x7 ae dr
Intégrons maintenant de r, à r(r>—ro). On obtient l'inégalité
T 2 ie VU NES be < K,ZB,(r) To k
en remarquant que la somme située dans le premier membre est étendue aux deux valeurs extrêmes de k, pour chaque valeur de r; par contre, la somme du deuxième membre est étendue à tous les indices £. On a donc
Ce 2 foie (4) To UxT
Pour compléter la courbe, il faut relier les deux points C et D qui correspondent aux points ?r et — ir de C,, par un arc situé dans ÿ. On représentera © sur le demi-plan Ry<0 au moyen d’une fonction
— q(t), que l’on peut choisir telle que:
1° g[k-1(f(0))] = 0; 2° h[g(2kx)] = h[g*(0)].
Aux points C et D correspondent deux points Æ et F de la droite Ry — 0. Considérons un intervalle r — kx, r — (k + 1)x; lorsque r varie de £x à (4 + 1)x, £ parcourt le segment 10, (0 + x) et F le segment —i0", —i(0’ + x). Traçons dans le demi-plan Ry < 0 un demicercle € de diamètre EF. Koit o* le rayon de €; à € correspond une courbe o du plan f, de longueur o(r). On a encore
ENT IL] € dy
et, quel que soit r, dot dr
dt |? __ dG(r) [al e1-
Gl(r) étant l’aire du domaine balayé par ©. Il en résulte que
donc
ka
En vertu de l'inégalité (1), on a
o <Ky,r donc ŒHUT » (&+1)T il g PR J CL dr .. 70 4 Kerr et (k+1 a r) [= dr < K,{G[(k+ 1)x]—G(kx) } Er d’où o® (r) f dr < Ky (5) On a , vy—1
donc, en vertu de (1),
ZE (ur +u-x1) <(Ko—2)r +1.
Soit » pair. Pour »/2 valeurs au moins de k£, on a <2K, et 71 <2K5.
Soit À, l’ensemble des valeurs de r comprises dans les p premiers taie En <r<(k Fr y avec u,; LR etrur, S2K 01 Sur
R,, r vérifie l’ ne r L(2p+1l)x ee LE 1 Soit R— lim Æ,. On a P—= dr [= (6) RIT
D'autre part, les inégalités (2), (3), (4) et (5) donnent
(ee
<K,+K;+K+K;=kK,
S(r) + Tr) + Z'ya(r) + o(r) > 2x
S2(r) + Dr) + y +0) >
donc dr À 27r $ et dr ® 2'K,
L ñ ce qui est contradictoire avec (6). Donc c—c, et le théorème est démontré.
$ 17. La fonction H(r,,r;)
Soient F une surface de Riemann simplement connexe, T' une section divisant F en deux parties F, et F,, simplement connexes. Représentons .-F,et F, sur les demi-plans $ 6 > 0 et S6 < 0. A T correspond la droite $ £ — 0 ou une partie de celle-ci. Dans le dernier cas, F est du type hyperbolique ; dans le premier, elle peut être d’un type ou de l’autre. On voit en effet qu’elle peut être du type hyperbolique en prenant pour F l’intérieur d’un cercle et pour T' une spirale indéfinie, intérieure à ce cercle.
Nous ne nous occuperons que du cas où toute la droite 3 £ — 0 (moins le point à l'infini) correspond à T.
À un point de 7 correspondent deux points de SE — 0 (celui qui provient de la représentation de F, sur $ > 0 et celui qui provient de la représentation de F, sur SÈ <0). On établit ainsi une correspondance biunivoque entre deux ponctuelles de support $ £ — 0. Soient r, et r, deux valeurs correspondantes de RC. Elles vérifient une relation
H(r:, 79) = 0 avec >> + oo Si Tr, —> + co (H)
Pa > — 00 Si F1] —>— co
Si Test une courbe analytique, H(r,,r,) == 0 est une relation analytique, ce que nous supposerons désormais.
