Les surfaces de Riemann des fonctions méromorphes

Depuis quelques années, la recherche de critères de type de surfaces de Riemann simplement connexes a été l’objet de nombreux travaux. Ces critères concernent en général des surfaces assez simples, notamment ceux d’entre eux qui donnent des conditions suffisantes pour le type parabolique; le principe de Bloch ($ 11) permet d’indiquer dans quelle direction on peut trouver des généralisations de ces critères. M. Ahlfors a complété dans ce sens des conditions suffisantes pour le type hyperbolique (généralisation du théorème de Picard par exemple).

Dans le chapitre premier ($ 1 à 3), nous rappelons les résultats acquis concernant la définition des surfaces de Riemann, et leur représentation par des arbres ou des réseaux.

La classification, due à M. Iversen, des singularités des surfaces de Riemann simplement connexes, fait l’objet du $ 4; nous donnons ensuite ($ 5) des exemples de singularités plus compliquées que celles qui rentrent dans cette classification.

Le chapitre 3 expose l’extension aux surfaces les plus générales de la représentation par les réseaux de M. Speiser; nous montrons qu’à tout réseau (avec quelques restrictions nécessaires) correspond une surface de Riemann. En passant, nous étudions les relations qui doivent exister entre deux réseaux d’une même surface.

Le chapitre 4 traite du type des surfaces de Riemann. Au $ 11, nous exposons l’idée de M. Bloch et proposons une forme précise pour ce que nous appelons le principe de Bloch, à la place du terme de continuité topologique qu’il a donné lui-même et qui prête à confusion.

Le $ 12 donne un critère de type qui constitue une démonstration partielle du principe de Bloch. Aux $$ 13 et 14, nous indiquons des généralisations (dans le sens indiqué par M. Bloch) d’un théorème de M. R. Nevanlinna. Le critère donné au $ 15 est également inspiré par le principe de Bloch; celui du $ 16 montre qu’on peut obtenir le type parabolique non seulement en raréfiant les singularités, mais aussi en les disposant de façon assez régulière.

Enfin, aux $$ 17 à 19, nous introduisons, pour l’étude du type des sur-

faces, une méthode nouvelle; elle peut être utile lorsqu'on s'occupe de surfaces dont la symétrie, ou la dissymétrie, joue un rôle prépondérant. Nous donnons quelques critères obtenus grâce à cette méthode, et indiquons, au $ 19, comment une étude plus complète pourrait donner la démonstration du principe de Bloch dans sa forme la plus simple, celle où la transformation de la surface ne concerne qu’une singularité isolée.

En terminant, il m’est agréable de remercier tous ceux à qui je dois d’avoir pu préparer et faire imprimer ce travail; ma gratitude va en particulier à M. Valiron, dont les remarques et les bienveillants conseils m'ont été d’un si grand prix.