CHAPITRE XL
Ce qu’on appelle notation de Lévy, c’est la notation d’Haüy exprimée par des signes faciles à imprimer. Lorsqu’Haüy expliquait « comment la cristallisation parvient à faire sortir d’un espace si resserré (la molécule soustractive) cette multitude presque infinie de corps si diversifiés par le nombre, par les figures et par les combinaisons des faces qui la terminent » (1), il remplaçait les fragments à dimensions vagues que Romé de l’Isle enlevait aux angles et aux arêtes d’une forme pour obtenir les autres, suivant la méthode dite des troncatures , par ce qu’il appelait les molécules soustractives, auxquelles sa théorie des décroissements permettait de donner des dimensions. Haüy a montré que d’une forme primitive d’une espèce minérale on pouvait dériver des formes observées ou prévues de la même espèce; il a donné les moyens de calculer les dimensions des molécules intégrantes qui entrent dans la composition des soustractives. La cristallographie était créée.
Lévy a rendu plus palpable la conception géniale d’Haüy en rapportant aux arêtes d’un angle solide d’une forme primitive, toujours extérieurement visible, les dimensions de la molécule soustractive d’Haüy; il a remplacé les majuscules au moyen desquelles Haüy représentait les éléments d’une forme par des minuscules; il a écrit sous la forme d’un exposant à droite de l’élément les valeurs numériques qu'Haüy écrivait en dessus et il a eu la bonne fortune de donner son nom à la notation d’Haüy ainsi modifiée.
(1) Haüv, Traité de cristallographie , t. I, p. 51.
Mais, si le symbole // représente par abréviation conventionnellement le symbole complet b* b* b1 dans le cube d’une face quelconque du dodécaèdre rhomboïdal, il a l’inconvénient de représenter à la fois toutes les faces d’une même forme. On peut aussi faire à la notation de Lévy, employée par les cristallographes français, lorsqu’elle détermine la position des faces d’un cristal au moyen des segments qu’elles interceptent sur les arêtes des angles solides de la forme primitive, le reproche de choisir pour cette dernière forme un prisme qui a l’avantage d’avoir deux dimensions égales sur trois dans les systèmes orthorhombique et monoclinique, mais dont les arêtes ont l’inconvénient d'être indépendantes des directions principales des surfaces qui expriment les variations des propriétés physiques, et en même temps complètement arbitraires, ce qui permet à un auteur de remplacer une forme primitive choisie par son prédécesseur par une autre qu’il préfère. Aussi les cristallographes étrangers ont-ils cherché à représenter d’autres manières la position des faces dans un cristal non seulement comme longueur mais comme strictions. Nous ne pourrions dans cet ouvrage élémentaire exposer les divers systèmes de notation qui rendent souvent très laborieuse l’étude des mémoires qui décrivent les formes d’une même espèce minérale ; nous nous contenterons de présenter quelques tableaux qui permettent de traduire la notation dite de Lévy en notation de Miller pour les plus ordinaires.
Presque tous les auteurs aujourd’hui écrivent pour chaque forme à la suite du symbole qu’ils adoptent le symbole correspondant dans la notation de Miller.
Au premier abord la traduction paraît des plus simples : Miller écrit les uns à la suite des autres les dénominateurs des fractions
employées par Lévy. Au lieu de bxb y b\ représentation d’une face d’un hexoctaèdre cubique pour Lévy, Miller écrit (xyz). Mais, premièrement, au moyen d’une permutation tournante des caractéristiques écrites dans un certain ordre et regardées comme po-
LES MINÉRAUX
sitives ou négatives, suivant l’endroit où elle est placée, ce n’est plus une facette quelconque de la forme, mais une de ses facettes déterminée qui est désignée par le symbole de Miller. En outre, Miller compte à partir du centre les segments interceptés par une face, non pas sur des parallèles aux arêtes des prismes rhombiques choisis comme primitifs, mais sur des parallèles aux diagonales des bases de ces parallélipipèdes, qui sont toutes les deux des axes de symétrie binaire dans le système orthorhombique et dont l’une reste un axe de symétrie dans le système clinorhombique ou monocîinique, Miller garde le même axe vertical que Lévy. Tandis que, pour fixer la position d’une face dans le cristal, Lévy prend comme axes des coordonnées les trois arêtes parties d’un même sommet quelle rencontre les premières, comme centre
ce sommet et compte les segments — , - , - interceptés par la face
à partir du sommet, tandis qu’il choisit, par exemple, pour fixer les symboles de la face HKL (fig. 17, p. 42), le point 0 pour sommet et compte sur les arêtes oc ~ d, oi zz f, oazz. h , les seg-
ments - d, — A — h , Miller caractérise la position d’une face dans
un cristal au moyen des dénominateurs (w, v, w) des segments
— , —, — , interceptés à partir du centre du cristal (fig. 32) sur les
3 axes ma, mb , md menés par le centre m , l’un ma parallèlement à l’axe vertical, les deux autres parallèlement aux diagonales mb, md , d’un prisme HH'RR'MM' inscrit dans celui de Lévy. La figure 22, p. 49? montre le prisme rectangulaire oblique de Miller, HH'KK'MM', inscrit dans le prisme clinorhombique aeoe'ea’eo' de Lévy. Dans le système clinorhombique, l’un des axes de Miller a une direction constante, celle de l’axe unique de symétrie binaire. Dans le système orthorhombique, les trois axes de Miller sont les trois axes de symétrie binaire, rectangulaires entre eux.