Théorème 21 : Soit H(r,, r,) — 0 une relation analytique satisfaisant aux conditions (H). On peut définir, au moyen des deux demi-plans SE > 0 et SE < 0 liés suivant la relation H — 0, une surface de Riemann simplement connexe.
Supposons pour commencer que pour aucune valeur de r, on n’a LA FA) =0: our set:
nous allons montrer que les deux demi-plans SE > 0 et SE < 0 soudés de manière que pour deux points correspondants on ait H(£,, &) — 0, forment une surface de Riemann.
On appellera point de F tout point des deux demi-plans, en considérant comme identiques deux points qui coïncident dans la soudure.
Soit & un point tel que SE Æ 0. On prend pour voisinage de & un cercle de centre & et dont le rayon est inférieur à |S 6].
Soit € tel que SE — 0 (£ est donc constitué par deux points 6, et &,, de 3 Z>0 et SÈ<O0). Résolvons H(£,,&) — 0 autour du point Ê1: Ée(êi); cette fonction est régulière et univalente dans un cercle de rayon @, de centre &,. On prend pour voisinage de & le domaine constitué par:
1° le demi-disque | — &,| < 0, SE > 0 avec 0 < @;
2° l’image du demi-disque | £ — &,| < 0, SË < 0 par la transformation La — Co(da).
Le voisinage ainsi obtenu est bien représentable topologiquement sur un cercle, le point £ allant à l’intérieur du cercle.
Ce système de voisinages vérifie les axiomes du $ 1:
Axiome 1: Soient V, et V, deux voisinages de 6. Si SE & 0, on prend pour voisinage V un cercle dont le rayon est le plus petit des deux rayons de V, et V,. Si SE — 0, on prend pour 9 le minimum des valeurs correspondantes de V, et V,.
Axiome 2: Supposons que &* soit intérieur à un voisinage V(&). Si SE 0,on a JÉ* Z 0 et il suffit de prendre pour rayon du voisinage de £* une longueur assez petite. Si SE, — 0, deux cas peuvent se présenter :
1° SÉ* = 0; alors, suivant que SE = 0 ou Ÿ E* < 0, on prend V(£*) à l’intérieur du demi-disque |£ — &,| <e, SÈ > 0 ou a l’intérieur de l’image de | — | < 0, JE < 0;
2° SEX — 0; on prend un rayon po’ assez petit pour que le disque | — £*] < 0’ soit intérieur au disque | — &| < 0.
Axiome 3: Soient £* et £** deux points différents Il est clair qu’on peut choisir des voisinages V(£*) et V(£**) avec V(£*). V(È**) = 0.
Donc H = 0 définit une surface topologique simplement connexe. Or, on peut définir pour chaque voisinage une représentation sur un cercle qui fait de F une surface de Riemann.
Supposons d’abord & avec SE -£ 0; on prend, pour effectuer la représentation, la fonction w — &. Passons maintenant à Ë avec SE = 0. Pour les points du voisinage pour lesquels SE < 0, on effectue d’abord la transformation inverse de &, — &,(£,), puis on fait w — &, ce qui donne une représentation sur un cercle.
On a donc bien une surface de Riemann.
Envisageons le cas où r,(r,) à des zéros. Soit r? un zéro d’ordre » de r À . . .
r(r;1); n est pair en vertu de la monotonie de r,(r,). On fait, pour commencer, la transformation suivante:
en choisissant une détermination quelconque. La relation Æ(£,, &e) = 0 devient Y(Z,, Z,) — 0 ; elle est régulière autour de Z, — 0. On procède alors comme on l’a fait plus haut. On considère le rayon 9, d’un cercle de centre Z, — 0 dans lequel Z,(Z.) est régulière et univalente. On définit le voisinage de Z, = 0:
1° la partie du disque |Z,| < 9 < 0, intérieure à la partie du plan qui correspond à S 6, > 0;
2° l’image dans le plan Z, du reste de ce disque, au moyen de la transformation Z,(Z:).
Le voisinage de & est l’image de ce voisinage par les fonctions &,(Z;) respectivement &,(Z,).
