule une deuxième série commençant par le nombre 2 :
2® série. — 2. 4. 2 . (2) paire.
Puis une troisième, commençant par 3 :
série. — 3. 5. 10. 12. 3. . . . (4) paire.
Puis une quatrième et dernière, commençant par 9 ;
¥ série. — 9. 13. 14.9. . . . (3) impaire.
J’appelle cette quatrième série impaire, par la raison que 3 est un nombre impair.
J’obtiens ainsi 4 séries, dont le total des points intercalés est
précisément de 15, ce qui doit être, puisqu’aucun cube ne sc trouve rétabli à sa place.
Je prends de suite un second exemple (voy. fig. 128) :
J’établis les séries comme dans l’exemple précédent :
l"*" série. ... 1. 7. 1 (2) paire.
2^^ — . . . 2.11.3.8.4.15.2 (6) paire,
d*" — ... 5. 12. 13. 5 (3) impaire.
4® — ... 9. 14. 10. 9 (3) impaire.
Le total de ces 4 séries ne donne que 14, par la raison que le cube 6 n’est pas déplacé.
Fig. 127. Fig. 128.
Voici maintenant la règle, pour prédire d’avance, une fois les séries établies, si le cas proposé se ramènera au tableau A ou au tableau B : 1° ne pas tenir compte des cubes non déplacés ; 2° ne pas tenir compte des séries impaires ; 3° ne tenir compte que des séries paires.
Si Ion lien trouve pas une seule, ou bien si P on en trouve 2, 4 ou 6, le cas se ramènera au tableau A. Si ïon en trouve 1, 3, 5 ou 7, le cas se ramènera au tableau B.
Appliquons cette règle très simple aux deux exemples proposés.
Dans le premier nous trouvons 3 séries paires, c’est donc le tableau B.
Dans le second nous trouvons 2 séries paires, c’est donc le tableau A.
Vous voici maintenant en possession d’une règle simple.
rapide et infaillible, qui vous permettra de dire d’avance auquel des deux tableaux A ou B un cas quelconque peut être ramené.
N’allez pas au moins me faire l’injure de penser que je vous ai donné ici deux cas préparés d’avance. Vous pourrez vous convaincre par vous-même de l’exactitude de ma règle, en vous donnant autant de cas que vous voudrez.
Je tiens, toutefois, à vous prévenir que votre vie entière ne
Fig. 129. — Le solitaire à fiches. (Page 170.)
suffirait pas pour vérifier celte règle sur tous les cas possibles. Car, ce que vous ne savez peut-être pas, c’est que le nombre de ces cas possibles est égal au produit :
c’est-à-dire au chiffre immense de
1 307 674 368 000. Plus de treize cent milliards I
