SURFACE DE L'ONDE ET AXES OPTIQUES
Surface de Tonde. — Puisque, d'après les principes posés par Fresnel, la vibration ne peut avoir lieu dans chaque section centrale que dans la direction de ses axes, l'ellipsoïde inverse des vitesses permet d'obtenir la surface d'onde, ensemble de deux surfaces auxquelles parvient après l'unité de temps la lumière qui se propage dans tous les sens autour d'un point d'une substance cristalline d'où part l'ébranlement.
Il suffit d'élever les normales à toutes les sections de l'ellipsoïde inverse des vitesses; on prend sur chaque normale, à partir du centre, des longueurs inverses des axes de la section perpendiculaire ; par les extrémités de ces longueurs on mène des plans parallèles à toutes ces sections; la surface d'onde est l'enveloppe de toutes ces ondes planes; l'équation en a été calculée par M. Bertrand dans son Traité des enveloppesy discutée par M. Mannheim voir la Géométrie de MM. Rouché et de Comberousse).
Le rayon lumineux, ou le chemin éclairé par un plan d'onde, étant le rayon vecteur qui joint le centre aux points de contact des plans tangents à la surface menés parallèlement au plan d'onde, pour chaque plan d'onde il y a deux rayons qui suivent la même route et, par conséquent, deux plans d'onde parallèles transportés avec des vitesses inverses des axes de la section centrale qui leur est parallèle.
La surface d'onde est du 4e degré : elle a pour équation :
*■ -fr- tf1 + s" — a' ' rf + y' +*•—*' ' ^fy' +
Elle a les mêmes plans principiux et les mêmes axes que l'ellipsoïde qui sert à la construire. A chaque couleur 'ou à chaque X) correspondent, pour la même espèce cristallisée, un ellipsoïde inverse et sa surface d'onde.
En général, le rayon vecteur ou lumineux est oblique au plan
tangent ou plan d'onde correspondant; il n'est perpendiculaire à
ce plan que lorsqu'il a la direction d'un des trois axes oX, oY, oZ.
On peut construire facilement les intersections de la surface
d'onde par les sections principales.
Admettons que Ton ait a > b > c.
Si dans l'équation de la surface d'onde on pose successivement X zz: o, Y = o,Z=o, on obtient ses intersections avec les trois plans principaux, qui se composent pour chique plan d'un cercle et d'une ellipse.
Soit un rayon oM dans le plan ZoX, celui du papier (fig. io5). Ses vibrations se trouvent ramenées à deux directions : t° celle de oY, normale à ZoX et constante, quelle que soit la position de oM dans le plan ZoX ; 2° celle de oM', normale à oM dans le plr.n ZoX, laquelle tourne avec oM dans ce plan.
A la première direction correspond une vitesse de propagation constante, qu'on peut représenter par un cercle; le rayon lumineux qu'elle engendre se comporte comme un rayon ordinaire. A la seconde direction correspondent des vitesses variables, qui atteignent deux valeurs extrêmes : l'une, alors que le rayon lumineux oM est parallèle à oX, valeur minimum, puisque la vibration est alors parallèle à oZ, axe de plus petite élasticité c; l'autre, alors que le rayon est parallèle à oZ, valeur maximum, puisque
Fig. 105.
la vibration est devenue parallèle à oX, l'axe de plus grande élasticité a. Les vitesses sont données par une ellipse, dont le petit axe est parallèle à oX et le grand à oZ. Le rayon du cercle parallèle an rayon ordinaire a la valeur moyenne b.
Sur les trois axes, oX, oY, oZ, prenons des longueurs a, A, c. Dans le plan ZoX, l'ellipse coupe le cercle; dans le plan ZoY, le cercle est intérieur; dans le plan YoX, il est extérieur.
Axes optiques. — Le plan ZoX est celui qui nous intéresse spécialement. Les deux courbes y présentent une tangente commune Tf (fig. 106). Le point de contact T jouit de cette propriété, qu'un faisceau de lumière très délié TO ayant cette direction s'épanouit en cône dans le cristal et se rassemble à la sortie sous la forme d'un cylindre creux. Ces axes t, ? sont ceux qu'on appelle de réfraction cylindrique extérieure ou conique intérieure ; ce sont les axes optiques des cristallograpnes ; ceux de Fresnel ont une direction différente, quoique très voisine. Reportons-nous à l'ellipsoïde inverse des vitesses.
Sections circulaires- — Tout ellipsoïde a deux sections circulaires, qui sont perpendiculaires au plan des axes extrêmes et dont le rayon est égal à l'axe moyen. Les deux sections circulaires de l'ellipsoïde inverse des vitesses sont parallèles au plan qui est tangent à la fois en T et t à la surface d'onde. Si un rayon lumineux a <b*™» le cristal une direction normale à Tune des sections circulaires, telles que OT, ses vibrations s'effectuant suivant les rayons d'un cercle ne se décomposent pas et la direction OT que suivent deux rayons qui ont la même vitesse se comporte comme l'axe optique des cristaux quadratiques et hexagonaux ; ce sont deux axes optiques situés symétriquement à droite et à gauche des axes d'élasticité maxima etminima. dans le plan des ZX.