Pour faire la représentation conforme de ce voisinage, on passe par les fonctions inverses au cercle |Z,| < 9, d’où il résulte que dans ce cas encore H = 0 permet de définir une surface de Riemann.
Si on à r,(r1) — co, on se contente d’intervertir les variables r, et r,, d’où r;(r,) — 0, et le raisonnement est le même.
On montre sans peine que cette surface est simplement connexe. Si on prend pour À — 0 non pas une, mais plusieurs relations analytiques, dont la succession satisfait aux conditions (4H), on définit encore une
surface de Riemann, mais les valeurs (r., r,) qui correspondent au passage d’une relation H à l’autre ne donnent pas, en général, des points de la surface; il en résulte que celle-là n’est plus toujours simplement connexe.
On appellera surface correspondant à la fonction Æ la surface qui est définie par la démonstration du théorème 21.
La définition de la fonction H et le théorème 21 nous montrent un nouvel aspect du problème de la détermination du type: H étant donnée, quel est le type de la surface de Riemann F correspondante? Nous donnons quelques solutions partielles de ce problème.
Théorème 22 : Si pour un ensemble E de valeurs de r, on a
dr:
E 11 do dr LOS GER 0 1 ‘Fi (2) Ta Ge ra ) é $ \ “* GO Ers 080 Ta est la-racine de H(r,, r;) —0 et où —r, est la racine de H(—r,, r;) = 0; dr, TRE REC EQ en K,> 0 (3) dra
alors Fest du type parabolique.
Décrivons un demi-cercle 7°, de rayon r dans le demi-plan SE > 0, ayant son centre à l’origine. Aux extrémités de ce demi-cercle correspondent deux points 4, et B, de SE — 0, d’affixes r; et —r;". Décrivons un demi-cercle 7”,, dans le demi-plan 3 £ < 0, de diamètre 4, B,. Soit C, l’image de 7°, + 1”, dans le plan s — log z, si on suppose qu’on a représenté Frsur!le cercle 12] <:R.
Soient y, (£) et w(&) les fonctions qui effectuent la représentation de SE >0et FE <L O0 sur les domaines correspondants du plan s, o,(r) et o(r) les longueurs des arcs correspondant à Jet 7. On a
o,(r) + or) 2 2x
et
| o, |? rd6 Ce
o!(r) <xr Us
et, si on suppose À fini
0; (r)dr ee re. (4) r °E puis | où(r) < mo [ Ipl? |dél l'e ou o>(r) < ro K, = pour r dans Z, (5)
en vertu de (3), A(o) étant l’aire du domaine limité par l’image de 7”. Done
"À rCE o(r) x et >(r)d ‘e 6 a
d’après (2). Il résulte de (4) et de (6) dr | Êr < H> vis en contradiction avec (1). Donc À — co, et le théorème est démontré.
Supposons que Æ — 0 est une relation algébrique. Si on prend pour Æ
les valeurs de 7 supérieures à 7,, les hypothèses du théorème précédent sont vérifiées On a donc le
Théorème 23: Si H — 0 est algébrique, F est du type parabolique.
On peut encore énoncer le théorème suivant:
Théorème 24: Supposons la relation H — 0 symétrique (c’est-à-dire que H(—7r,,—7,) = H(r,,7,)) avec de plus, pour r, assez grand
Ho ns (1) Alors F est du type parabolique.
C’est un cas particulier du théorème 22. En effet, l'hypothèse de la symétrie équivaut à poser
trs RAS HN R=E0
donc, pour toute valeur de r, supérieure à r,, on a
Fe 8 71
et de x 4 © T1
ce qui démontre le théorème.
La condition (1) du dernier théorème ne peut pas être complètement supprimée: il existe des fonctions A, vérifiant les conditions (A), symétriques au sens du théorème précédent, et qui sont hyperboliques.
