IJ
mules (42) par la règle des fonctions implicites, et l'on a
àf, dtx àfx àt^ dfx
àtx dt^-^x
àf\L àtx àtx àt^^x
àt^ ât^^i
dt
4/[x àt^
àfv
dt., dt
iX4-l
dt
En résolvant ces u. dernières équations par rapport à
dt^
dt,
dh
dt
et portant dans (43) les valeurs ainsi obtenues, il vient
ou
àfi àfx
dtx
dt^ dt^^x
àfv.
àtx
àf^ àf^.
dt^ dt^+x
àf àtx
àf àf àt^, àt^+x
àt^^x
4/1 àfx
àfi àtx
àfi àfx àt^ àt^+x
dt, dt^
àfv. àf^ àtx àt^
àt^-i-x
àf,.
dtx
EL
àtx
àf^ àf^ àt^ àt^^x àf àf àt^ àt^+i
s laq
uelle les \
ariables /
doivent t
ître rempla-
iy6 CHAPITRE VIII.
cées par leurs valeurs tirées de (42). Or, le second membre, qui^ avant cette substitution, était une fonction identiquement nulle de ti^ t2, ..., t,i^ devient, après elle, une fonction identiquement nulle de ©4, ..., Ojj^, h'+^f •••' ^" ' ^^^s 1^ premier membre, le coefficient de a, après comme avant, une valeur initiale non nulle, et, par
suite, reste différent de zéro dans le voisinage des valeurs initiales de C5i, ..., cpjj,, iy.^i, ..., tfi • il en résulte bien, comme nous voulions
l'établir, que -r est identiquement nul.
125. L'énoncé précédent suppose jjl <; /i ; dans le cas où jj. = /?, il doit être remplacé par le suivant :
Si n fonctions de n variables sont développahles à partir de certaines valeurs numériques, considérées comme initiales, des variables dont il s^ agit, et que leur déterminant différentiel ait une valeur initiale différente de zéro, toute autre fonction déçeloppable à partir des mêmes valeurs initiales est composée des n premières.
La démonstration est la même, à cela près qu'alors la composante ^ ne peut manifestement contenir que cp,, cpg, ..., cp„ : elle s'allège donc de toute la partie du raisonnement servant à prouver qu'elle ne contient pas autre chose.
126. Dans les théorèmes qui précèdent interviennent les déterminants différentiels de a ou [ji -|- i fonctions par rapport aux divers groupes de a ou [J. -f- i d'entre les variables, sans aucune distinction faite entre ces dernières. Or, on peut supposer que les fonctions considérées dépendent, non seulement des variables ^<, ^25 ••••> tny mais encore d'autres variables, s^^ s^^ ..., en nombre quelconque, et ne faire intervenir dans les énoncés que les déterminants différentiels intéressant les premières variables à l'exclusion des dernières. On arrive alors, par des raisonnements tout semblables, aux propositions suivantes, qui contiennent comme cas particuliers celles que nous venons d'établir.
A. En désignant par ^ un entier moindre que n, si, a^>ec les
jjL fonctions
1' f\ {ti, ^2, .••, tn^ -Si, *2, . • Oi X f^{t\t h-, — 1 tiii S\^ s^^ . . .) et les variables 5,, ^o, . . . , on construit une fonction composée,
<45) F(/i, ...,/jx, 5i, 52, ...),
de telle façon que les règles générales relatives à la composition des fonctions olotropes soient applicables, les déterminants différentiels des a 4- I fonctions (44) ^^ (4^)7 P^^^s par rapport à rjL + I quelconques des variables ^<, /o, . . ., ^m sont tous identiquément nuls.
B. Désignant par a un entier moindre que n, supposons :
i'^ que les |jl -(- i fonctions
Îfi(tii t.2^ ..., tm *i, ^2, .«Oï f]x{ti-, tïi • ' ", tn-, -^l, •^2, • • •)
et
<47) f(tu h, ..., tn, Si, ^2, ...)
soient toutes développables à partir de certaines valeurs numériques, considérées comme initiales, des variables
ti, t=i, . . ., tn, 5i, «2, ... ;
2° que Vun au moins des déterminants différentiels des [x fonctions {^Q) par rapport aux seules variables t^^ t^-, . . ., tu ait une valeur initiale différente de zéro; 3^ que les déterminants différentiels des jJL-hi fonctions (46) et (47) par rapport aux seules variables dont il s'agit soient tous identiquement nuls*
Cela étant, la fonction (47) est composée des ul fonctions (46) et des variables 5< , 52, . . . .
