Les systèmes d'équations aux dérivées partielles

l>t' BURKAU l>KS LONGITUDES, DE l' ÉCOLE POLYTECHNIQUE, 55, Quai des Grands-Auguslins, 55.

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PRÉFACE

Les questions relatives à la Théorie générale des systèmes d'équations aux dérivées partielles ont été jusqu'ici fort peu étudiées; en me livrant, sur certaines d'entre elles, à un long et attentif examen, j'ai été conduit à des résultats qui m'ont semblé dignes d'intérêt, et que j'ai fait connaître successivement à mesure que je les obtenais. Toutefois, la dispersion de ces travaux dans un assez grand nombre de Recueils divers, la confusion inévitable qui provient du fait même de leur dispersion, enfin la complication parfois extrême de raisonnements que j'ai ensuite réussi à simplifier, en rendent actuellement l'étude fort incommode. J'ai donc pensé qu'il y aurait quelque utilité à les réunir tous, ou du moins les plus importants d'entre eux, en un même exposé, méthodiquement ordonné; c'est ce qui m'a déterminé à écrire le présent Ouvrage : bien que les questions qui s'y trouvent traitées présentent, en raison de leur généraUté, des difficultés sérieuses, j'ai le ferme espoir que ceux qui voudront bien le lire avec quelque attention verront, à travers les multiples détails de l'exécution, se dessiner nettement l'ensemble des résultats.

I. La première question que je me sois efforcé de résoudre, lorsque j'ai entrepris l'étude des systèmes partiels quelconques, est celle de l'existence même de leurs intégrales. Je commen-

VI PREFACE

cerai par énumérer les quelques travaux antérieurs où, à un point de vue plus ou moins général, cette même question d'existence se trouve étudiée.

Gauch}' parvint le premier, en considérant les cas les plus simples, qui se présentent tout d'abord, à des résultats rigoureusement démontrés. Dans les Tomes XIY, XV et XYI des Comptes rendus de V Académie des Sciences (1842 et i843), il prouve l'existence des intégrales d'un système d'équations différentielles ordinaires, en précisant ce que l'on doit entendre par intégrales générales d'un pareil système; puis il étudie au même point de vue un système linéaire de m équations aux dérivées partielles du premier ordre impliquant un nombre égal de fonctions inconnues,

et tel qu'on puisse le résoudre par rapport aux m dérivées dW]^ ÔT^i àw„i

toutes relatives à une même variable t. La méthode qu'il emploie, sous le nom de Calcul des limites, pour démontrer la convergence des développements des intégrales, est plus connue aujourd'hui sous le nom de Méthode des fonctions majorantes : le principe en a été adopté, après lui, par presque tous les géomètres qui se sont occupés de ce genre de questions.

En i856, MM. Briot et Bouquet, dans un Mémoire sur les systèmes d'équations différentielles ordinaires ('), donnèrent une démonstration nouvelle de l'existence de leurs intégrales.

(^) Briot et Bouquet, Mémoire sur les fonctions définies par les équations différentielles {Journal de l'École Polytechnique, (lahier XXXVI).