CHAPITRE I

Définitions. Rappel de résultats

$ 1. Définition de la surface de Riemann

La définition que nous donnons est due à Radé'); voir aussi Bochner?) et de Possel*).

Espace topologique : C’est un ensemble d’éléments, les ,,points"; à chaque ,,point‘* P correspond un sous-ensemble, contenant P, appelé voisinage de P : V(P). Un voisinage est tel qu’il peut être représenté topologiquement sur l’intérieur d’un cercle, l’image de P étant le centre du cercle. De plus, cet ensemble est tel que:

Axiome 1: Si V,et V, sont deux voisinages de P, P possède un voisinage contenu dans V, et V,.

Axiome 2: Si Q est contenu dans V(P), on peut trouver un V(Q) tel que

Axiome 3: Si P Q, on peut choisir V(P) et V(Q) avec

Surface : Espace topologique topologiquement équivalent à un domaine plan (,,schlichtartig").

1) Acta Szèged, 2, 1925, p. 101.

2) Math. Annalen, 98, 1928, p- 26.

5) Thèse, J. Ecole Polytechnique, 26 série, 30, 1932, p. 9.

Surface de Riemann : Soit F une surface, { V} le système des voisinages. Chaque voisinage est représenté topologiquement sur un cercle par une représentation 7'(V). Soient V, et V, deux voisinages avec

AN et soient G; et G, les images de G par T(V,)et T(V,). Si latransformation POST (PS)

qui représente G@; sur G@, est conforme et directe, alors on dit que F est une surface de Riemann.

On peut définir une surface de Riemann à partir d’une fonction analytique z(w). Un ,,point‘* est un élément de la fonction (régulier ou algébrique); le voisinage est formé des éléments d’un cercle concentrique et intérieur au cercle de convergence; T'(V) est donné par

ET) si l’élément est régulier, par 3 & E = (w— a) si l'élément est algébrique.

Un élément algébrique sera considéré comme un ,,point‘" distingué de F, ,,point* que nous appellerons ,,point‘* critique algébrique ou singularité algébrique.

La fonction 2(w) peut avoir des points singuliers transcendants. Il ne leur correspond aucun ,,point‘ de F; en effet, il ne serait pas possible de représenter le voisinage correspondant, l’image du point venant au milieu du cercle.

Soit a un point singulier transcendant de 2(w). Il est isolé si dans un domaine assez petit D de la sphère de Riemann, contenant a, la branche considérée de z(w) est prolongeable rationnellement) sur tout chemin sauf en a. L’exemple du point zéro pour log w démontre l’existence de tels points singuliers.

Soit une suite de domaines emboîtés D,, D,,..., D,,... tendant vers a. Il lui correspond une suite de domaines emboîtés D,, D,,..., D,,...deF; nous dirons que cette suite définit une singularité logarithmique (ou singularité isolée) de F. Cette singularité fait partie de la frontière de F. Par définition, elle ne peut être limite d’une suite infinie de points critiques algébriques.

4) C'est-à-dire qu’en chaque point w, elle y admet un développement en série de puissances entières de (w — w).

a est la trace de la singularité, de même que la trace d’un point de F est le point du plan ou de la sphère simple où on a l’élément correspondant de z(w).

On sait que z(w) peut posséder des points singuliers de nature plus complexe’). Ils forment les singularités non isolées de F.

Chemin sur F: C’est un ensemble de points de F, topologiquement équivalent à un intervalle rectiligne ouvert. La trace d’un chemin est l’ensemble des traces de ses points, où on compte » fois un point de la sphère de Riemann ou du plan qui est trace de x points du chemin sur la surface. C’est une courbe, que nous supposerons toujours rectifiable.

Distance de deux points de F : C’est la borne inférieure de la longueur de la trace des chemins ayant les deux points pour extrémités.

Distance d’un point à une singularité : C’est la borne inférieure de la longueur de la trace des chemins dont les extrémités sont le point et la singularité.

Distance de deux singularités : C’est la borne inférieure de la longueur de la trace des chemins dont les extrémités sont les deux singularités.

On définit de la même façon les distances sphériques, en mesurant les longueurs sur la sphère de Riemann.

