SOUS-SYSTÈME, AXE PRINCIPAL TERNAIRE

FORMES RHOMBOÉDRIQUES.

Dans le plus grand nombre des espèces qui présentent des prismes hexagonaux, on voit les angles solides ou les arêtes basiques du prisme modifiées seulement de 2 en 2, suivant une loi d’alternance qui montre qu’il n’y a pas là une déformation accidentelle, mais une forme propreà la substance. Dans le calcaire, par exemple, on observe des prismes hexagonaux dont les arêtes basiques sont modifiées par des facettes régulières, toutes faisant le même angle

CO

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avec le prisme, mais de telle façon qu’une arête modifiée alterne avec une arête demeurée intacte (fig. 43).

du plan 3 et des plans 1 et 2 sont égales par raison de symétrie; donc, la figure ABCH est un losange. Il en est de même pour toutes les faces substituées aux arêtes, dont l’ensemble constitue un parallélipipède dont les faces sont égales et ont la forme de losanges ou de rhombes, ce qui le fait appeler rhomboèdre.

Les trois plans de symétrie passant par Taxe sénaire du prisme hexagonal et par les apothèmes de ses bases se conservent dans le rhomboèdre produit sur les arêtes basiques de ce prisme ; mais les plans de symétrie .verticaux parallèles aux diagonales de la section hexagonale ont disparu. L’axe sénaire n’a plus qu’une symétrie ternaire; un seul des deux systèmes d’axes binaires persiste, celui des trois axes menés par le centre parallèlement aux diagonales de la base ; car, le rhomboèdre possédant un centre de symétrie, comme tous les parallélipipèdes et trois plans de symétrie, doit présenter les trois axes binaires perpendiculaires à ces plans et ceux-là seulement. Tout dihexaèdre est décompo-

Fig. 43.

Le plan 3 prolongé rencontre les plans 1 et 4 qui sont parallèles entre eux, si on les prolonge suffisamment aussi, suivant des intersections parallèles AB, GH ; il rencontre les plans 2 et 5, qui sont également parallèles, si on les prolonge, suivant deux droites parallèles AG et BH. En outre, par symétrie, les intersections AB et AC

Fig. 44.

sable en deux rhomboèdres égaux, tels que, si on laisse l’un de ces deux rhomboèdres fixe et qu’on fasse tourner l’autre de 6o° autour de l’axe ternaire, celui-ci vient se superposer au précédent. L’un de ces deux rhomboèdres a ses faces et ses arêtes situées vis-à-vis des arêtes et des faces de l’autre. Les deux sont ce qu'on appelle inverses, ou en position inverse (fig. 44)*

AXE PRINCIPAL SEN AIRE OU TERNAIRE

Par extension, on appelle rhomboèdres inverses , par rapport au primitif, ceux qui ont leurs faces placées vis-à-vis des arêtes et leurs arêtes vis-à-vis des faces du rhomboèdre primitif, quels que soient les angles de leurs faces.

L’axe de symétrie sénaire a'a 1 du prisme hexagonal devenu ternaire dans le rhomboèdre exige autour de lui des éléments qui se répètent 3 par 3 identiques entre eux, 3 faces, 3 dièdres ou arêtes AI, AG, AB au sommet A, 3 autres A'E, A'H, AD qui concourent au sommet de l’angle solide A' inférieur. Les angles A et A' composés de dièdres tous égaux et de faces identiques sont appelés culminants. Les arêtes qui se rencontrent aux sommets A et A' sont dites culminantes .

Les arêtes CE, El, IH, BH, HD, DG sont appelées arêtes latérales ou en zigzag ; les angles E, I, H, B, D, G sont les angles latéraux (fig- 45).

