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ment une dérivée, le Calcul différentiel n’aurait pas pris naissance ; de même les idées inexactes de Lagrange sur la possibilité des développements en série de Taylor ont rendu d’immenses services. Les fonctions analytiques, qui sont les seules usuelles, ont pris une importance considérable, et l’on a vu plus haut que la théorie de ces fonctions est une branche maîtresse de l'Analyse. Un jour devait venir cependant où l’idée de fonction serait approfondie dans toute sa généralité. Cauchy, dans plusieurs de ses écrits, avait donné plus de précision à certains résultats intuitifs sur les fonctions continues admis sans démonstration. En Allemagne, Diri-

chlet én donnant des conditions pour la possibilité du dévelop-

pement en série trigonométrique, Riemann en établissant la disunction entre les fonctions intégrables et les fonctions non intégrables, Weierstrass en donnant un exemple de fonction continue sans dérivée, allèrent beaucoup plus loin. En France, le Mémoire de Darboux sur les fonctions discontinues marque une date ; on y trouve une proposition qui permet de définir de la manière la plus nette l'intégrabilité d’une fonction, et de nombreux exemples de fonctions continues sans dérivées. Jordan a introduit dans celte partie de l’Analyse d'importantes notons : telle la notion de fonction à variation bornée. Les courbes, dites de Jordan, séparant

le plan en deux régions distinctes sont également devenues classiques.

Le géomètre allemand Cantor a fondé la théorie des ensembles de points. On doit attacher une grande importance à la distinction entre les ensembles énumérables et les autres. Il en est de même pour la notion d'ensemble dérivé et d'ensemble parfait. Le nombre des Mémoires consacrés aux ensembles est considérable : ils sont de valeur très inégale, au moins au point de vue purement mathématique. Ün certain nombre d’entre eux n’ont actuellement aucun intérêt mathématique: c’est ce qui arrive pour les études sur les nombres transfinis qui n’ont conduit jusqu'ici à aucun résultat inaccessible par une autre voie. On rencontre dans cette métamathématique quelques paradoxes et des difficultés qui ont fait couler des flots d'encre. Plusieurs de ces difficultés proviennent de ce qu’on ne s’entend pas sur le mot existence, et l'on pourrait faire des comparaisons avec certaines

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