T'ype d'une surface de Riemann simplement connexe : Un surface de Riemann simplement connexe peut être représentée conformément sur un cercle |2| << 1 ou sur le plan ouvert. Dans le premier cas, on dit que la surface est du type hyperbolique, dans le second, qu’elle est du type parabolique.

$ 2. Quelques définitions sur les surfaces de Riemann

Pavage Ô de la sphère de Riemann. Soit Ô > 0. On dit qu’on a un pavage à de la sphère de Riemann lorsque on l’a entièrement recouverte d’un nombre fini de domaines simplement connexes, sans points communs sinon les points frontières, et tels que deux points quelconques d’un même domaine ou de sa frontière peuvent toujours être joints par un chemin intérieur au domaine, et de longueur sphérique inférieure à 6.

On supposera que la frontière de chaque pavé est formée d’un nombre fini d’arcs analytiques. De plus, un point sera sur la frontière de trois pavés au plus.

Portion d’une surface de Riemann F : Soit P un point de F, dont la trace est intérieure à un pavé. On appelle portion de F l’ensemble 14 des

5) voir Zversen, Thèse, Helsingfors 1914.

points de F qu’on peut atteindre par des chemins issus de P et dont la trace reste dans le pavé.

Une portion peut ne pas être simplement connexe, même si F l’est (par exemple si le pavé contient les points zéro et enfini, et si F est la surface de 2 == log w).

Supposons maintenant F simplement connexe; on appellera portion étendue A’ la portion À à laquelle on a adjoint tout ce qu’il fallait pour la rendre simplement connexe; cela est possible, et d’une seule manière. On constate que A’ — À ne contient que des singularités algébriques.

Base singulière d’une surface de Riemann : C’est l’ensemble des traces des singularités algébriques et transcendantes de la surface. On dira qu'une surface a une base singulière finie si l’ensemble des traces des singularités est fini.

Portion circulaire : C’est une portion dont le pavé est un cercle.

$ 3. Réseau topologique d’une surface de Riemann

M. Speiserf) à considéré les surfaces de Riemann simplement connexes dont toutes les singularités sont logarithmiques et ont pour traces trois points w,,w,,w; de la sphère de Riemann. Il donne une méthode pour construire ce qu’il appelle l’arbre topologique d’une telle surface. Voici comment on procède: on fait passer une courbe fermée L, sans points doubles, par les trois points w,, w,,w,, et on fait la représentation de la surface sur le cercle || < R(R < co). La courbe L se transforme en courbes À du cercle |2| < À, et ces courbes À définissent des domaines fondamentaux. On choisit sur la sphère deux points Z et Æ, l’un intérieur à L, l’autre extérieur. Pour finir, on joint par des courbes ne se coupant pas, les points du plan 2 qui correspondent à Z et £ et dont les domaines sont contigus. On forme ainsi un arbre, au sens topologique du mot, et c’est ce que M. Speiser appelle l’arbre topologique de la surface de Riemann.

Cette représentation peut s’étendre sans autre aux cas où l’on a p(p > 2) points au lieu de trois. On peut aussi le faire si la surface,. simplement connexe ou non, comporte des points critiques algébriques. Mais alors on n'obtient plus un arbre (au sens topologique du mot), mais un réseau. On trouve un exposé sur ce sujet dans le texte de la conférence de M. R. Nevanlinna, au Congrès International de Zurich?) et une étude très complète dans la récente thèse de M. Elfving).

6) Comm. Math. Helv. 1, 1929 et 2, 1930.

7) Verh. des Int. Math. Kongresses. Zürich 1932, 1, p. 221. 8) Thèse. Acta Fennicae. Nov. Ser. A, 2, no. 3.

Le réseau topologique d’une surface découpe le plan en domaines; à chacun de ces domaines correspond une singularité de la surface. Ce sont les domaines élémentaires. Si la singularité d’un domaine est transcendante, le domaine à une infinité de côtés, et réciproquement. Si la singularité d’un domaine est algébrique de degré 2, le domaine a 22 côtés, et réciproquement”).

M. Elfving considère des réseaux un peu plus précis: ils sont constitués par l’image de p courbes ZE passant chacune entre deux points w,,w,,;. Le réseau qu’on obtient est le même que le précédent si on considère comme confondues deux arêtes ayant les mêmes extrémités.