Dans le triclinique, deux des axes de Miller restent parallèles aux diagonales de la base du prisme de Lévy; mais ils n’ont p!u^,
ni l’un, ni l’autre, une direction fixe dans le cristal ; dans tous ces systèmes, les deux axes de Miller parallèles aux diagonales de la base du prisme de Lévy ont pour unité de longueur la moitié de la demi-diagonale correspondante.
Cette transformation d’axes de coordonnées force à faire un petit calcul. Si on appelle u, u , w les caractéristiques de Miller, x, y , 3 les dénominateurs des tractions de Lévy, dans les symboles les
iii tii
plus généraux bx by b'’ ou b£ by b' , il y a entre les quantités u , v, w d’une part et les quantités a?, y, z d’autre part les relations u — x —J— y x — y
1 , u=z -j — , w zz z, comme le montreront les tableaux
suivants dans chacun des différents systèmes cristallins.
Système cubique.
Formes
Lévy
Miller
Cube
Octaèdre .......
Dodécaèdre rhomboïdai. . .
Ilexatétraèdres
bZ
Trapézoèdres
{xzz)
Octotrièdres
{xxz)
Hexoctaèdres
{xyz) x>yyz
Système hexagonal et rhomboédrique
Pour le système hexagonal, nous croyons plus utile de donner la notation de Bravais, préférée de beaucoup maintenant à celle de Miller pour ce système. Bravais rapporte les faces à quatre axes; l’un est celui de symétrie sénaire. Les trois autres sont les axes de sy-
LES MINÉ RA UX
métrie binaire porallèles aux arêtes basiques du prisme primitif de Lévy. On remarquera qu’une des trois caractéristiques horizontales est égale à la somme des deux autres, prise en signe contraire.
Système hexagonal.
Caractéristiques de Bravais (4 axes).
Base
( protoprisme. . .
(îoTo)
Prisme ]
( deutéroprisme . .
Prisme dodécagones . . .
hV
(üyzo) z
/ sur les arêtes <
(xo X z)
Tsocétoèdres )
V sur les angles ^
(1 il 1)
Didodécaèdres . . . . .
bXbVhS
Système rhomboédrique.
Lévy Miller
Rhomboèdre primitif p * 100
Base a 1 111
Prismes (protoprisme) e2 112
(deutéroprisme) dl 101
Rhomboèdres sur b b1 110
mnn m^n
Tl
mmn
Scaléonèdre sur d
Système quadratique
Formes
Lévy
Miller
Base
Prisme primitif .
Prisme inverse . . ,
fx 4-y x — y \
Prismes octogones ,
Octaèdres sur les arêtes
(xxz)
~»)ou (112)
Octaèdres sur les angles
Dioctaèdres bx by h~
(xoz)
Système orthorhombique
Formes Lévy Miller
Base p (0 01)
Faces parallèles ( de côté a1 (10 0)
aux plans de < , .
symétrie ( de ^ (010)
, primitif m (110)
I de côté
Prismes ’ rhombiques '
LES MINÉRAUX
Dômes
Pyramides
rhombiques
Pyramides
quelconques
de côté
de face
{xyz)
(10 1) {oyz) (012)
t parallèles j ^ (aux arêtesj 1
( de côté
i de face
) ê*êV / ô1 ô1/3 0*/* 11 1 b~x b7j h1
(ni)