Voici quelques exemples simples de fonctions H auxquelles s’appliquent les théorèmes précédents. Soit
l’image de T dans le plan est formée de deux demi-droites faisant un angle droit (au sommet de l’angle correspond r, — r, — 0, qui est une singularité de la relation 4 -= 0). Sion a
H(r,, r) =rs—(e1—e 1) —0
le type est encore parabolique, en vertu du théorème 24; à T correspond alors une parabole.
$ 18. Exemple de cas hyperbolique
Dans le cas où une fonction H donne une surface hyperbolique, les domaines du cercle |z| < 1 auxquels correspondent les deux demi-plans SÉ>0et FE LO dans la représentation de la surface sur un cercle peuvent être limités par des courbes en spirale (domaines spiralés). L'exemple que nous allons donner est de cette nature.
Considérons la bande B
DE 7e 7 0
nous établissons une correspondance biunivoque entre les points des deux demi-droites Yz — 0 et S2— 7, Rz 0. Soient P et Q deux points correspondants, on posera RP — u et RQ — v.
Supposons pour commencer que v — ku. Nous allons construire dans B une fonction analytique univalente f(2) = f(x + iy), telle que |f(2)| = constante sur chaque segment PQ, et telle que
arg f(Q) — arg f(P) = x.
Posons (2) — re’?, et r(P) — D(u); D(u) est une fonction croissante de u; r(x, y) est une constante sur la droite
— ax + y(k—l)u+nu=0.
On a Or(t;y)" ;, Ou Or(x,y) 1 0u Bi TN Mae Na y nus, et 2 1èr p 12 ORNE VON Tr OZ donc 0p__ D'ou Op 9'èu 0% D 07 0y D ôx et sur un segment PQ RAT y 0x d’où T du\2 Ou 2 &' Pl) +(a) T— œ à. dy 0 0x SP, [ 7? + u?(k — 1}?
D Ja lyE—D+xl P'r+u?(k — 1)?
DD Par (EDR El donc
Di n?(k— 1) D [n+u?(k—1)?] log k
ce qui permet de calculer ®. On voit que l’on a
Ga e 2) log D—0
donc que log r(x, y) est une fonction harmonique: f(z) = ré? est donc une fonction analytique. Elle est univalente; f(z) représente B sur un domaine spiralé intérieur à un cercle de rayon fini.
Considérons maintenant une relation plus générale v = v(u); on pose 4 = logr,, v — logr, et on fait l’hypothèse que la fonction H(r;,7r:) = log r, — v(log r;) = 0 vérifie les conditions (H), que
HO men H (ri, 7) = "0 et que de plus v'(u)>K,>2 et v'’(u) >0 pour u >. (1)
11 s’agit de représenter la bande B sur un domaine spiralé D, au moyen d’une fonction { — h(z), de manière que l’on ait
[RA(u)| = |h(v + ix)] U AUS
arg h(v + ix) — arg h(u) = x;
cette représentation est possible. En effet, on représente la bande 0 < 2 < x sur le demi-plan 3 Ë > 0 en posant & — log z et on considère la relation
H(r,,r2) = logr, — v(log r;) = 0;
on représente la surface correspondante sur le cercle |{| < c(<oo), de sorte que { — 0 si 6 — 0. Le point & — 0 est un centre de symétrie de la surface, en ce sens qu'il existe une transformation biunivoque et conforme &* —: S(£), de la surface sur elle même, qui conserve & — 0 et
telle que S[S(£)] = £. On pose en effet, si SE ZÆ 0, Ê* — — 6, et si YE— O0, É——Ù et Es — —E6,; le point £*(E£, 62) est bien sur la surface.
Dans le cercle |{| < c, la transformation S donne une transformation t* — T'(t), biunivoque et conforme, qui conserve le point { — 0; donc
bte et de plus Det ers
donc 0 = x, et f* — — +. Il en résulte que les domaines D et D* qui correspondent à SE > 0 et à SE < 0 se déduisent l’un de l’autre par une rotation de x autour de { — 0. Soit z — g(t) la fonction qui représente D sur B. Considérons le cercle
