TT
dont les seconds membres, indépendants de t, sont supposés développables par la formule de Maclaurin, admet un groupe dHntégrales développables par cette même formule et s'annulant avec t.
Le système (lo) est manifestement orthonome, comme on le voit en attribuante ^, u^ c, ... les cotes respectives i, o, o, ...: il est d'ailleurs passif, puisqu'il n'y a pas de dérivées cardinales (n" 112).
Gela étant, désignons par r une quantité positive moindre que les
rayons d'un domaine (de centre o, o, ...) où les seconds membres
de (lo) soient tous développables suivant la formule de Maclaurin,
et par M une quantité supérieure aux diverses sommes qu'on obtient
lorsque, après avoir développé les seconds membres dont il s'agit, on
remplace dans les développements tous les coefficients par leurs
modules, et les quantités «/, r, ... par /•. Puis, considérons le système
différentiel
du M
dt
SYSTÈMES ORTHONOMES. 233
dont les seconds membres sont des majorantes pour ceux de (lo) relativement aux valeurs o, o, ... de w, r. ... (II). Ce système admet, en vertu de V, un groupe d'intégrales développables par la formule de Maclaurin et s'annulant avec /, satisfaisant^ par suite, aux conditions initiales
pour t = o.
Cela posé^ considérons, d'une part, les intégrales dont nous venons de constater l'existence effective dans le système (ii), d'autre part les intégrales hypothétiques de (lo) répondant aux mêmes conditions initiales, et comparons entre eux les développements de ces deux groupes d'intégrales. On voit immédiatement, d'après la définition
des majorantes, que les valeurs initiales de -7-, —, • • • dans le système (11) sont positives et supérieures aux modules de celles qui fournit le système (10). Si l'on considère maintenant les deux groupes de relations respectivement déduits de (10) et de (11) par des diilerentiations d'ordre h — i , et ayant dès lors pour premiers membres les dérivées d'ordre k de w, r, . . . , les seconds membres du premier groupe sont des sommes de produits pouvant contenir comme facteurs trois sortes de quantités, savoir :
i** Certains entiers positifs;
2° Certaines dérivées partielles des composantes U, V, ... ;
S"* Les dérivées de w, t", ... d'ordre inférieur à k.
Et les seconds membres du deuxième groupe sont composés exactement de la même façon, si ce n'est que les dérivées partielles des composantes U, V. ... doivent être remplacées par les dérivées semblables de leurs majorantes. On voit alors, par un raisonnement effectué de proche en proche pour les ordres successifs, que les dérivées des intégrales effectives du système (11) ont des valeurs initiales positives et supérieures aux modules de celles qu'on obtient pour les dérivées semblables des intégrales hypothétiques de (10). Or, les intégrales effectives de (11) ayant de toute nécessité des développements convergents, les intégrales hypothétiques de (10) jouissent forcement aussi de la même propriété, ce qui suffit (n" 99) pour établir leur existence effective.
Vil. Le système différentiel {orthonome et passif)
du ^, ,
(12) dv
[Si
\ dv
/ dt
f di^
' dt
dont les seconds membres sont supposés déçeloppables par la formule de Maclaurin, admet un groupe d^intégrales développables par cette même formule et s" annulant avec t.
Désignons en eftet par w une nouvelle inconnue adjointe à ?^, t^, . . . , et considérons tout d'abord, au lieu du système (12), le système
qui s'en déduit par un mécanfsme facile à apercevoir, et dont les seconds membres, en vertu de l'hypothèse faite sur ceux de (12), sont, eux aussi, développables par la formule de Maclaurin. Cela étant, il résulte de l'alinéa VI que le système (i3) admet un groupe d'intégrales développables par cette même formule et s'annulant avec t. Or, la dernière équation (i3), jointe à la condition initiale
(jD zz= o pour ^ = o,
donne évidemment 03 = /. Remplaçant to par cette valeur dans les autres équations du système (i3), nous retombons sur le système (12), qui, dès lors, admet bien un groupe d'intégrales satisfaisant aux conditions initiales indiquées.