On peut parler alors de l’ordre d’un réseau; c’est le nombre p d’arêtes issues de chaque sommet (on voit que ce nombre est partout le même). Le nombre p est égal au nombre de traces de points singuliers.

M. Elfving donne le théorème suivant:

Soient p points a,,@:,...,@,, une courbe L passant par ces points et un réseau R d'ordre p. Il existe une surface de Riemann dont les singularités

ont pour traces les points a, et qui a le réseau R.

Disons qu’on simplifie un réseau À, donné comme le fait M. Elfving, lorsqu'on considère comme identiques les arêtes qui ont mêmes extrémités, et qu’on le complète lorsqu'on opère en sens inverse.

On peut se demander si, un réseau À étant donné (au sens ordinaire du mot, sans que le nombre d’arêtes issues d’un sommet soit toujours le même), il est possible de le compléter en sorte qu’il devienne un réseau au sens de M. Elfving, avec un ordre fini p.

Fig. 1 ) Ouvrage cité à la note 8), p. 14 et 15.

Une première condition, nécessaire, est que le nombre d’arêtes issues d’un sommet soit toujours inférieur ou égal à p. Cette condition n’est pas suffisante; pour le montrer, considérons le réseau de la fig. 1.

Soit p le plus petit ordre possible. Nous disons que p — co. Prenons les trois arêtes issues de 0. Pour compléter le réseau, il faut adjoindre à chaque arête un certain nombre d’arêtes complémentaires. Il en faut au moins une pour chaque arête. En effet, si une arête restait inchangée, la suivante devrait se compléter de (p—2) arêtes, d’où il résulte que le sommet suivant aurait (p + 1) arêtes. Donc il y à une arête adjointe au moins. Mais alors, supposons qu’il y en ait une exactement pour l’arête considérée plus haut; le sommet suivant aurait (p + 2) arêtes au moins; supposons enfin qu’il y ait g arêtes, alors le sommet suivant aurait au moins (p + q) arêtes. On voit que p ne saurait être borné, d’où il résulte qu’il est impossible de faire de À un réseau au sens de M. Elfving, R ne peut pas correspondre à une surface ayant une base singulière finie. Nous verrons plus loin quelles surfaces on peut faire correspondre à ces réseaux.

Les réseaux nous renseignent sur l’ordre de connexion d’une surface de Riemann:

Si une surface de Riemann est multiplement connexe, il existe un polygone fermé du réseau qui sépare deux suites infinies de sommets, et réciproquement).

Faisons encore une remarque: les théorèmes que l’on énonce sur les réseaux utilisent uniquement les propriétés topologiques de ces réseaux!) ; mais il est clair que dans bien des démonstrations, on fera intervenir des propriétés métriques du réseau: on supposera fixées les courbes 7 Æ.

Division d’un réseau en générations : Prenons d’abord le cas d’un arbre. On choisit arbitrairement un sommet À de l’arbre, que l’on prend pour origine du système des générations. Il constitue la génération G@,. La ne génération G, sera composée des sommets de l’arbre qu’on atteint de À par un polygone formé de n arêtes de l’arbrel?).

Dans le cas d’un réseau proprement dit, on choisit encore une origine À, qui forme G,. Puis on dit que le sommet B appartient à la n°°%*° génération . 10) Ouvrage cité à la note #), p. 16.

1) Voir p.ex. R. Nevanlinna, Comm. Math. Helv., 5, 1932, p. 95. 12) Il n’y a pas ambiguïté, puisque deux sommets ne peuvent être reliés que par un seul polygone, sans quoi on n’aurait pas un arbre.

G, s’il existe un polygone de » côtés du réseau, reliant À à B, et aucun de moins de n côtés.

Si À correspond à un point 7, tous les sommets du réseau qui correspond à Z appartiennent à des générations paires. Il en résulte que deux sommets consécutifs ne peuvent être de la même génération; de plus, ils appartiennent à deux générations consécutives. Soient en effet B et C deux sommets consécutifs, de générations m et n. Si m > n + 3 il existe un chemin qui relie À à B et qui est formé de n + 1 arêtes, donc de moins de m arêtes, ce qui est impossible. Donc on am = n + I.