Les sciences mathématiques en France depuis un demi-siècle

On se propose d’indiquer ici succinctement la part prise par la France dans le progrès des Mathématiques pures pendant la seconde moitié du xix° siècle et dans les premières années du siècle actuel, sans avoir la prétention de donner en quelques pages un tableau complet, et en laissant de côté des travaux trop récents, pour lesquels le recul paraît insuffisant.

Pendant la première moitié du x1x° siècle, les voies les plus fécondes avaient été ouvertes par Fourier, Cauchy et Galois. L’ouvrage de Fourier sur la théorie analytique de fa chaleur est célèbre en Physique mathématique ; 1l contient le germe des méthodes employées dans l'étude des équations différentielles auxquelles conduisent de nombreuses théories physiques, et les séries célèbres qui portent le nom de Fourier ont fait l’objet d’immenses généralisations. L'activité de Cauchy fut prodigieuse et s’étendit à tous les domaines des Mathématiques pures et appliquées. Sa plus grande créalion fut celle de la théorie des fonctions de variables complexes ; il a ainsi donné une vie nouvelle à l’Analyse mathématique, et, en ce sens, les travaux les plus modernes relèvent de lui. On doit les notions les plus essentielles sur la théorie des groupes à Évariste Galois, qui en a fait d’admirables applications à la théorie des équations algébriques et montra qu'à chaque équation correspond un groupe de substitutions dans lequel se reflètent les caractères essentiels de lPéquation. D'ailleurs les notions introduites par Galois dépassent de beaucoup en réalité le domaine de l’Algèbre et s'étendent au concept de groupe d’opé-

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rations dans son acception la plus étendue. Si brève qu’ait été la vie de Galois, qui disparut à vingt ans dans une obscure querelle, il avait fait aussi en Analyse des découvertes capitales sur les intégrales de différentielles algébriques, comme le montre une lettre écrite la veille de sa mort.

Les trois grands noms que nous venons de citer sont représentatifs des mentalités que l’on rencontre chez ceux qui cultivent les sciences mathématiques. À ce sujet, il ne sera pas inutile d’indiquer les points de vue divers sous lesquels ces sciences peuvent êtres envisagées. Pour Fourier, l’étude approfondie de la nature est la source la plus féconde des découvertes mathématiques. L’affirmation est exacte d’une manière générale ; 1l est vrai, comme le dit l’illustre géomètre et physicien, que la Physique a été souvent l’origine première de grandes théories analytiques, mais il ne faut pas ajouter que l'Analyse est uniquement utile au physicien, parce qu’elle constitue une langue d’une admirable clarté, qui n’a pas de signe pour exprimer les notions confuses et procure à la pensée une véritable économie. C’est méconnaître que le caleul a devancé parfois l’expérimentation, c’est méconnaitre aussi l’admirable puissance de transformation du raisonnement et du calcul mathématiques. Des notions, identiques au fond, peuvent avoir des formes très différentes, et 1l arrive que la forme soit essentielle ; telle aussi l’énergie peut être constante en quantité, mais variable en qualité. La phrase, quelquefois citée, qu’il n’y a dans une formule que ce que l’on y a mis, est vide de sens ou n’est qu’un pur truisme. [n’y a par exemple dans la Mécanique céleste que la loi de la gravitation universelle et quelques constantes fournies par l’observa- Uon, mais d'innombrables transformations de calcul nous font passer de ce point de départ à l'explication de presque toutes les particularités des mouvements des astres. Ce n'est pas assez non plus que de vanter la clarté du langage analytique ; en fait, il a joué un rôle important pour la plus grande extension des principes. Par le simple jeu de ses formules, l'Analyse peut suggérer des généralisations dépassant beaucoup le cadre primitif. N’en at-il pas été ainsi avec le principe des déplacements virtuels en Mécanique, dont l’idée première vient des mécanismes les plus simples ? La forme analyuque qui le traduisait, où apparaissent des sommes de produits de deux facteurs, suggéra des extensions qui conduisirent

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de la Mécanique rationnelle à la Mécanique chimique à travers la Physique tout entière. Un autre exemple est encore fourni par les équations de Lagrange ; ici des transformations de calcul ont donné le type des équations différentielles, auxquelles certains ont proposé de ramener la notion d'explication mécanique. Le mathématicien a créé un moule témoignant de l'importance de la forme d’une relation analytique ; 1l va de soi qu’il appartient à l'expérience de vérifier si l’instrument forgé est assez souple pour se prêler aux concordances expérimentales.

S1 la Mécanique et la Physique mathématique sont pour le mathématicien pur une mine fructueuse, 1l s’en faut de beaucoup que les questions de Philosophie naturelle soient l’unique objet de ses méditations. On le comprend assez par ce qui précède, et la marche n'est pas parallèle entre la théorie pure et ses applications. Le monde des formes et des grandeurs abstraites est en lui-même un sujet d’études, sur lequel l'esprit humain fait travailler les règles logiques qu'il a lentement élaborées à travers les âges. L’imagina- Uon a aussi sa part dans ces recherches, et la Mathématique a une valeur à la fois scientifique et artistique. Là, comme dans bien d’autres domaines, le beau et l’utile se rejoignent parfois, et des spéculations théoriques, restées pendant longtemps éloignées de toute application, ont pu un jour être utilisées. Beauté et simplicité vont d’ailleurs de pair, et l’on sait que le mot élégance revient souvent sur les lèvres des géomètres.

