La réciproque est vraie
Désignant par ^ un entier moindre que /2, supposons : 1° Que les \k + i fonctions
if, {tu t.2, ..., tn), (39) \f,{tut,, ...,tn),
\ f^xihi t-i-) • • '1 tti)
et
(4o) f{tu t,, ..., tn)
soient toutes développât les à partir de certaines valeurs numériques, considérées comme initiales, des variables t^^ t^^ . . .^ t,i\
2° Que r un au moins des déterminants différentiels des [JL fonctions (Sq) ait une valeur initiale différente de zéro;
3° Que les déterminants différentiels des [ji -h i fonctions (39) et (4o) soient tous identiquement nuls.
Cela étant, je dis que la fonction {/\o) est composée des ^ fonctions (39).
Supposons, pour fixer les idées, que
t\i tii • ' 1 t[}.
soit un des groupes de [i. vïiriables par rapport auxquels les a fonctions (39) possèdent un déterminant différentiel à valeur initiale non nulle. Si l'on désigne par cp,, Oo? •••5 ^[x les valeurs variables des fonctions (39), il existera, entre les quantités
(40 ?1, T2, ••., ?tX5 fu h, •••, tn,
les a équations finies
lesquelles, en vertu de notre hypothèse, combinée avec le théorème fondamental du n" 120, peuvent être résolues par rapport à ^,, ^2, ..., ^u, [à partir des valeurs initiales des quantités (4')]- Substituant à ^,, ^27 ' ' ", i[n dans la fonction (4o)? les seconds membres des
fi(tu t., .
f-l{tu ^2, .
• • ■) t[ii ^t;.+ii •
-., tn) = 92,
Uitu t-i, .
• ' ■! i\).l ^[X4-ll • ■
••, ^//) = ?[JL,
FONCTIONS IMPLICITES. IjS
formules de résolution, on tombe sur une certaine fonction composée,
?[X, fi
..., tn)',
et il s'agit de prouver que la composante <I> est indépendante de
^jjL^i t,i, c'est-à-dire que sa dérivée première, prise par rapport à
l'une quelconque de ces dernières variables, t^^,i par exemple, est identiquement nulle (n° 94).
Or, la règle de différentiation du n" 62 est applicable au calcul des dérivées de la composante O, et donne
as)
àf dti
àtu.-hi àti dt^^i
àf
àt^ àt^+x "^ àt^+^
A leur tour, les dérivées
dtx
àtu.
dt
dt
se déduisent des for-
