PRINCIPES GÉNÉRAUX

Un régulateur à force centrifuge est essentiellement constitué par un système matériel à liaisons complètes, c'est-à-dire tel que la position d'un seul point détermine celle de toutes les autres, système auquel on donne un mouvement de rotation autour d'un axe vertical ou horizontal. La vitesse de rotation doit être égale ou proportionnelle à celle de la machine qu'il s'agit de gouverner ; on y parvient en faisant commander l'arbre du régulateur par la machine elle-même, au moyen d'une courroie ou d'un engrenage. L'emploi d'une courroie est commode et économique ; mais il a l'inconvénient de ne pas assurer une exacte proportionnalité entre les vitesses de la machine et du régulateur. On doit donc préférer l'engrenage et construire celui-ci avec autant de précision que possible.

Sur l'arbre du régulateur glisse un manchon qui fait partie du système à liaisons complètes, et qui, au moyen d'un autre système articulé, est relié à l'organe de réglage commandant l'arrivée de vapeur. Si la dépense de vapeur est trop forte, la machine s'accélère, la force centrifuge s'exerce avec une intensité croissante sur les masses qui composent la partie déformable du régulateur ; bientôt l'équilibre est rompu et le système prend un mouvement relatif qui a pour effet de déplacer le manchon. Les -choses doivent être disposées de telle manière que le déplacement du manchon, dû à une augmentation de vitesse, diminue l'arrivée de vapeur, et qu'inversement, en cas de ralentissement, la vapeur trouve un passage plus facile.

Les tiges ou autres pièces établissant la connexion entre le manchon et l'organe de réglage doivent être équilibrées dans toutes les positions ; l'organe de réglage doit être lui-même disposé de manière à être parfaitement mobile.

Considérons un régulateur à force centrifuge dont l'axe tourne avec une vitesse angulaire io et qui se trouve dans une position d'équilibre relatif. Il est soumis à l'action de diverses forces directement appliquées telles que poids ou ressorts, forces qui agissent toujours dans un sens parfaitement déterminé et dont l'action dépend uniquement de la configuration actuelle du système. Il subit, en outre, les forces centrifuges développées par le mouvement de rotation, forces qui dépendent également de la configuration du système et qui sont en outre proportionnelles à w*. Restent enfin les résistances passives qui, si l'on néglige la résistance de l'air, se réduisent aux frottements. Une force de frottement n'est déterminée que quand il y a glissement de son point d'application. A l'état d'équilibre, on sait seulement que chaque force de frottement est comprise entre zéro et une limite supérieure, de grandeur déterminée, dont le signe se renverse suivant que le glissement tend à se produire dans un sens ou dans l'autre. Dans le cas d'un régulateur qui actionne le tiroir d'une machine à vapeur, les choses se compliquent encore plus, car le frottement dépend alors de la pression de la vapeur, variable à chaque instant. Quoi qu'il en soit, on peut dire qu'il y a équilibre, en vertu des liaisons du système, entre les forces directement appliquées, les forces centrifuges et les forces de frottement. Pour trouver les conditions

d'équilibre, il suffît d'appliquer le théorème des travaux virtuels. D'après ce théorème, on doit écrire que la somme des produits des diverses forces par les déplacements simultanés de leurs points d'application, estimés chacun suivant la direction de la force correspondante, est égale à zéro. Le système étant à liaisons complètes, sa configuration est connue dès que l'on connaît Tune des grandeurs variables dont elle dépend, par exemple la hauteur z du manchon qui glisse sur l'arbre du régulateur, arbre supposé, pour fixer les idées, vertical; le travail de chaque force <Ê, quelle que soit sa nature, peut se représenter par K <ï> d z en appelant K une fonction plus ou moins complexe, mais bien déterminée, de l'ordonnée z. Le théorème de travaux virtuels fournit alors l'équation 2 (K* d z) = o ou plus simplement : S (K $) = o, la sommation étant étendue à toutes les forces du système autres que les simples liaisons. On remarque que cette équation est toujours linéaire et homogène par rapport aux forces 4>. Le premier membre peut se diviser en trois termes distincts qui sont :

1° Le terme dû à l'ensemble des forces centrifuges dans lequel on peut mettre w* en facteur. Nous écrirons ce terme A to* ;

2° Le terme dû à l'ensemble des forces directement appliquées : pesanteur, tension des ressorts, etc. Nous le représenterons par B ;

3° Le terme dû aux forces de frottement. Nous le représenterons par C f en appelant C un coefficient qui (de même que A et B) est une fonction de Tunique variable s, tandis que f peut prendre toutes les valeurs possibles sous la seule condition de rester compris entre deux limites + F, égales et de signe contraire.

L'équation générale de l'équilibre relatif du régulateur prend ainsi la forme :

Aw»+ B + Cf=o.