Le xvri° et le xvrri* siècle virent presque toujours les mathématiques et leurs applications cultivées par les mêmes savants. Il devait arriver un moment où des spécialisations s’établiraient ; c'est une loi générale, qui régit malheureusement tous les ordres Je recherches, et à laquelle échappent seuls quelques rares esprits, assez puissants pour ne pas avoir à sacrifier l’étendue à la profondeur. Les problèmes analytiques posés exigeaient de nouveaux perfectionnements. Une ère nouvelle commencait pour les mathématiques, rappelant, toules proportions gardées, les temps où la Géométrie grecque, devenue autonome, s’était séparée des spéculations cosmogoniques auxquelles elle avait été liée à une époque antérieure. Fourier et Poisson cultivèrent à peu près exclusivement les parties de l'Analyse se rapportant à la Physique, tandis que les recherches de Galois furent d’un caractère essentiellement

ts fIA pie abstrait, Quant à Cauchy, il fut à la fois un grand théoricien de la Physique et de la Mécanique, et un inventeur de génie en

Mathématiques pures.

TJ. — Lyxs FONCTIONS ANALYTIQUES.

Placons-nous maintenant dans les environs de 1850. Cauchy, avons-nous dit, est le créateur de la théorie des fonctions analytiques ; non pas qu'il lait présentée d’une manière didactique. Son esprit, toujours en travail, se souciait peu de donner à ses conceptions une forme parfaite. Les lois des fonctions analytiques appliquées à des fonctions particulières ont souvent donné avec facilité leurs principales propriétés. La théorie des fonctions elhiptiques en offre un mémorable exemple. Ainsi Liouville à traité le premier de la théorie générale des fonctions doublement périodiques ; peu après, Hermite intégrait le long d’un parallélogramme de périodes et obtenait la décomposition fondamentale en éléments simples. Le Mémoire de Puiseux sur les fonctions algébriques d’une variable à fait époque, en donnant une idée précise d’un mode d'existence de fonctions non uniformes; c’est dans ce travail qu'est posée nettement la notion de période d’une intégrale, indiquée seulement par Cauchy. Briot et Bouquet ont été aussi parmi les premiers pionniers mettant en lumière la fécondité et la puissance des idées de Cauchy. Leur étude sur certaines équations différentielles à intégrales uniformes, et surtout leur Mémoire sur les singularités correspondant au cas où le coefficient différentiel est indéterminé, resteront dans l’histoire de la Science; ce dernier travail appelait pour la première fois l’attention sur les points singuliers. Dans leur grand Ouvrage sur les fonctions elliptiques, Briot et Bouquet ont voulu, suivant leur propre expression, rendre à Cauchy la justice qui ne lui à pas toujours été rendue.

On voit combien à ses débuts la théorie des fonctions d’une variable complexe a été une science essentiellement française; elle est toujours restée en grand honneur chez nous. Depuis quarante ans, une partie importante de notre effort a été consacrée, soit aux fonctions analytiques en général, soit à certaines fonctions spéciales. L'édifice fut repris à la base simultanément en France par Méray et en Allemagne par Weierstrass, en prenant comme

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mier élément de la théorie la série entière. Les deux points de vue, celui de Cauchy, adopté plus tard par Riemann, et celui de Méray- Weierstrass, se raccordent d'ailleurs très vite, et 1l n'y a aucun intérêt, tout au contraire, à apporter là un esprit systé- matique.

Les fonctions analytiques ont fait pendant de nombreuses années l'objet de l’enseignement d'Hermite ; citons d'abord parmi ceux qui ont fait progresser la théorie née les noms de Laguerre, Poincaré, Picard, Appell, Goursat, Painlevé, Hadamard, Borel. La démonstration du théorème de Cauchy sur l'intégrale nulle le long d’un contour supposait la continuité de la dérivée ; Goursat montra que celte hypothèse est inutile.

Cauchy et ses premiers disciples français avaient seulement considéré les pôles des fonctions uniformes. Le géomètre allemand Weierstrass appela l'attention sur une singularité plus complexe, : le point singulier essentiel. Picard établit que, dans le voisinage d'un point singulier essentiel isolé, la fonction prend une infimité de fois toute valeur donnée, une exception étant possible seulement pour deux valeurs au plus ; diverses conséquences résultent de là pour les fonetions entières. La démonstration utilisait la fonction modulaire de la théorie des fonctions elliptiques, fonctions à singularités plus élevées présentant précisément la propriété qu’on veut démontrer être impossible. Ces propositions donnèrent lieu à un grand nombre de travaux. Borel, le premier indiqua le principe d’une démonstration, où n’intervenait pas la transcendante indiquée.

Depuis 1880, les généralités sur les fonctions uniformes, mises sous forme de séries ou de produits infinis, ont été étudiées par les géomètres cités plus haut. Rappelons notamment les développements, en séries de polynomes, d’Appell et de Painlevé, les fonctions à espaces lacunaires de Poincaré et de Goursat, et ee récemment certains développements de Montel.

L'étude des séries entières sur leur cercle de convergence est de la plus haute importance. Dans son beau Mémoire sur l’approximation des fonctions de grands nombres, Darboux a tiré un parti très heureux du:cas où les singularités sur ce cercle sont de nature simple. Le travail d'Hadamard sur cette question est fondamental et a appelé en particulier lattention sur des cas étendus où le