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cercle de convergence est une coupure; il a été suivi dans cette voie par Borel, Leau et Fabry; celui-ci a pu établir que, en général, le cercle de convergence est une coupure. La considération d’une certaine intégrale définie par Hadamard a été féconde et fut l’or1igine de nombreuses recherches ultérieures.

La notion de genre a été introduite par Laguerre dans la théorie des fonctions entières ; elle est intimement liée à la distribution des racines de la fonction. Poincaré a donné une condition nécessaire pour qu'une fonction soit de genre donné. Hadamard put démontrer que la condition est suffisante, et il établit un lien entre la décroissance des coefficients et la croissance des racines ; de ces résultats il a fait une application remarquable à l'étude d’une fonction célèbre considérée par Riemaun dans la théorie des nombres premiers. Borel s’est occupé avec grand succès de la distribution des racines des fonctions entières et de Pimpossibilité de certaines idenütés ; il a étudié, après Hadamard, la difficile question de la croissance des fonctions entières, sujet qu'ont encore approfondi dans des études récentes Boutroux, Denjoy et Valiron.

La notion de série divergente sommable, telle qu’elle a été posée par Borel, s’est montrée très féconde pour l'extension d’une série entière au delà de son cercle de convergence, même dans le cas où le rayon de ce cercle est nul. On doit à Painlevé d'importants développements dans cet ordre d'idées, qui se raccorde avec les résultats de Mittag-Leffler sur l'étoile d’une fonction. La plupart des travaux précédents ont été exposés d’une manière didactique dans une collection précieuse sur la théorie des fonctions, publiée par Borel et ses collaborateurs français Lebesgue, Boutroux, Baire, Montel qui y font aussi connaître leurs travaux personnels.

La théorie générale des fonctions multiformes présente de grandes difficultés. Poincaré a démontré à ce sujet un théorème remarquable et bien inattendu : étant envisagée une fonction multiforme quelconque d’une variable, on peut exprimer fonction et variable par des fonctions uniformes d’un paramètre, résultat considérable qui montre que, au moins théoriquement, les fonc- Uuons multiformes se ramènent aux fonctions uniformes. Painlevé a fait une classification rationnelle des singularités des fonctions analytiques.