Les arêtes culminantes jouent le rôle d’obiiques égales vis-àvis de l’axe ternaire AA', et leurs pieds C, I, B déterminent un plan horizontal, l’axe AA' étant maintenu verticalement, comme dansla figure. Le trianglehorizontal CIB est en même temps équilatéral ; il en est de même du triangle inférieur EDH. Les diagonales des faces CI, BI, CB ou EH, DH, DE sont appelées horizontales ; les diagonales AE, AH, AD et AI, A'B, A'G sont appelées inclinées ; celles-ci sont les projections de l’axe AA' sur les faces et les intersections de ces faces avec les trois plans de symétrie AEAB, AEA'H, AIA'D.

Enfin, le plan mené par le centre perpendiculairement à l’axe coupe les faces à égale distance des sommets A et A' et des triangles équilatéraux supérieur et inférieur suivant un hexagone régulier horizontal qui rencontre les arêtes latérales en leurs milieux g, z , s , t, u, v. Les axes binaires sont qt , vs , ur.

Notation du rhomboèdre. — On désigne, comme toujours.

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par les mêmes leltres les éléments semblables. Le rhomboèdre présente 2 angles culminants a ,

6 angles latéraux e,

6 arêtes culminantes b ,

6 arêtes latérales ou en zigzag d (fig. 46).

Fidèles à notre convention, nous choisissons comme axes de coordonnées auxquels nous rapportons les faces d’un cristal rhomboédrique, les trois arêtes d’un même angle solide, en prenant le sommet de cet angle comme origine. Les axes du cristal mené par le centre sont trois droites parallèles aux arêtes du prisme ; ces trois axes sont égaux et inclinés l’un sur l’autre.

Dimensions du prisme. — Les arêtes ayant la même longueur, leur rapport de longueur égale 1 . Il suffit donc de connaître un angle dièdre pour construire le rhomboèdre ou un rhomboèdre. Il est plus facile de le construire avec l’angle plan ; on calcule celui-ci au moyen de l’angle dièdre (fig. 36).

Formes dérivées. — Face e b'2; le vrai rhomboèdre inverse. Elle intercepte une arête b entière, et la moitié des arêtes ce, ee ou d qui concourent avec la précédente au sommet d’un angle e ; elle a pour expression b1, d b2, c?1/2, et par abréviation e1/-; elle satisfait à la symétrie binaire qui caractérise l’arête 5; elle coupe la face du rhomboèdre suivant un côté de l’hexagone régulier horizontal mené par le centre. Les six arêtes b semblables étant modifiées de même donnent un solide à six faces.

Il est facile de voir que la face e [/2 et la face p du rhomboèdre primitif qui lui est sous-jacente sont symétriques par rapport à l’axe et font le même angle avec lui. Aussi les six faces e1/2, en se

Fig. 46.

Les dièdres d sont supplémentaires des dièdres b. Dans le calcaire, les dièdres b valent io5°5"; on dit que le rhomboèdre est obtus ; les dièdres d valent 74° 55. Dans le corindon, les dièdres b valent 86° 4/ ; on dit que le rhomboèdre est aigu.

AXE PRINCIPAL SÉNAIRE OU TERNAIRE

coupant, déterminent-elles un solide identique au primitif, à part la diflérence de position. Le rhomboèdre dérivé e1/- a ses faces visà-vis des arêtes du primitif, et réciproquement ; il est tourné à 6o° de ce dernier, il possède les mêmes angles (voy. fig. 44).

Rhomboèdre e1. — Il intercepte sur les arêtes b , d , d d’un même angle solide latéral e un même segment ^ on a donc

^4 40ue:::=J' Pour S(m symbole (fig. 4;).

Ce rhomboèdre est plus aigu que le précédent, puisque ses faces vont rencontrer beaucoup plus loin l’axe ad.

Prisme hexagonal e2. — Supposons que le plan qui modifie l’angle e aille rencontrer l’arête b et l’axe ad de plus en plus loin, il finira par lui devenir parallèle; les six faces du rhomboèdre devenues verticales formeront, en se coupant, un prisme hexagonal de longueur indéfinie, forme ouverte, dont le symbole este2, comme on le prouverait facilement par une construction géométrique (fig. 48). Ce prisme est terminé dans les cristaux par d’autres formes, tantôt par des rhomboèdres aigus ou obtus, tantôt par des plans parallèles aux triangles équilatéraux et qui lui donnent des bases.

