II. - CRISTAUX A DEUX AXES OPTIQUES

A. Système orlhoronibique.

En lumière monochromatique. — Cherchons la figure formée par les points d'intersection de la face ABCD par où sort la lumière et des directions, telles que KM, capables d'établir entre les deux rayons polarisés qui la suivent en semble des différences de phase égales à un nombre impair de demi-longueurs de Tonde X de la couleur employée. A chacun des nombres entiers

i, 2, 3,... substitués à m dans (a m + i) ~, pour des valeurs différentes de ?, correspond une de ces figures composée de points noirs, c'est-à-dire où la lumière s'éteint à la sortie de ABCD en traversant l'analyseur.

Nous savons que la lumière X prend, au contraire, son intensité maximum au travers de l'analyseur pour les directions où les deux

rayons concomitants ont acquis une différence de phase im - dans

la lame. A chaque valeur entière de m correspondent, par conséquent, deux figures, une des points où la couleur s'éteint et l'autre des points à clarté intense. A chaque X enfin correspond un système de ces figures alternativement sombres et éclairées, qui sont homothétiques.

Les lemniscates. — Le calcul montre que les courbas ont pour équation :

** + My* + N*« t/ + Px* + Qy* + R = o (i). Leurs formes sont donc très voisines de celles du genre de cour-

{{) Voir Billet, Optique }>hy<tique,t. Il, p. 595. — Botity, loc. cit.

POLARISATION CHROMATIQUE

bes auxquelles appartiennent les lemniscates exprimées par l'équation .

** + t/+ a*y + Pfo" - *■) J- R =ro.

Ce sont des courbes telles que le produit VM. V'Mdes distances d'un de leurs points M à deux points fixes V et V reste constant.

En écrivant leur équation comme, il suit :

(i* -f y*)%+ a e* (i/1 — xf)=:a*— c*

on voit qu'elles ont les formes (fig.

119 et 120) :

(1) pour a <c

(a) pour a — c

(3) pour a > c

(4) pour a> c^/JT L* courbe (4) est entièrement convexe Fi&- 119 el 12°-

en désignant par c la distance oV = oV' et par a* le produit constant des distances MV. MV. Les foyers V et Y sont, bien entendu, les points d'inlersection de la face ABGD et des axes optiques KV,

KV (fig. 121); oZ est la bissectrice de l'angle aigu de ces axes. Une plaque parallèle à la face A'DBC, perpendiculaire à la bissectrice Y de l'angle obtus des axes, montre les mêmes phénomènes; C' mais les deux points fixes V et V sont plus écartés.

Nous voyons bien ce que deviennent les anneaux colorés circulaires des cristaux à un axe optique dans les biaxes.

Mais qu'arrive-t-il à cette croix noire qui traverse les anneaux et qui est le lieu des points où toutes les couleurs s'éteignent,

Fig. !i2.

comme on le voit en posant <z = o dans la formule générale E'zzrsin'a acos*x?.

Lignes neutres ; les hyperboles. — Influence de a. — Considérons d'abord une section elliptique centrale de l'ellipsoïde inverse des vitesses, dont les axes sont AA', BB' dans le plan de la figure, qui est celui d'une onde intérieure du cristal. On sait que les axes AA', BB' sont les directions des vibrations des deux plans d'onde parallèle, qui se propagent sur la normale oP à la section (fig. 122).

Les sections circulaires de l'ellipsoïde coupent cette section suivant deux droites CD, CD', par exemple, puisque tous les rayons des deux sections circulaires sont égaux. Menons les normales oP au plan de la figure et oV, oV aux droites CD, CD' dans le plan des axes optiques. CD perpendiculaire à oP, comme ligne du plan de la figure, et à oV, comme ligne de la section circulaire, est perpendiculaire au plan PoV mené par ces deux droites. De même CD' est perpendiculaire au plan PoV. Donc, les plans PoV, PoV sont perpendiculaires à la direction plane des plans d'onde. Les plans PAo, PBo sont aussi perpendiculaires à cette direction plane.

Donc, les angles plans CoB, C'oB mesurent les dièdres que font les plans menés par les axes optiques et les traces des sections circulaires avec le plan PoB. Mais les droites oC, oG étant égales sont à égale distance de oB. Donc, le plan PoB .est bissecteur du dièdre des plans VoC, YoG.