Comme le premier membre de cette équation peut être multiplié ou divisé par un facteur arbitraire, on est libre de faire en sorte que B représente la grandeur d une force unique qui, appliquée au manchon dans le sens de l'axe, serait équivalente à l'ensemble des forces autres que les forces centrifuges et le frottement. Nous supposerons toujours que l'équation est écrite de cette manière. En particulier, si le régulateur a son axe vertical, le poids Q du manchon doit figurer dans B avec un coefficient égal à l'unité.

Dans ces conditions, C/*est la grandeur d'une force qui, appliquée au manchon, produirait le même effet que l'ensemble des frottements. Pour simplifier l'écriture, nous remplacerons C/* par /*, ce qui revient à modifier légèrement la signification du symbole f.

Si l'on remplace d'autre part w 1 par a;, on peut considérer l'équation A x -f- B -f- f = o comme faisant correspondre à chaque état d'équilibre du régulateur un point dont les coordonnées rapportées a deux axes de coordonnées rectangulaires o a?, o z, seraient x et s. C'est ce que nous appellerons le point figuratif.

Si la machine pourvue du régulateur marche à l'état de régime permanent, on peut admettre, avec une certaine approximation, que le manchon n'a aucune tendance à se mouvoir, et que, par conséquent, les forces de frottement sont nulles. On doit alors poser /•= o et il reste simplement A x -f^ B = o. Cette hypothèse, à vrai dire, ne se réalise jamais rigoureusement : les petites oscillations de vitesse que la machine la mieux réglée éprouve dans l'intervalle de chaque tour, et qui ne pourraient disparaître qu'avec un volant infini, suffisent pour donner au facteur f des valeurs perpétuellement variables; mais ces valeurs, à l'état de régime, demeurent généralement assez faibles pour qu'on puisse se dispenser d'en tenir compte. Admettons donc qu'on ait, en l'absence de toute perturbation, l'équation Ax + B = o dans laquelle A et B sont des fonctions de z. Si les conditions de travail de la machine viennent à varier, le régulateur entre en action. Au bout d'un temps plus ou moins long, il peut arriver qu'un nouvel état de régime s'établisse

avec des valeurs de x et de z différentes des premières. On conçoit ainsi qu'à chaque valeur de x corresponde une valeur déterminée de z, ces valeurs étant reliées par l'équation A x + B = o. Le lieu des points figuratifs ainsi obtenus constitue ce que nous nommerons la ligne d 'équilibre théorique. Sa partie utile se limite naturellement aux deux points correspondant aux deux positions extrêmes du manchon. On peut sans inconvénient admettre que le point le plus bas est situé sur Taxe des x. D'ailleurs, avec les données ordinaires de construction, quand la vitesse croît, le manchon s'élève, c'est-àdire que x et z varient dans le même sens. La courbe d'équilibre théorique a donc une allure telle que mn (fig. 1).

Prenons un point déterminé p de cette courbe, et supposons que le point figuratif occupant cette position, la vitesse de la machine vienne à s'accroître progressivement. La vitesse angulaire du régulateur augmente en même temps ; mais l'ordonnée z du manchon reste constante, au moins pendant un certain temps. Car il ne peut se mettre en mouvement qu'à l'instant où les frottements sont vaincus. En d'autres termes, à l'équation primitive Ax + B = o se substitue l'équation Ax -f- B -f- f = o, dans laquelle le coefficient /*, d'abord nul, va en croissant jusqu'à ce qu'il atteigne sa valeur limite F. Pendant cette période de variation de /*, les coefficients A, B, qui dépendent uniquement de z, demeurent constants.

Cette période, préparatoire en quelque sorte, est facile à interpréter graphiquement : le point figuratif se déplace horizontalement depuis la position p (Ax -|- B = o) jusqu'à la position p f (Ax -J- B -J- F = o). Si la vitesse de la machine augmente encore un tant soit peu, l'équilibre est rompu et le manchon commence à s'élever; pour l'instant, nous ne pousserons pas plus loin l'analyse du phénomène.

On conçoit aisément qu'à chaque point p de l'arc mn correspond ainsi, sur la même horizontale, un point />'. Le lieu des points p' est la ligne d'équilibre à la montée. Des considérations analogues montrent qu'il existe, à gauche de la ligne m/i, une ligne d'équilibre A la descente, qui est le lieu des points p" (Ax + B — F = o). Le point p est le milieu du segment /> V.

Ce mode de figuration, qui rend très claire l'étude des propriétés des régulateurs, a été employé dès 1877 par MM. Dwelshauvers-Dery et Béer. Toutefois ces auteurs portent en abscisses les vitesses angulaires elles-mêmes, au lieu de leurs carrés, ce qui donne des résultats moins simples.