IT. — THÉORIE DES NOMBRES. ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE

La théorie des fonctions analytiques et celle des équations différentielles nous ont conduit plus d’une fois à parler de diverses autres branches des Sciences mathématiques. Il importe cependant

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de nous arrêter sur quelques recherches se rapportant plus spécialement à la théorie des nombres, à l’Algèbre, à la Géométrie et à la théorie des groupes.

Les recherches d'Hermite sur la théorie des nombres ont rendu son nom célèbre. L'introduction de variables continues a été l’idée fondamentale qui a dominé la longue suite de ses travaux en Arithmétique supérieure ; les méthodes qu'il a créées ont ouvert à la théorie des nombres des horizons entièrement nouveaux. Un peu plus tard, Hermite passait, de lapproximation simultanée de plusieurs nombres par des fractions de même dénominateur, au problème analogue pour plusieurs fonctions. Ce mode d’approximalions algébriques le conduisait en 1855 à une de ses plus mémorables découvertes, je veux parler de la démonstration de la transcendance du nombre e, base des logarithimes népériens. En suivant la voie ouverte par Hermite, le géomètre allemand Lindemann démontrait peu de temps après la transcendance du nombre r, rapport de la circonférence au diamètre.

Les travaux de Jordan sur l’équivalence des formes ont réalisé de grands progrès dans la théorie générale des formes algébriques de degré supérieur. Dans la théorie des formes quadratiques, Poincaré a marqué sa trace par l'introduction de points de vue nouveaux, en particulier sur le genre de ces formes. La considération des formes ternaires l’a aussi conduit à une classe de fonctions fuchsiennes présentant un théorème de multiplication. Picard et Humbert ont appliqué la méthode de réduction continuelle d'Hermite à l'étude de divers groupes discontinus.

. Parmi les recherches arithmétiques d’une autre nature, Îles études de Cahen et surtout d’Hadamard sur la théorie asymptotique des nombres premiers doivent être rappelées.

Nous avons dit, au début de cet article, que Galois avait posé les véritables bases de la théorie des équations algébriques. Jordan a publié un Ouvrage considérable sur les substitutions et les équations algébriques. Il y fait une étude approfondie des idées de Galois, en y ajoutant des résultats essentiels sur les groupes primilifs, les groupes transitifs et les groupes composés, dont un des plus importants est que les facteurs de composition d’un groupe sont les mêmes, à l’ordre près, de quelque manière qu’aient été

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effectuées les opérations qui les déterminent. Dans la théorie des équations algébriques, Jordan a étudié les équations à groupe composé, abordé et résolu le problème posé par Abel : celui de rechercher les équations de degré donné résolubles par radicaux et de reconnaître si une équation rentre ou non dans cette classe. D'autres travaux algébriques de Jordan se rapportent au problème des groupes linéaires d'ordre fini, dont il indique la formation dans ses grandes lignes; c’est la question des équations différenuielles linéaires à intégrales algébriques. Goursat a approfondi un cas particulier intéressant de ce problème, en recherchant les divisions régulières de l’espace en un nombre fini de régions congruentes.

Laguerre a-apporté d'importantes contributions à la théorie des

équations algébriques. I fait preuve d’une rare finesse dans ses Notes sur le théorème de Descartes, le théorème de Sturm, la méthode de Newton, et reste toujours soucieux des applications particulières. On a plaisir à retrouver ces résultats rassemblés dans ses OEuvres complètes récemment parues.

Les recherches de Géométrie pure et de Géométrie analytique sont depuis longtemps en honneur dans notre pays, comme Île montrent assez les noms de Liamé, de Dupin, de Poncelet et de Chasles. Après Bertrand, Jordan s'occupe des polyèdres dans un beau Mémoire consacré en fait à la Géométrie de situation, et dans un autre travail donne la condition pour que deux surfaces ou portions de surface flexibles et extensibles à volonté soient applicables l’une sur l’autre sans déchirure n1 duplicature. Une partie importante des travaux de Laguerre est consacrée à la Géométrie ; il eut, tout jeune encore, l’heureuse fortune de compléter l’œuvre de Poncelet en Géométrie projective, en montrant comment se fait la transformation des relations angulaires, étendit la théorie des foyers à toutes les courbes algébriques et fonda la Géométrie de direction. De Jonquières a donné le premier exemple des transformations birationnelles de degré quelconque dans le plan, dont Cremona devait indiquer ensuite la forme générale.

Halphen se fit d'abord connaître par ses travaux sur la célèbre théorie des caractéristiques de Chasles, résolvant un problème qui avait arrêté l’illustre géomètre. Les cyclides, c’est-à-dire les

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surfaces du quatrième ordre avant pour ligne double le cercle

de l'infini, occupèrent de nombreux auteurs, parmi lesquels Laguerre, Darboux et Moutard; ces deux derniers découvrirent simultanément le remarquable système triplement. orthogonal formé de cyclides. Dans son Ouvrage, paru en 1853, sur une

classe de courbes et de surfaces algébriques, Darboux a fait con-

naître un grand nombre de résultats intéressants sur les courbes cychdes et les surfaces cyclides, et a étudié les relations de ces dernières avec les fonctions abéliennes hyperelliptiques. À propos de la Géométrie de Cayley, Darboux donne une interprétation de la Créométrie non-euclidienne dans un demi-espace euclidien, souvent attribuée à Poincaré.