Or, la section montre noirs les points où elle est coupée par les directions où les deux rayons concomitants sortis de l'analyseur

ont une différence de phase égale à (2 m -\- 1) — . Soit N un de ces

points obscurs (fig. 123); V et V les points où les axes optiques

POLARISATION CHROMATIQUE

rencontrent la lame, pôles des lemniscates. Si le plan de polarisation du rayon de direction oN, o étant le centre du cristal, bissèque l'angle des plans VNo , ^ Y'Not c'est un des pians sur lesquels se décomposerait la vibration ; celle-ci ne se décompose pas dans le plan d'onde (figure précédente), et le point N restera noir. Le calcul montre que le lieu de ces points est une hyperbole ayant V et Vr pour sommets. En effet :

Soient 2 3 = VV; a = angle de polarisation et de ZoX'; NI bissectrice de V'NV; 0' projection du centre de la surface sur le plan de la figure ; oX\ oY, axes des coordonnées parallèles aux axes oX, oY menés par le centre de la surface ; a l'angle qui satisfait aux conditions qui donnent l'obscurité ;

On a :

X'V'N' = ï, X'VN = 0

VNV = NVX' — NV'X' =3 — P

et VNI == i (3 — fr) = INN' ; puis, VIN = y = 1VN + IN'

= F + i (3 - &) =~ (0 + 3')- Mais y =«•

Donc g + $ z=. 2 a.

Or, si on désigne par x^ yt les coordonnées 2N, on a :

- Vt

v tg3— tg3'

2Jfi!/t

= — — tg 2 a

*." - 2/t1 - S1 ou 2X, yt = (*/ — y," — S*) tg * a.

Ce$t l'équation d'une hyperbole équilatère.

Si le plan de polarisation bissectait l'angle obtus des axes optiques, il n'y aurait pas non plus de dédoublement de la vibration dans la lame, et les points de cette seconde bissectrice seraient encore sur une courbe noire.

a est l'angle d'un axe de la lame et de la section principale du polariseur.

Soit a = o = 900, Phyperbole devient une croix noire à deux branches. Soit a = 45°; on a x* — y* =:5% hyperbole. Les points V et V restent toujours sur la courbe, puisque, pour y =r o, on a x = -f- 5, quel que soit S.

G'&t généralement dans la position a=45°> où la ligne VV des pôles des lemniscates bissèque l'angle des sections principales croisées du polariseur et de l'analyseur, qu'on observe des cristaux biaxes, parce que, dans cette position, on ne court pas le risque de confondre l'hyperbole de ces crislaux avec la croix noire des uniaxes. Lames perpendiculaires à un axe optique. — On observe un seul système d'anneaux plus ou moins ovales, ayant pour centre commun le point où l'axe oplique perce la lame, et traversés par une branche d'hyperbole dont la concavité est tournée vers l'axe, si le plan des axes est à 45° des niçois et par une barre noire, si ce plan est. parallèle à l'un des niçois.

Lames parallèles au plan des axes. — Elles donnent des franges hyperboliques.

Surfaces isochromatiques dans les biaxes. - Elles sont à

deux nappes, dont nous n'avons à considérer que l'extérieure, utile, la seconde, que les géomètres appellent parasite et qui n'est pas dessinée, étant un ellipsoïde intérieur à la première. La nappe utile a, comme on voit (fi g. 1 24), la forme de deux tubes qui se croies- ,44- sent et se raccordent vers le centre. Elle admet deux directions asymptotiques oV, oV' qui sont les axes optiques propres à sa couleur. A cette couleur correspond une série de surfaces homothétiques où les directions asymptotiques oV, oV#

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restent les mêmes, et qui donnent, dans les sections étudiées plue haut, ces courbes concentriques successives, qui grandissent

Dispersion (distribution des couleurs dans les cristaux biaxes)

- Fig. iîd.

(flg. ia5 et ta6). — Soit un cristal rectangulaire droit : le plan des axes est déterminé par les lignes menées du centre eux foyers des courbes. Les trois axes d'élasticité optique communs à toutes les couleurs sont parallèles aux arêtes du prisme rectangulaire. L'un de ces axes est la bissectrice de l'angle aigu des axes et porte le mon de bissectrice aiguë, oa dans la figure; le second ob est bissectrice de l'angle obtus; c'est la bissectrice obtuse; le troisième est dit ligne perpendiculaire.

Soit, figure 137, un des systèmes d'anneaux vu de face. Divisons l'espace en quatre quadrants, 1, a, 3, 4.

Il y a symétrie parfaite pour les quatre quadrants dans tous les anneaux (1).

(I) Lei figures 127 et \2$ représentent les phénomènes observés en lumière simple ou monochromatiqne dans des plaques à faces parallèles et perpendiculaire a a la bissectrice aiguë de l'angle des axea dans une substance cristallisée appartenant au système orlhdrhombique et observée en lumière convergent entre deux niçois croisés. Les figures coloriées de la planche montrent les mêmes sections observées en lumière blanche. Chaque point de l'espace 7 est éclairé par un mélange de couleurs dont chacune a l'intensité qui lui est propre en ce point.