3. - DIFFÉRENCE DE PHASE DES RATONS RÉFRACTÉS PROVENANT D'UN MÊME INCIDENT.
Soit une direction II' d'une lamecristalline parcourue par un rayon p R réfracté provenant de l'incident RI
(flg. 108). Le second rayon réfracté est tellement voisin du premier qu'on peut le regarder comme lui étant rigoureusement parallèle, en sorte que la direction RI devient la route commune des deux rayons dans lesquels le cristal dédouble le primitif. Ces deux rayons, Fig. 107. partis ensemble de I, n'arrivent pas
ensemble en I', car ils ont des vitesses de propagation différentes, et ces différences de vitesses ne sont pas négligeables comme celles des angles que ces rayons font avec la normale PF à la face AB du cristal. Si la face AB' de sortie est parallèle à AB, les deux rayons cheminent encore côte à côte dans l'air où ils redeviennent parallèles à IR. Us parcourent II', l'un avec une vitesse V0 et dans
le temps t0 = rr-.Or, U'= , en appelant A l'épaisseur IF du
Vo cos f ' r
cristal, r l'angle I'IP. Donc, ce premier rayon met un temps
<.= * .Lesecond^tunte.nps^ * . La différence 8
cos r V0 cos r V«
de ces temps est donc = ( =r V et la différence de
cos r \V0 — V«/
phase des rayons est pour t0 — te — ô :
k=fé-r{i-?ù oucomme*=VT et T
T cos
X cos
r\Ta
Xcos r
(nd — ne),
V étant la \itesse de propagation dans l'air et n0, ne les deux indices de réfraction propres à la direction II'.
Polarisation elliptique. — On pose d'habitude égale à 9 cette différence de phase.
*= ~ lw0~-tt«) •
Acosr ° '
Soient, fig , Xo, Yo les directions suivant lesquelles se décompose un mouvement vibratoire oM dans un milieu cristallin, w l'angle MoX, jjl l'écart oM d'une molécule M au temps T à rentrée du rayon de lumière dans la lame.
YoX est la surface de cette lame.
( i ) jjl=: a cos* 7: - .
Les composantes suivant Xo et Yo sont :
i'a) x zr a cos a t: — cos a) y = a cos a rc — sin u>.
Elles donnent naissance à deux rayons qui sortent de la lame avec une différence de phase 9; on a donc en I', à un moment donné t :
3) x= a cos a) cos a ^ — y = a sin o)cos2 t. I — — 9
et posant asincoiz:^, acoso) = p,
y = ^ cos a ~ — cos 2 t: 9 + ? sin îî:- sin 2^9
y — q cos a 1: — cos a tc 9 =z ^ sin a X — sin a i: 9
et, comme cos 2 r* — zz -
xçzrçy i ; sin 27:9
y — — qcos a
El
evons au carre :
y* -\ — ; q* cos* 2 t: g — 2 xy - cos 2^9 = }* sin* 2 tc ç
- sin* 2 7: ©
y* + — j- — 2 x y — cos ai:ç — j! sin* a^ç.
Réduisons au même dénominateur :
Pî/f + xl ?* — 3 ^P^ ^s 2îî? = g^p* sin* 2 xç. Divisons par p^* :
-7 + ^ cos 2 xo r= sm 2 x© (4)
p q pq '
g* , y" a cos 2 *j a? y .
a cos a) a* sin* a) a* sm o> cos u>
équation d'une ellipse rapportée à son centre et indépendante du temps que nous avons éliminé.
L'orientation de l'ellipse dépend de w et de ç.
Le mouvement consiste en vibrations elliptiques se propageant sur une droite normale à leur plan (1).
Rejet de la lumière naturelle. — Elle consiste en mouvements de ce genre, mais dont les axes varient à chaque instant en grandeur et en direction. Lorsqu'elle a traversé une lame cristalline, elle se reconstitue à l'émergence en un ensemble de vibrations elliptiques d'orientations et de formes différentes.
(1) 11 n'entre pas dans notre sujet de discuter les différentes formes des
ellipses, ni le sens du mouvement de la molécule
v — y ■ étbéréc sur sa trajectoire. On voit, par exemple, que
l\ \ / x\ Ie mouvement a lieu dans le sens de la flèche sur la
/ figure 109 de t en 0, pour ç^rc. Car les équations
Fig. 108. (3) montrent que a: et y diminuent à mesure que t
croit depuis zéro.
Emploi de la lumière polarisée. — Mais, si on fait traverser une lame cristalline par un rayon sorti déjà d'un polariseur, c'està-dire à vibrations recti lignes et parallèles, les vibrations, au sortir de la lame cristalline, décrivent des ellipses semblables et de même orientation.
Rayons polarisés à angle droit. — Ce qui précède montre qu'ils ne peuvent pas interférer, puisque des vibrations rectangulaires donnent naissance à des trajectoires elliptiques, comprenant
les circulaires (dans le cas de 9 =: 7 et o> = 45°) et les rectilignes
(dans le cas de 9 — o.)
