III. La série entière
(l) IH \
admet comme rayon de convergence (n" 30) une quantité positive arbitrairement choisie, puisque, dans la série formée par les modules
des termes, le rapport d un terme au précèdent, } tend vers zéro
pour n infini (n« 21, III). La série (i) définit donc, dans toute l'étendue de l'espace [[^]] (n°^l et J5), une fonction olotrope que nous désignerons par ^(x) (n° 4-6, I).
En difFérentiant, conformément à la règle du n° ol (3"), tous les termes de la série (i), on trouve immédiatement
et par suite, quel que soit A*,
La série (i) ayant, d'autre part, un domaine de convergence indéfini, la quantité ^{x-hh) est développable par la série de Taylor, quels que soient x et h. On trouve ainsi, en ayant égard à la formule (2 ),
^{x -h h) = é^(x)\ IH '■ H h... ,
En désignant alors par ^< , ^2? •••5 ^m des valeurs entièrement arbitraires, on déduit successivement de la formule précédente
^{Xi-i- X^) = *(^i) *(a72),
^{xi-i- Xi-^-Xs) = ^(xi-h x^j^ix^)
= ^{Xi)^(x^)^(X3),
et, de proche en proche,
(3) * (.ri -1-372 + ... H- ^/u) = *(a7i)*(a72).. .^{x;„).
Si, dans cette relation, on suppose que les valeurs .2:,, ^2, ..., x^ soient toutes égales à x, il vient
(4) ^{mx) = [^(x)]"',
OÙ m désigne un entier positif.
Notons encore la relation numérique
IV. En désignant par X une constante différente de zéro, et par t une variable indépendante, il existe une fonction de tdéveloppable par la formule de Maclaurin (n" 55), se réduisant à -\- I pour t = o^ et dont le carré est identiquement égal à I — i\t. Nous désignerons cette fonction par y/ i — ikt.
(*) Il résulte de la formule (2) que la fonction 4>('^) ne s'évanouit pour aucune valeur de x : car autrement toutes les dérivées sévanouiraient en même temps que la fonction; cette dernière serait donc identiquement nulle ( n° 57), et l'on n'aurait pas, par exemple, <ï>(o) = i. Gela posé, la formule (3) donne, en particulier,
*P{x) <P{~ x) = fp{x — x) = ^{0) — 1, d'où l'on tire, puisque *P{x) est nécessairement ^ o.
En désignant alors par x^ et x^ des valeurs quelcon(]ues, il vient
^{Xy— X^) = <ï>(^i) *(— X2)
Enfin, la formule (4), établie dans le cas où l'entier m est positif, est encoreapplicable dans le cas où cet entier est nul ou négatif : car, pour m = o, son premier membre se réduit à i, terme constant de la série (i), et son second membre prend aussi la valeur i, à cause de la signification attribuée à l'exposant zéro-,, pour m négatif et égal à — m', on a
4>(/nj7) = 4>( — m' x)
<P{m'x) [^{x)]'"' c'est-à-dire, à cause de la signification attribuée à un exposant entier négatif, ^{mx) = \<l>{x)]-""=z[^{x)]'".
SYSTEMES ORTHONOMES. 11^
Considérons l'équation diflerentielle dw il
dt lit
impliquant la fonction inconnue w de la variable indépendante t. Le
second membre ^-r— (où ne figure, à l'exclusion de l'inconnue w,
que la seule variable indépendante t) étant développable par la formule de Maclaurin (n*'61,II), l'équation admet, en vertu d'une proposition antérieure (n^ 76), une intégrale W(^), développable par la formule de Maclaurin et s'annulant avec t. Cette intégrale particulière vérifie d'ailleurs identiquement, comme nous allons l'établir, la relation
où $ désigne la composante indéfiniment olotrope définie à l'alinéa III.
De la relation
on tire, en efï'et.
rfW ^l
dt i\t —
^2W — iX2
d'où
dt"^ {lit — \T-
/dW\'- d^W \ dt ) ~^ df^
En multipliant les deux membres de cette identité par le facteur <Ï>[W(^)], développable suivant la formule de Maclaurin en vertu du principe général des fonctions composées (n° 59), il vient
or, le premier membre de cette dernière relation n'est autre que la
(') Lorsqu'une fonction,/, ne dépend que d'une seule variable, t, on adopte habituellement, pour désigner ses dérivées successives, les notations ■—■, -^, ••., au
lieu des notations — » — —, • • •• Ot Of
23o CHAPITRE Vil.
dérivée seconde de la fonction composée <^[W(^)]; on a, par conséquent,
D'ailleurs, toute fonction olotrope, /, de la variable t, dont la dérivée seconde se réduit identiquement à zéro, est une fonction
linéaire : car de la relation -r^ ^ o on déduit successivement, par
l'application d'une remarque antérieure (n" 94),
^- =z A ou -7- — A = o.
dt dt
puis
/— A^ = B ou /=A;-f-B,
où A, B désignent deux constantes. On a ainsi, pour un clioix convenable des valeurs numériques attribuées à A, B,
Pour déterminer ces valeurs, on adjoindra à l'équation (n) l'équation dérivée
et Ton fera ^ = o dans les relations (7) et (8) : si l'on observe, d'une part, qu'en \ertu des relations
on a
d\s et, d'autre part, qu'en vertu de la relation (G), —j— se réduit à — 2A
pour ^ =:: o, il vient
Il en résulte bien, comme nous voulions l'établir, l'identité (5). Finalement, si l'on considère la fonction
[iW(.)]
développable par la série de Maclaurin en vertu du principe général des fonctions composées, et se réduisant à -h i pour ^ = o, on a, en
SYSTÈMES ORTHONOMES. 23]
se reportant à la formule {4)j
<î.[W(^j] = <ï>2r^W(ol,
puis, en se reportant à ridentité (5),
It.
du }i
dt ~ i — a(w-(-P-(-.
di> [i.
dt ~~ I — a(a-+-p-l-.
V. En désignant paf a et jjl deux constantes différentes de zéro, et par w, v^ ... diverses fonctions inconnues de la variable indépendante t, le système différentiel
dont les seconds membres sont développables par la formule de Maclaurin (n" 61, II), admet un groupe d^ intégrales développables par cette même formule et s' annulant avec t.
Désignons en etïet par g le nombre des fonctions inconnues du système (9), et considérons les g fonctions w, v^ ... définies parles relations
W = P = . . . = (1—4/1 ^S'UlLt).
Ces fonctions sont, en vertu de IV, développables par la formule de Maclaurin ; elles s'annulent d'ailleurs avec ^, puisque le radical se réduit à H- I pour ^ = o : je dis qu'elles vérifient identiquement le système (9).
En effet, de la relation
u= — -(i — \/i — igy-ix.t)
on tire
(I — ^aw)-= 1 — ig%\±t
OU
gCLU- — lU -\- •l\kt = 0\
on en déduit, par difl'érentiation.
du du Tt~'di
d'où
du u.
dt I — a ^a
et finalement, à cause de gu ^= u -{- v -[- ...^ du fjt.
On a de même
dt I — a{u -\- V -\- . . .)
dv (i.
dt " 1 — a(M-+-p-h...)'