Les courbes gauches algébriques ont fait l’objet d’un grand Mémoire d'Halphen, qui est peut-être sa plus belle œuvre mathématique. Ce travail touche en bien des points à la théorie des foncuons ; c'est aussi une étude profonde de Géométrie analytique. L'auteur à réussi à énumérer et à classer en diverses familles les courbes gauches d’un même degré ; 1l montre la précision de ses méthodes en donnant, comme exemple, la classification complète des courbes de degré cent vingt. Entre tant de résultats bien dignes de remarque, Halphen fait connaître la limite inférieure du nombre des points doubles apparents d’une courbe gauche de degré donné, et démontre que les courbes répondant à cette limite sont sur une surface du second ordre.

Certaines surfaces particulières ont attiré particulièrement lattention des géomètres : telles les surfaces de Steiner et de Kummer. Darboux à indiqué une génération géométrique des lignes asympto-

tiques de la première, et Picard a montré qu’elle était la seule sur-

face non réglée dont toutes les sections planes sont unicursales. Humbert a fait connaître de nouvelles propriétés de la seconde, notamment que toute courbe algébrique tracée sur elle est l’intersection de celle-ci avec une surface quila touche tout le long de la courbe. Les surfaces de Kummer singulières ont fourni à Humbert le premier exemple du fait très curieux qu'une surface peut avoir une infinité discontinue de transformations birationnelles en ellemême, sans avoir une infinité continue de telles transformations. Dans un ordre d'idées plus particulièrement géométrique, on doit aussi à Humbert de curieux théorèmes sur les aires sphériques et

PMUIQ ce ellipsoïdales, qui étendent à la sphère et à l’ellipsoïde des propriétés fondamentales du cercle et de l’ellipse.

La théorie des formes algébriques avait jadis conduit à la notion d'invariant. Dans une Note mémorable, Laguerre fit voir que cette notion peut s'étendre aux équations différentielles linéaires. De son côté Halphen faisait une étude approfondie des équations différentielles restant inaltérées par une transformation homocraphique quelconque. L’équation différentielle des lignes droites et celle des coniques donnaient les deux premiers exemples ; la découverte d’un invariant du septième, ordre amenée par: d’ingénieuses considérations géométriques permit à Halphen de développer la théorie générale qu'il étendit aux courbes gauches. Après l'apparition de la Note de Laguerre, Halphen vit de suite le rapport entre ses recherches antérieures et la notion introduite par Laguerre, et il édifia une théorie complète des invariants des équations linéaires. Il montra ensuite l'intérêt de ces recherches pour le calcul intégral, en apprenant à reconnaître si une équation différentielle linéaire est susceptible d’être ramenée à certains types déjà intégrés.

La théorie des groupes est fondamentale en Algèbre ; elle ne joue pas en Analyse un moindre rôle, depuis que le géomètre norvégien Sophus Lie a édifié Ja théorie des groupes de transformations, faisant une étude approfondie des groupes d’ordre fini et posant les bases de la théorie des groupes infinis. Dans les travaux de Lie, la théorie des groupes intervient essentiellement comme un principe de classification ; dans les applications qu'il a faites de sa théorie aux équations différentielles, celles-ci sont des équations particulières. La théorie des groupes a apparu comme un principe de réduction depuis que Picard a montré comment les idées de Galois sur les équations algébriques pouvaient êtres étendues aux équations différentielles linéaires ; il a été suivi dans cette voie par Vessiot et par Drach. On doit à Drach d’avoir montré le premier comment la notion de groupe de rationalité pouvait être étendue à toutes les équations différentielles ordinaires ou aux dérivées partielles ; c’est ce qu'il appelle l'intégration logique qu'il oppose à l'intégration géométrique ou intégration par séries. Vessiot s’est aussi occupé de la théorie de Galois et de ses diverses

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généralhsations à un point de vue un peu différent, et a publié de beaux Mémoires d’une forme parfaite sur l'intégration des systèmes différentiels qui admettent des groupes continus de transformations, et sur la réductibthité et l'intégration des systèmes complets; il a aussi donné la condition pour qu'une équation différentielle hnéaire soit intégrable par quadratures, problème qui correspond à celui des équations algébriques résolubles par radicaux.

Les théories générales, pour prendre dans la Science un droit de erté définitif, ont le plus souvent besoin de s’illustrer par des applications particulières. Dans plusieurs domaines, celles-c1 ne sont pas toujours faciles à trouver, et des théories très générales risquent quelquefois de rester confinées, si j'ose le dire, dans leur extrême généralité. Il arrive aussi que les applications tentées ramènent seulement à des cas déjà connus; dans ce cas, la théorie, intéressante au point de vue de la classification, n'apparaît pas comme une arme pour la découverte de faits nouveaux. Aussi est-il intéressant de rappeler que la recherche du groupe de ratio- +s nalité de l’équation différentielle des lignes de courbure de la surface des ondes a conduit Drach à l'intégration de cette équa- 4 tion, cherchée en vain depuis longtemps. 4

Les recherches de Cartan sur la théorie des groupes sont très importantes. Elles concernent surtout la structure des groupes et la détermination des groupes simples. Pour les groupes continus et finis, les principes avaient été posés par Lie et ses élèves ; pour À les groupes infinis, touL était à créer. Cartan a réussi à déterminer tous les groupes infinis simples, transitifs ou intransitifs. Je dois encore rappeler les travaux de Gartan sur les systèmes de Pfaff et les systèmes en involution.

IV. — THÉORIE DES FONCTIONS DE VARIABLES RÉELLES ET THÉORIE DES ENSEMBLES.

Un des principaux objets de l'Analyse abstraite est l'étude de Pidée de fonction, c’est-à-dire de dépendance entre deux où plusieurs variables. Il a fallu longtemps pour qu'on se rendit compte c de l'étendue de cette notion; c’est là d’ailleurs une circonstance très heureuse pour les progrès de la Science. Si Newton et Leibniz avaient pensé que les fonctions continues n’ont pas nécessaire- k