HET
et les arcs de ce cercle intérieurs à D. Il leur correspond des arcs intérieurs à B: l’un, MN, relie les deux droites y — 0 et y — x, les autres, P,Q;, P,Q@:,. relient chacun deux points situés sur la même droite, alternativement y = 0 et y = x.
Soit f(z) la fonction qui a été construite au début de ce paragraphe,
pour la valeur k# — = , et soit
6 = F(t) = log /[g(t)];
F (t) représente la partie de D extérieure au cercle |[t| = 7, sur un domaine T, dont l’aire est finie. Aux ares du cercle |t| — r correspondent des arcs intérieurs à 1”. Soit S(r) la longueur totale de ces arcs.
Evaluons la variation de y, argument de f(2) sur MN et sur P,0Q,.
On a 0m D'ou Op PD'Ou Or CNE y Combi or Or ou nax(k — 1) 27rx(K;— 2)
on le ou De Ro
donc Co] 2K — Jo UE nat = = KE 0 T° [ant +a(K, —2}] loge ge ÉJU ET AE D'autre part CU TT 2 0x n+y(k—1)T K, et En LM
Sur MN, la variation Ag de y vérifie donc l’inégalité Ag > K, log 2 ui où on'a posé vu, =NR Met = NN.
Soit un arc P,Q, dont les extrémités sont sur y—=0. Pour cet arc,
Ap> K; log D. à
Soit enfin un arc P,Q, dont les extrémités sont sur J—=n; on1a
encore
Mais RP, — v(Q,)
Ag > K,; log . |
ebXOQ:—v(P,) et
puisque v'(u) >1, et v’(u) >0.
On en tire que
Mais et
donc
puisque
Soit
alors
d’où
AS Top ne.
D=0v(P) KP,
Qu =v(u) > Kw
S() > EAp> Ks| log + log Bt + log
SNA MIOEN KT — KPE-0
Ha Le.
Î |F'(t)|rd > K,
F”(t) si t est dans D
0 si + est hors de D,
27 27 [rd0 [IF'()|?rd0 > K° 0 0
FF èrd8> Eee 0 27nr
Lt — re
Tr Ki dr. J LIFE rar de > be
L'intégrale du premier membre est bornée, puisqu'elle représente l’aire d’un domaine intérieur à l'; donc
r dr f Les << Be ; ; To il en résulte que r est borné, donc H(r,, r,) correspond à une surface du
type hyperbolique.
Prenons pour H — 0 la relation = RE ee 10
pour laquelle on à H(—r,,—r,) — H(r,,r,). On pose u = log r, v—\os r,;; et de H=0ontire
eu Cl en
on voit que pour % >%, on a v>0, v’>K, > 2 et v”’ > 0. Donc la ‘relation 4 — 0 est du type hyperbolique.
Prenons dans le demi-plan S 6 > 0 la fonction
De) er et dans le demi-plan SÈ <0O,
Male) = le |
Les surfaces F, et F, qu’elles définissent peuvent se souder le long du segment (0, 1) qui correspond à l’axe S 6 — 0. Soit F la surface que l’on obtient en soudant F, et F, ; F est hyperbolique, car si &, et &, sont les affixes de deux points de $£ — 0 qui donnent le même point de F, ils
vérifient la relation
ne
(5 donc la relation Æ — 0 que nous venons d’étudier.
On voit par là que l’ensemble des singularités d’une surface du type hyperbolique peut être dénombrable, de même que l’ensemble des singularités d’une surface du type parabolique peut ne pas l’être2!). Dans ce dernier cas, on arrive au résultat, en raréfiant suffisamment les singularités ; dans notre exemple, c’est la dissymétrie qui donne à la surface son type hyperbolique.
21) M. Valiron a déjà donné, par une tout autre méthode, des exemples de surfaces du type hyperbolique, dont l’ensemble des singularités est dénombrable ; voir Comptes Rendus, 198, 1934, p. 2065-2067, et J. de Math. pures et appl. 15, 1936, p. 423-435.
Pour les surfaces du type parabolique, dont l’ensemble des singularités a la puissance du continu, voir le mémoire cité à la note 20).
$ 19. Conelusions: quelques remarques sur la fonction H(r,, r,)
I y à un cas particulier où l'étude de la relation H(r,, r,) — 0 présente un certain intérêt.
Considérons une fonction méromorphe w — f(z) dans le cerele [z| < R(< co); soit w — «© une singularité logarithmique de la fonction inverse, À une portion circulaire dont le centre est la trace de w, et qui contient la singularité w. On coupe la surface F de z(w) le long de la frontière de À, et on représente À et F — À sur les demi-plans SE > 0 et SE < 0; on suppose que pour les deux demi-plans la droite 36 — 0 (moins le point à l'infini) correspond à la frontière de À. On définit ainsi une fonction H. |
Supposons que nous connaissions le type d’une surface F, ainsi qu’une relation Æ — 0 obtenue à partir de F suivant le procédé donné ci-dessus. Posons
H*(r,,r,) = H(r, + ksinr,,r)
avec 0 < k < 1. Quel est le type de la surface F* qui fournit H*? Si on peut montrer que dans tous les cas le type de F* est le même que celui de F', on aura montré que la surface obtenue à partir de F en déplaçant seulement une singularité logarithmique à l’intérieur d’une portion qui ne contient que cette singularité, est du même type que F. Il convient de remarquer que si l’un des théorèmes 22 ou 24 s’applique à À, il en résulte que H* est aussi parabolique.
La démonstration de l'identité des types de Æ et de H* établirait de façon rigoureuse le principe de Bloch dans sa forme la plus simple, relativement à une seule singularité transcendante.