Face a1. — Le triangle équilatéral interceptant sur les arêtes b qui concourent aux sommets des angles a des segments égaux ou proportionnels à leur longueur

a pour symbole b-^ b ^ b ~ ou a1.

Faces a~. — En modifiant les angles a par des plans symétriques par rapport à une des arêtes b et interceptant sur celle-ci un segment ~ et sur les deux autres des segments ~, on obtiendrait des rhomboèdres

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Second prisme hexagonal d\ — Si on remplace les arêles latérales d par des faces verticales, on obtient un second prisme hexag&ral. On voit que ses faces ont pour symbole d L fil d ou d' ; il est, par sa position,

inverse du premier (fig. 4o).

Scalénoèdres. — Si l’on casse les faces d’un rhomboèdre suivant les diagonales inclinées, et qu'on fasse tourner chaque système de demi-faces du même angle autour de ces diagonales comme charnières, les six faces du rhomboèdre en donnent douze, qui ont en général la forme de triangles scalènes. Les lettres majuscules placées sur les arêtes montient la disposition ternaire des dièdres de n ême valeur autour de l’axe vertical PP. Les faces’] de ces scalénoèdres, placées symétriquement à droite et à gauche des plans de symétrie ou sections principales du rhomboèdre, interceptent, sur les trois arêtes qui concourent au sommet d’un

même angle, des segments

(fig- 5o)-

Pour certains rapports entre les segments m. n, p, les triangles scalènes deviennent isocèles, le polygone gauche qui leur sert de base commune devient un hexagone plan, et les dièdres égaux sont alors distribués par six autour de l’axe vertical. On a un dihexaèdre , ou double pyramide à six faces.

Le rhomboèdre primitif et son inverse e'/2 donnent aussi un dihexaèdre par leur combinaison.

Détermination pratique. — Les faces et les dièdres égaux sont toujours distribués par trois ou par un multiple de trois autour et à chaque extrémité d’un axe et d’un seul de principale symétrie. Les formes simples sont des rhomboèdres, des prismes

AXE PRINCIPAL SÉNAIRE OU TERNAIRE

hexagonaux, des scalénoèdres, des doubles pyramides à six, à douze, rarement à trois faces, enfin deux plans perpendiculaires à l’axe de principale symétrie, qui se combinent de façon à donner un nombre infini de formes souvent très complexes, mais qu’on analyse facilement en décomposant leurs dièdres en systèmes disposés symétriquement par 3 autour de leur axe principal.

De l’héiniédris plagièdre. — Les cristaux de quartz ont la forme de prismes hexagonaux terminés à chaque extrémité par des pyramides hexagonales. Quelquefois le prisme y disparaît plus ou moins complèlement. Les pyramides hexagonales résultent de la combinaison d’un rhomboèdre primitif p et de son inverse e]l 2.

On s’attendrait à voir sur les angles du prisme deux facettes symétriquement placées de chaque côté des trois plans de symétrie, qui mèneraient au scalénoèdre. On voit que, des deux facettes symétriques par rapport à chacun de ces plans, il ne s’en développe qu’une. Le scalénoèdre se réduit à un solide à six faces qui n’a plus de plan de symétrie, bien que son axe vertical garde toujours la symétrie ternaire caractéristique. Le?, facettes s’inclinent toutes dans la même direction sur le même cristal ; ellesy sontdisposées suivant des sortes d’hélices, enroulées à droite sur certains cristaux, à gauche sur les autres.

On appelle hémièdres les formes qui n’ont que la moitié des faces que présentent celles de même origine à symétrie complète dans le même système, et plus spécialement plagièdres celles qui n’ont plus de plans de symétrie. Le quartz est plagièdre et fait tourner le plan de la lumière polarisée dans la direction où s’inclinent les facettes dissymétriques.

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